§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий

Каждый случайный эксперимент описывается некоторым набором возможных исходов. Сложный исход представляется в виде суммы других исходов. В противоположность сложному элементарный исход эксперимента не разложим в сумму других исходов. Совокупность элементарных исходов составляет пространство элементарных исходов (событий), обозначают его , как и достоверное событие. Сами элементарные исходы обозначаются . Перечислим свойства пространства элементарных исходов :

1. и (элементарные исходы несовместны);

2. и (элементарный исход не представляется в виде суммы других исходов);

3. любой исход эксперимента описывается в виде суммы элементов некоторого подмножества .

Совокупность подмножеств образует алгебру событий F, если выполняются следующие свойства:

1. ;

2. Если и , то .

Приведем пример простой алгебры событий. Пусть , оно порождает алгебру из четырех элементов:

.

Множество всех подмножеств элементарных исходов образуют самую богатую алгебру. Далее мы будем работать с этой алгеброй.

Пример 1. Описать пространство элементарных событий при подбрасывании монеты.

Введем события:

Р – выпала решка,

Г – выпал герб.

Всегда выпадает решка или герб: .

Одновременно решка и герб выпасть не могут: .

Тогда .

Пример 2. Одновременно подбрасываем две монеты. Опишем элементарные исходы.

РР – на первой и второй монетах выпали решки.

ГГ – на первой и второй монетах выпали гербы.

ГР – на первой монете выпал герб, а на второй – решка.

РГ – на первой монете выпала решка, а на второй – герб.

Определим пространство элементарных исходов:

.

При описании пространства элементарных исходов часто используются элементы комбинаторики (приложение 1).

Пример 3. В урне 3 белых и 2 черных шара. Наугад выбираем два шара. Интересуемся цветом выбранных шаров. Порядок выбора нас не интересует. Пространство элементарных исходов состоит из сочетаний из пяти по два.

Если мы будем интересоваться и в каком порядке берутся шары, то пространство элементарных исходов будет состоять из размещений из пяти по два.

§ 4. Вероятность события

Одни события появляются чаще, другие – реже. Например, если в урне 100 белых шаров и 5 красных, а мы вынимаем наугад один шар, тогда появление белого шара будет намного чаще появления черного.

Проводится п одинаковых экспериментов, в каждом из которых может появиться событие А. Пусть раз появилось событие А. Относительная частота события А есть

Относительная частота события получается на основании опыта, поэтому ее часто называется эмпирической вероятностью и обозначают . По частоте события мы оцениваем возможность появления его в будущем.

Числовая функция , заданная на алгебре F подмножеств пространства элементарных исходов , называется вероятностью случайного события А, если она удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

1. (вероятность невозможного события равна нулю, вероятность достоверного события равна единице).

2. (если событие В является следствием события А, то вероятность события А не превышает вероятности события В).

3. (если события А и В несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий).

Тройка образует вероятностное пространство. Определение этой тройки дает аксиоматическое определение вероятности.

Заметим, что здесь дано не совсем строгое определение вероятностного пространства, так как программой не предусмотрено глубокое изучение алгебры и теории меры.