§ 7. Условная вероятность. Независимость событий

Находится вероятность события при дополнительных условиях.

Пусть у нас 5 белых и 3 красных шара. Среди белых два старых, а среди красных один старый. Из 8 шаров три старых. Выбирается наугад один шар, он будет старым с вероятностью .

Пусть мы знаем, что выбранный шар белый, он будет старым с вероятностью , так как из 5 белых 2 старых шара.

Введем события:

С– взять старый шар.

В– взять белый шар.

Вероятность выбрать старый шар, если известно, что выбранный шар – белый, обозначим или .

Равенство

принято за определение условной вероятности события А при условии, что произошло событие В. Считается, что .

Приведем некоторые свойства условной вероятности:

1. ;

2. ;

3. Если , то ;

4. Если , то .

Эти свойства легко доказать. Предложим доказательство свойства 3.

Если , то и . Тогда .

Из определения условной вероятности выражается вероятность произведения событий

Вероятность произведения равна произведению условной вероятности одного события относительно другого на вероятность условия.

Если вероятность события Ане зависит от того, что произошло или нет событиеВ, то событияАиВназываютсянезависимыми.

вероятность события А, если событиеВпроизошло.

вероятность события А, если событиеВне произошло.

Если события А и В независимы, то они удовлетворяют равенству

.

Приведем другое эквивалентное определение независимости событий.

События АиВнезависимы, если вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей

.

Докажем эквивалентность.

Пусть выполняется равенство .

Событие Араскладывается на сумму несовместных событий . Тогда

.

Рассмотрим условные вероятности

и .

Итак,

.

Теперь пусть .

По определению условной вероятности тогда

.

Пример 1. Подбрасывается правильная треугольная пирамида. С равной вероятностью пирамида падает на одну из четырех граней. Одна грань раскрашена в белый цвет, другая – в черный, третья – в красный, а на четвертой грани – все три цвета. Введем события.

А– выпала грань, содержащая белый цвет,

В– выпала грань, содержащая красный цвет.

Найти условные вероятности и .

Пространство элементарных исходов состоит из четырех элементов.

(б– выпала грань, окрашенная в белый цвет, …).

Опишем события:

, , .

(события АиВсовместны).

Тогда . Имеем

.

События АиВнезависимые.

Пример 2. Студент выучил 25 вопросов из 30. Ему задают последовательно три вопроса. После первого правильного ответа студент получает зачет. С какой вероятностью он получит зачет?

Студент не получит зачета, если он не ответит на все три вопроса. Введем события

студент не ответил на i-й вопрос,

В– студент не ответил на три поставленных вопроса.

Тогда .

Используем формулу вероятности произведения событий

.

Студент знает 25 вопросов из 30, тогда .

Если первый заданный вопрос студент не знает, то из оставшихся 29 вопросов 4 вопроса он не знает. Тогда .

Если первый и второй вопросы студент не знает, то из оставшихся 28 вопросов 3 вопроса он не знает. Тогда .

Итак, .

Событие студент сдаст зачет. Тогда

.