4.2. Характеристики непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения.

Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величиныназывается интеграл

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины

.

Дисперсия вычисляется через интеграл

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины существуют, если соответствующие несобственные интегралы существуют. Основные свойства математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины такие же, как и для дискретной случайной величины.

Среднеквадратическое отклонениеслучайной величинывычисляется как корень квадратный из дисперсии:

Модойнепрерывной случайной величиныназывается такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности распределения.

Для любой случайной величины медианаопределяется из равенства

,

т.е.

Запишем формулы нахождения моментов для непрерывной случайной величины.

Начальный момент k-го порядка

Центральный момент k-го порядка

Центральные моменты выражаются через начальные моменты. Например,

.

Пример 1. Задана плотность распределения случайной величины

Найти математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины .

Найдем математическое ожидание

.

Дисперсию найдем по формуле . Найдем начальный момент второго порядка

.

Тогда .

Заметим, что при вычислении остается интеграл на множестве, где подынтегральная функцияне тождественно нулевая.

Находим точку, в которой достигается наибольшее значение плотности распределения

.

Тогда . Моду находят и по графику плотности распределения. Построим график функции.

Найдем функцию распределения случайной величины . Если, то площадь подграфика плотности распределениянад множествомравна нулю. Тогдапри. Если, то.

При подграфиком плотности распределения над множествомявляется подграфик функциинад множеством. Тогдапри. Итак,

Найдем медиану случайной величины

.

Имеем и.

§ 5. Некоторые специальные виды распределений

5.1. Гипергеометрическое распределение

Имеется множество из Nэлементов, среди которыхMэлементов первого сорта иэлементов второго сорта. Из всего множества выбираемпэлементов. Случайная величинаХпоказывает сколько элементов первого сорта средипвыбранных. Вспомогательная схема

Определим два числа . Случайная величинаХявляется дискретной, она принимает значения,, причем,.

Случайная величина Храспределена по гипергеометрическому распределению с параметрами.

Пример 1. В группе 8 девушек и 10 парней. Наугад выбираем 5 человек. С какой вероятностью среди выбранных окажется 3 девушки? Нарисуем схему.

Случайная величина Х, показывающая число девушек среди выбранных, распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами. Тогда

.

5.2. Биномиальное распределение

Производится п независимых одинаковых опытов. В результате опыта может произойти определенное событиеА. Успехом будем называть событиеА, неудачей будем называть событие.Вероятность успеха в каждом опыте одна и та же

.

Случайная величина Х, показывающая число успехов среди проведенныхпопытов, называетсябиномиально распределенной. Величиныпирназывается параметрами биномиального распределения. Биномиально распределенная случайная величина принимает значения 0, 1, …,п.

Нужно определить - вероятность того, что средипнезависимых одинаковых испытаний успех произойдетkраз. Событиеесть сумма некоторого числа независимых исходов вида

(состоящих из kуспехов инеудач). Вероятностьравна сумме вероятностей этих исходов. Каждый такой исход равен произведениюпнезависимых событий, из которыхуспехов, анеудач. Вероятность каждого такого исхода равна

.

Здесь из писпытаний выбираемk, каждое из которых закончилось успехом. Поэтому при подсчетемы получаемслагаемых. Тогда

.

Вероятность того, что из п независимых одинаковых испытаний ровно k раз произойдет успех, обозначается . Получена формула Бернулли

Почему случайная величина называется биномиально распределенной?

Вспомним формулу бинома Ньютона

.

Если и, где, то

.

Итак,

Нужно выразить математическое ожидание и дисперсию биномиально распределенной случайной величины через параметры распределения.

Результат i-го опыта описывается случайной величиной. Если произошел успех вi-м опыте, то. А если произошла неудача вi-м опыте, то. Мы знаем закон распределения случайной величины

	0	1	.

Производятся независимые опыты. Поэтому случайные величины являются независимыми. Найдем основные характеристики случайных величин.

Случайная величина Хпоказывает, сколько раз произошел успех средипнезависимых одинаковых опытов. Очевидно, что

.

Используем свойство математического ожидания

.

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

.

Итак, для биномиально распределенной случайной величины

Какое число успехов чаще всего встречается среди пнезависимых одинаковых испытаний? Нужнонайти моду биномиально распределенной случайной величины. Моду еще называют наивероятнейшим значением.

Мода биномиально распределенной случайной величины Хс параметрамип,рудовлетворяет неравенству

целое число.

Докажем это утверждение. Из определения моды

Используем формулу Бернулли

Так как, , то

Тогда

Из условия получаем

.

При большом числе испытаний вычисления по формуле Бернулли затруднены. В пункте 6.3. будут предложены формулы приближенного вычисления величины при достаточно больших значенияхп.

Пример 1. Вероятность выпуска годной детали равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти деталей годных будет ровно три?

Испытание состоит в проверке детали. Успех происходит, если деталь годная. Вероятность успеха равна 0,8. Детали выпускаются независимо друг от друга. Всего проверяется пять деталей. Число годных деталей описывается биномиально распределенной случайной величиной с параметрами . По формуле Бернулли найдем вероятность того, что из пяти деталей годных будет ровно три

.

Пример 2. Правильную монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что решка выпадет более двух раз.

Решка и герб выпадают с равной вероятностью. Выпадение решки является успехом. Число выпавших решек из 6 подбрасываний монеты описывается биномиально распределенной случайной величиной Хс параметрамии. Нужно найти.

.

Нужно вычислить пять слагаемых. Можно использовать противоположное событие

;

;

.

Чтобы не вводить биномиально распределенную случайную величину Хс параметрамипир используют следующее обозначение

Пример 3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Случайная величинаХпоказывает число мальчиков среди 100 новорожденных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ.

Случайная величина Хбиномиально распределена с параметрамии. Тогда

и .

Пример 4. Вероятность выпуска изделия первого сорта равна 0,7. Найти наивероятнейшее число изделий первого сорта из партий по девять изделий.

Случайная величина, показывающая число изделий первого сорта из девяти, распределена биномиально с параметрами . Используем неравенство для нахождения моды биномиально распределенной случайной величины

.

При иимеем. Значениецелое. Тогда. Чаще всего из девяти проверяемых деталей 6 или 7 деталей первого сорта.

Пример 5. Случайная величинабиномиально распределена. Причеми. Найти.

Нам не известны параметры распределения

Разделим второе уравнение на первое

.

Тогда и. Параметры распределения определены. Имеем.