- •Введение
- •Глава 1. Случайные события
- •§ 1. Случайные события
- •§ 2. Действия над событиями
- •§ 3. Элементарные события. Алгебра случайных событий
- •§ 4. Вероятность события
- •§ 5. Некоторые следствия из аксиом вероятности
- •§ 6. Классическое определение вероятности
- •§ 7. Условная вероятность. Независимость событий
- •§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Случайные величины
- •§ 1. Понятие случайной величины
- •§ 2. Закон распределения дискретной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •3.2. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Некоторые арифметические операции над дискретными случайными величинами
- •3.3. Свойства математического ожидания
- •3.4. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение
- •3.5. Мода и медиана дискретной случайной величины
- •3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •3.7. Моменты дискретных случайных величин
- •3.8. Функция распределения
- •§ 4. Непрерывные случайные величины
- •4.1. Плотность распределения, функция распределения непрерывной случайной величины
- •4.2. Характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 5. Некоторые специальные виды распределений
- •5.1. Гипергеометрическое распределение
- •5.2. Биномиальное распределение
- •5.3. Закон Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Нормальное распределение
- •5.6. Некоторые важные статистические распределения
- •§ 6. Некоторые предельные теоремы теории вероятностей
- •6.1. Неравенство Чебышева
- •6.2. Закон больших чисел
- •6.3. Центральная предельная теорема. Интегральная и локальная теоремы Мувра-Лапласа
- •Приложение 1 Комбинаторика
§ 8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть события попарно несовместны и . Нам известны и , . Вероятность событияВнаходится по формуле
Эта формула носит название формулы полной вероятности. Докажем ее.
Разобьем событие Вна сумму несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей . Для каждого слагаемого используем формулу вероятности произведения событий , . Итак,
.
События называют еще предположениями. Все предположения должны быть выдвинуты и никакие два предположения одновременно происходить не могут.
Если событие Впроизошло, то с какой вероятностью происходит то или другое предположение ?
Эту вероятность легко получить, используя формулу полной вероятности и определение условной вероятности:
.
Получена формула Байеса:
,
где события несовместны и .
Пример 1. На склад поступают детали с двух цехов, причем с первого цеха поступает 40% деталей. Вероятность выпуска детали первого сорта в первом цехе равна 0,7, а для второго цеха эта вероятность 0,8. С какой вероятностью наугад взятая со склада деталь будет первого сорта?
Выдвинем предположения:
деталь выпущена в первом цехе,
деталь выпущена во втором цехе.
Из всех деталей 40% деталей выпускается в первом цехе. Тогда . Аналогично, находим вероятность того, что деталь выпущена во втором цехе .
Введем событие: деталь первого сорта.
Вероятность выпуска детали первого сорта в первом цехе .
Вероятность выпуска детали первого сорта во втором цехе .
Используем формулу полной вероятности
.
.
Пример 2. Наугад выбираем один из трех ящиков. В первом ящике 8 белых и 2 черных шара, во втором ящике 5 белых и 5 черных шаров, а в третьем ящике все белые. Наугад взятый шар из выбранного ящика оказался белым. С какой вероятностью это шар из второго ящика?
Наугад выбираем один из трех ящиков. Поэтому выдвигаем три предположения:
выбрали первый ящик;
выбрали второй ящик;
выбрали третий ящик.
Причем и слагаемые равны. Тогда .
Введем события: А– выбрали белый шар.
Вероятность взять белый шар, если в ящике 8 белых и 2 черных шара. Это условная вероятность .
Вероятность взять белый шар, если в ящике 5 белых и 5 черных шаров. Это условная вероятность .
Если в ящике все белые шары, то вероятность взять из него белый шар .
Найдем вероятность того, что шар взят из второго ящика, если вынутый шар белый . Используем формулу Байеса:
;
.
Глава 2. Случайные величины
§ 1. Понятие случайной величины
Пусть задано вероятностное пространство . Каждому элементарному исходу ставится в соответствие число. То есть строится функция из множества элементарных исходов в множество действительных чисел. Определим множество, состоящее в том, что функция принимает значения меньше значения :
.
Для любого действительного значения хмножество является событием, т.е. . Функция называется случайной величиной.
Случайной величинойназывается функция, такая, что является событием при любом .
Событие принято обозначать и по-другому:
.
Случайные величины обозначают большими буквами Х,Y,Z, … или
Пример 1. Правильную монету подбрасывают дважды. Пространство элементарных исходов состоит из четырех элементов:
.
Все элементарные исходы происходят с равной вероятностью.
В качестве алгебры Fвозьмем множество подмножеств
.
Функция показывает число выпавших гербов при двух подбрасываниях монеты: .
Используем классическое определение вероятности:
;
;
.
Итак,
Для всех выполняется условие . Тогда функция является случайной величиной.