Тема 5. Функціональна залежність. Границя функції

Самостійну роботу з цієї теми слід будувати з урахуваням логічної структури її змісту за таким планом:

5.1. Означення функції однієї та двох змінних.

5.1.1. Повторіть графіки основних елементарних функцій;

5.1.2. Наведіть приклади функцій двох змінних;

5.1.3. Побудуйте області означення для кількох функцій двох змінних.

5.2. Границя послідовності.

5.2.1. Означення границі послідовності;

5.2.2. Нескінченно малі і нескінченно великі величини;

5.2.3. Основні теореми про границі;

5.2.4. Приклади відшукання границь послідовностей з використанням їх властивостей.

5.3. Границя функції однієї змінної.

5.3.1. Означення границі функції (за Гейне, за Коші);

5.3.2. Перша і друга «чудові» границі;

5.3.3. Характерні прийоми, що застосовуються при розв’язуванні вправ на знаходження границь.

5.4. Границя функції двох змінних.

5.4.1. Означення границі функції двох змінних;

5.4.2. Приклади знаходження границі функції двох змінних;

5.4.3. Перехід до полярних координат при відшуканні границі функції двох змінних.

Питання для самоконтролю

1. Дайте означення границі границі послідовності.

2. Дайте означення границі функції однієї змінної.

3. Наведіть геометричну інтерпретацію поняття границі послідовності; границі функції.

4. Які прийоми знаходження границь Вам відомі?

5. Як на практиці знаходять границю функції двох змінних?

6. Наведіть власні приклади відшукання границь з використанням «чудових» границь.

Література : 1, 6.

Тема 6. Неперервність функції. Точки розриву

Самостійну роботу з цієї теми слід будувати з урахуваням логічної структури її змісту за таким планом:

6.1. Означення неперервності функції однієї та двох змінних.

6.1.1. Дайте означення неперервності функції однієї змінної у точці, на відрізку;

6.1.2. Наведіть означення неперервності функцій двох змінних у певній точці площини;

6.1.3. Сформулюйте теореми Больцано-Коші.

6.2. Точки розриву функції однієї змінної.

6.2.1. Означення точки розриву функції;

6.2.2. Точки розриву першого роду (означення, приклади);

6.2.3. Точки розриву другого роду (означення, приклади);

6.2.4. Приклади дослідження функцій на наявність у них точок розриву.

6.3. Дослідження на неперервність функції, заданої кількома аналітичними виразами на окремих інтервалах області визначення.

6.3.1. Відшукання ліво- і правосторонніх границь у характерних точках функції;

6.3.2. Обчислення величин «стрибків», якщо вони існують;

6.3.3. Вирішення питання про можливість «усунення» розриву функції;

6.3.4. Побудова графіка функції.

Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення неперервності функції однієї і двох змінних.

2. Що таке точка розриву першого роду?

3. Що таке точка розриву другого роду?

4. Нескінченний розрив – це розрив якого роду?

5. У чому специфіка дослідження на неперервність функцій двох змінних?

6. Наведіть економічні приклади застосування розривних функцій.

Література : 1, 6.

Тема 7. Похідна. Диференціал

Самостійну роботу з цієї теми слід будувати з урахуваням логічної структури її змісту за таким планом:

7.1. Похідна.

7.1.1. Правила диференціювання функцій;

7.1.2. Логарифмічна похідна;

7.1.3. Частинні похідні;

7.1.4. Застосування похідних у економіці;

7.1.5. Відшукання градієнтів, похідних у заданому напрямку;

7.1.6. Похідна вищого порядку.

7.2. Диференціал.

7.2.1. Означення диференціалу функції однієї і двох змінних;

7.2.2. Геометричччний зміст диференціалу функції однієї змінної;

7.2.3. Інваріантність форми першого диференціалу;

7.2.4. Формули Маклорена для основних елементарних функцій;

7.2.5. Формули Тейлора для функцій однієї і двох змінних.