Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення похідної, частинної похідної.

2. Як диференціюють складну функцію однієї змінної?

3. Що таке логарифмічна похідна?

4. Сформулюйте правило диференціювання обернених, а також, зокрема, обернених тригонометричних функцій.

5. Сформулюйте правило диференціювання функцій, заданих параметрично.

6. Знайдіть диференціали кількох елементарних функцій.

7. Визначіть частинні похідні першого і другого порядку для кількох функцій двох змінних.

8. Поясніть, як знаходять градієнт функції у точці і похідну у заданому напрямку.

9. Запишіть формули Тейлора і Маклорена для функцій однієї і двох змінних.

Література : 1, 6.

Тема 8. Основні теореми диференціального числення функції однієї змінної. Екстремум функції двох змінних

Самостійну роботу з цієї теми слід будувати з урахуваням логічної структури її змісту за таким планом:

8.1. Основні теореми диференціального числення функції однієї змінної.

8.1.1.Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші;

8.1.2. Правила Лопіталя;

8.1.3. Вертикальні асимптоти графіка функції;

8.1.4. Похилі асимптоти графіка функції;

8.1.5. Дослідження функції однієї змінної на монотонність за допомогою першої похідної;

8.1.6. Дослідження функції однієї змінної на екстремум за допомогою першої і другої похідної;

8.1.7. Дослідження напрямку вигнутості кривої.

8.2. Екстремум функції двох змінних.

8.2.1. Означення екстремуму функції двох змінних;

8.2.2. Дослідження на екстремум функції двох змінних;

8.2.3. Умовний екстремум;

8.2.4. Метод найменших квадратів;

8.2.5. Застосування диференціального числення у ризикології.

Питання для самоконтролю

1. Наведіть геометричну ілюстрацію теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.

2. Як застосовують правила Лопіталя до інших невизначеностей (крім тих, які обумовлені правилами)?

3. Знайдіть асимптоти гіперболи.

4. Наведіть приклади вертикальних асимптот елементарних функцій.

5. Як досліджують на монотонність диференційовану функцію?

6. Наведіть правила дослідження функцій на екстремум за допомогою першої і другої похідних.

7. Сформулюйте правило дослідження функції на напрямок вигнутості та на наявність (чи відсутність) у неї точок перегину.

8. Сформулюйте необхідні та достатні ознаки існування екстремуму функції двох змінних.

9. У чому відмінність між екстремальними і найбільшими (найменшими) значеннями функції двох змінних?

10. Як розв’язується задача на умовний екстремум з використанням функції Лагранжа?

Література : 1, 6.

Змістовий модуль 2. Інтеграли. Ряди. Диференціальні рівняння

Тема 9. Невизначений інтеграл. Комплексні числа. Інтегрування раціональних та ірраціональних виразів

Самостійну роботу з цієї теми слід будувати з урахуваням логічної структури її змісту за таким планом:

9.1. Дії з комплексними числами.

9.1.1. Поняття про комплексні числа;

9.1.2. Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі;

9.1.3. Дії над комплексними числами, заданими у тригонометричній формі;

9.1.4. Геометрична ілюстрація дій над комплексними числами.

9.2. Первісна. Невизначений інтеграл.

9.2.1. Означення первісної та невизначеного інтеграла;

9.2.2. Геометрична інтерпретація невизначеного інтеграла;

9.2.3. Метод заміни змінних;

9.2.4. Метод інтегрування по частинах.

9.3. Інтегрування раціональних дробів.

9.3.1. Визначення правильного і неправильного раціонального дробу;

9.3.2. Виділення цілої частини раціонального дробу;

9.3.3. Найпростіші дроби 1-го, 2-го, 3-го, 4-го виду та їх інтегрування;

9.3.4. Представлення правильного раціонального дробу у вигляді суми найпростіших дробів.

9.4. Інтегрування деяких видів ірраціональностей.

9.4.1. Ірраціональності 1-го і 2-го виду;

9.4.2. Підстановки Ейлера;

9.4.3. Інтегрування диференціальних біномів;

9.4.4. Інтегрування тригонометричних функцій.