Умова колінеарності.

З означення дії множення вектора на число випливає умова колінеарності векторів:

Для того щоб вектори ібули колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними, тобто.

Приклад: а) Чи колінеарні вектори і_?

б) Знайти , якщоі_{- колінеарні.}

Розв’язування:

а) Оскільки , то.

б) ;.

Скалярний добуток.

Скалярний добуток векторів і – це число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними, тобто

Скалярний добуток векторів і дорівнює сумі добутків їх відповідних координат, тобто

Із означення скалярного добутку векторів випливає, що:

1. Довжина вектора дорівнює кореню квадратному із скалярного квадрата вектора, тобто

В алгебраїчній формі довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат, тобто

2. Косинус кута між векторами обчислюється за формулою:

, або .

3. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто

або .

Приклад:

а) Знайти скалярний добуток векторів і_{, якщо , .}

б) Знайти довжину вектора _.

в) Знайти кут між векторами і

г) Чи перпендикулярні вектори і_.

д) Знайти , якщоі_{– перпендикулярні.}

Розв’язування:

а) .

б) .

в) .

г) Знайдемо Оскільки, то.

д) . Звідси.

Завдання для розв’язування.

1. Задані вектори і.

Знайти: а) ;б) ;в) ;г) ;.

2. Знайти , якщо векториі– колінеарні.

3. Знайти , якщо векториі–перпендикулярні.

Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

Задача 1. Обчислення координат вектора.

Знайти координати вектора , якщо відомі координати його початкуі кінця.

Розв’язування.

y A B 0 x

Оскільки ,, , то: .

Таким чином, щоб знайти координати вектора, треба від координат кінця відняти відповідні координати початку.

Приклад:

, . Тоді:.

Задача 2. Відстань між двома точками.

Знайти відстань між двома точками площини, якщо відомі координати точок і.

Розв’язування.

Оскільки відстань між двома точками іє довжиною вектора

, то

.

Приклад:

, . Тоді:

.

Задача 3. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Знайти координати точки , яка ділить відрізоку відношенні, тобто:.

Розв’язування.

y x	Нехай задані координати точок і. Знайдемо координати точки. Розглянемо вектори: .

Зауваження:

1. У формулах треба розрізняти координати початку та кінця відрізка.

2. Координати середини відрізка дорівнюють півсумі відповідних координат його кінців. Дійсно, , і

, .

Приклад. Знайти координати точки перетину медіан трикутника, якщо координати його вершин ,,.

Розв’язування.

Зауваження: точку перетину медіан можна знайти за формулою:

; .

Доведіть самостійно.