Тема 8: Перетворення системи координат.

До перетворень системи координат відносяться паралельне перенесення та поворот.

1. Паралельне перенесення

Нехай на площині задана система координат . Зробимо перенесення координатних осей:,. При цьому початок нової системи координат:.

y	Розглянемо довільну точку , яка в системімає координати, а в–.

Перехід від “старої” до “нової”системи координат:

.

Перехід від “нової” до “старої”системи координат:

.

Приклад.

Рівняння деякої лінії має вигляд . Яким буде рівняння цієї ж лінії після переносу початку координат у точку.

Розв’язування.

2. Поворот координатних осей

Початок координат залишимо на своєму місці, а вісі повернемо на деякий кут .

Перехід від „нових” до „старих” координат точки : Перехід від „старих” до „нових” координат точки :

Тема 9: Криві іі порядку.

Розглянемо загальне рівняння ІІ степеня з двома змінними і :

, де . (9.1*)

Завжди можна підібрати кут , на який потрібно зробити поворот системи координаттак, щоб у новій системі рівняння(9.1*) не містило добутку (тобто). Тому далі розглядаємо рівняння

, де . (9.1)

Дослідимо три можливі випадки:

І. Еліптичний: (тобто коефіцієнти приі одного знака).

ІІ. Гіперболічний: (коефіцієнти приі різного знака).

ІІІ. Параболічний: (тільки одна із змінних входить до рівняння у другому степені).

І. Еліптичний випадок (). Виділяючи повні квадрати по обох змінних, рівняння (9.1) зводимо до вигляду:

(9.2)

Продемонструємо цей процес на конкретному прикладі:

а) згрупуємо змінні:

б) винесемо за квадратні дужки коефіцієнти при , :

в) доповнюємо до повних квадратів:

г) розкриємо (лише квадратні) дужки і приведемо до вигляду (9.2):

.

Повернемося до рівняння (9.2). Це рівняння може визначати на площині різні множини точок, тому розглянемо всі можливі випадки:

1. Якщо ,і– одного знака, то діленням обох частин рівняння(9.2) на дістанемо:

або .

Позначимо ,. Тоді рівняння(9.2) набуває вигляду:

–нормальне рівняння еліпса.

Можна показати, що дане рівняння визначає на площині:

а) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі(див. рис.1):

y

В₁

M(x; y)

a

b

А₁

А₂

a

y₀

y=y₀

0'

F₁

F₂

b

c

c

B₂

x₀

x

0

x=x₀

Рис.1

Параметри еліпса: центр – ;– велика вісь (або– велика піввісь);– мала вісь (або– мала піввісь);– фокуси, які лежать на великій осі і розташовані на відстанівід центра; ексцентриситет, який визначається як відношення міжфокусної відстанідо великої осіі для еліпса;– вершини еліпса.

Характеристична властивість точок еліпса

Сума відстаней від будь–якої точки еліпса до двох даних точок – фокусів (або сума фокальних радіусів,) є величина стала, яка дорівнює великій осі еліпса, тобто.

Зауваження. Характеристичну властивість точок еліпса можна прийняти за його геометричне означення.

Зазначимо, що у попередньому конкретному прикладі маємо саме такий випадок (;;– одного знака), тому рівняння зводиться до такого нормального рівняння еліпса:

або .

О

y

x = 5

тже, вихідне рівняння ІІ степеня визначає на площиніеліпс з параметрами: центр;– велика, а– мала півосі); відстань від центра до фокусів; ексцентриситет. Цей еліпс можна схематично побудувати (див. рис.2):

x

0

1

В₁

2,8

2,8

y = –1,5

А₁

А₂

1

2,6

2,6

0'

F₁

F₂

Рис.2

В₂

б) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі.

Наприклад: ;еліпс;

; ;;;

; ;

–нормальне рівняння еліпса (рис.3)

1,4 1,4 1,7 1,7 1 х y 0 х = –1 F1 F2 Рис.3

Параметри: центр ; –мала, а – велика півосі; відстань від центра до фокусів ; ексцентриситет .

в) у випадку еліпс перетворюється в коло з центромрадіуса.

Наприклад:

y

нормальне рівняння кола. (рис.4) Параметри: центр ; радіус.

y = 2 x 0 x = 4 Рис.4

2. Якщо в рівнянні (9.2) і– різних знаків, то немає точок площини, координати яких задовольняли б рівняння. У цьому випадку кажуть, що рівняння визначаєуявний еліпс.

Наприклад: ;еліпс.

; ;

; ;

; .

Дістали рівняння, ліва частина якого набуває при будь–яких тільки невід’ємних значень. Отже, рівняння визначає порожню множину точок –уявний еліпс.

3. Якщо , то рівняння(9.2) набуває вигляду:

,

і визначає єдину точку –вироджений еліпс.

ІІ. Гіперболічний випадок .

Аналогічно еліптичному випадку загальне рівняння (9.1) приводиться до вигляду (9.2):

.

1. Якщо , то, поділивши обидві частини рівняння(9.2) на або (–), дістанемо одне із двох рівнянь:

–нормальні рівняння гіперболи.

Можна показати, що ці рівняння визначають на площині:

а) – гіперболу з дійсною віссю, вершинами і фокусами – на прямій(див. рис.5)

y

M (x, y)

B₁

b

F₂

F₁

O’

y = y₀

A₁

A₂

a

a

b

B₂

x

0

x = x₀

Рис.5

Параметри: центр ;– дійсна,– уявна півосі; вершини; фокусизнаходяться на прямійна відстанівід центра; ексцентриситет – відношення міжфокусної відстанідо дійсної осі –, який для гіперболи; асимптоти – прямі (діагоналі так званого „основного прямокутника”), що визначаються рівняннями.

Нагадаємо, що пряма єасимптотою лінії , якщо при прямуванні точки по лініїу нескінченність відстань від цієї точки до асимптотипрямує до нуля.