Завдання для розв’язування.

Обчислити визначники:

а)

б)

в)

г)

д)

ж) ;

з) ;

е) .

Обернена матриця.

Повернемось до операції «ділення матриць» (яку визначимо як добуток на обернену матрицю).

Нехай – ­­квадратна матриця порядку .

Означення. Матриця називається оберненою до матриці , якщо

- одинична матриця.

Зауваження. Очевидно, що – квадратна матриця того ж порядку, що і .

Означення. Квадратна матриця називаєтьсяневиродженою, якщо її визначник . У супротивному випадку матрицяназиваєтьсявиродженою.

Справедлива наступна

Теорема. Для існування оберненої матриці до квадратної матрицінеобхідно і достатньо, щоб її визначник(тобто матриця повинна бути невиродженою).

Доведення.

Схема знаходження оберненої матриці.

1. Знаходимо визначник матриці . Якщо, якщо ж- вироджена, і не .

2. Знаходимо – алгебраїчні доповнення усіх елементів визначника.

3. Записуємо обернену матрицю:

.

4. Якщо потрібно, виконуємо перевірку:

(або ).

Наприклад, знайти обернену для матриці

.

Розв’язування.

Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.

Розглянемо матрицю розміру .

.

Означення. Мінором -го порядку матриці називається визначник -го порядку, складений з елементів матриці, які розташовані на перетині деяких рядків і стовпців.

Наприклад:

,

, – мінори 1–го порядку. Очевидно, що мінорами 1–го порядку є елементи матриці.

– мінор 2–го порядку. (В мінорах матриці нижні індекси вказують номери рядків, а верхні – номери стовпців матриці, які використовуються для утворення даного мінора).

,

– мінори 3–го порядку

– мінор 4–го порядку, який містить нульовий рядок.

Приклад дозволяє зробити такий висновок: для ненульової матриці можливий порядокїї мінорів – це натуральне число, яке задовольняє нерівність.

Означення. Рангом матриці називається максимальний порядок її відмінного від нуля мінора. Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Ранг матриці позначаєтьсяі, очевидно, задовольняє нерівність.

У розглянутому прикладі у матриці є відмінний від нуля мінор 3–го порядку, а всі мінори 4-го порядку дорівнюють нулю (переконайтесь самостійно). За означенням,.

Приклад 1.

,

, а всі мінори 2–го порядку дорівнюють нулю (перевірте самостійно, враховуючи властивості визначників). Тому .

Приклад 2.

; ;.

. Отже, .

Таким чином, якщо , то це означає, що у даної матриціє мінор порядку, відмінний від нуля, а всі мінори більш високих порядків (якщо вони існують) дорівнюють нулю.

Приклад 3.

–одинична матриця -го порядку.

, тобто ранг одиничної матриці дорівнює її порядку.

Важливе зауваження: ранг діагональної, трикутної (верхньої або нижньої) матриці, діагональні елементи якої відмінні від нуля, дорівнює її порядку (тобто, кількості цих відмінних від нуля діагональних елементів).

Означення. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції над матрицею:

1. Транспонування матриці.

2. Перестановка місцями паралельних рядів.

3. Викреслювання нульового ряду, а також усіх, окрім одного, із паралельних пропорційних рядів.

4. Множення ряду на число, відмінне від нуля.

5. Додавання до елементів ряду відповідних елементів паралельного ряду, помножених на довільне число.

Неважко переконатись, що справедлива наступна

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Означення. Матриці називаються еквівалентними, якщо вони мають однаковий ранг.

За допомогою елементарних перетворень довільну ненульову матрицю можна привести до еквівалентної їй трикутної матриці, діагональні елементи якої відмінні від нуля. На цьому базується метод знаходження рангу матриці.

Схема обчислення рангу матриці