Пряма лінія.

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

Теорема. Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора має вигляд:

(1)

Доведення.

y x

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора.

Розв’язування.

Приклад 2. Скласти рівняння висоти трикутника, яка проходить через точку , якщо відомі вершини трикутника:,,.

Розв’язування.

Якщо зробити перетворення рівняння (1)

і позначити , то отримуємо:

, де (2)

• загальне рівняння прямої на площині.

Дослідження загального рівняння прямої

, .

Розглянемо положення прямої на площині залежно від коефіцієнтів рівняння.

І. .

а) ;. Отримуємо: , звідки – прямапроходить через початок координат.

у L х 0

б) ; . Отримуємо: , звідки –вісь .	y 0 x
в) ; . Отримуємо: , звідки – вісь .	y 0 х
II..
а) ; . Отримуємо: , звідки – прямапаралельна осі .	у L 0 х
б) ; . Отримуємо: , звідки – прямапаралельна осі .	у L 0 х

Із дослідження загального рівняння прямої випливає

Теорема (про загальне рівняння прямої на площині). Будь-яке рівняння першого степеня з двома змінними (2) визначає деяку пряму на площині і навпаки, будь-яка пряма на площині визначається деяким рівнянням (2).

Доведення.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої).

Теорема. Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої) має вигляд:

. (3)

Доведення. Нехай задана точка і напрямний вектор, який паралельний прямій .

y M(x; y) L x

Приклад. Трикутник задано вершинами,;. Скласти рівняння прямої, яка проходить через вершинупаралельно стороні.

Розв’язування.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дано дві неспівпадаючі точки і,

у х L 0

через які проходить пряма . Очевидно, вектор є напрямним до прямої . Із канонічного рівняння прямої дістаємо:

(4)

– рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки і.

Розв’язування. За формулою (4) маємо:

; , або,

.

Зауваження. Якщо один із знаменників дробів у формулі (4) дорівнює нулю, наприклад , то це означає, що пряма паралельна осіі має рівняння. Аналогічно, якщо, то пряма паралельна осіі має рівняння.

Приклад. Задано вершини трикутника ,,. Скласти рівняння його сторін.

Розв’язування. За формулою (4) маємо:

рівняння сторони :

; ,,.

: ;,.

: ;,.