Рівняння прямої у відрізках на осях.

у х	Розглянемо пряму, яка проходить через точки і, тобто відтинає відповідно на осяхівідрізкиі. Використовуючи рівняння прямої, яка проходить через дві точки, отримуємо:

; ;звідси:

–рівняння прямої у відрізках на осях.

Зауваження. Цим рівнянням не можна користуватися, якщо пряма паралельна одній з координатних вісей або проходить через початок координат.

Приклад. Записати рівняння у вигляді рівняння прямої у відрізках. Побудувати графік.

Розв’язування. ;

або ;;.

у х Пряма проходить через точки і .

l 5

-2

Відстань від точки до прямої.

Відстань від точки до прямоїобчислюється за формулою:

(5)

Приклад. Знайти відстань від точки до прямої.

Розв’язування. За формулою (5) отримуємо:

.

Приклад. Задані вершини трикутника ,,. Знайти довжину висоти, яка проведена з вершини.

Розв’язування. Знайдемо довжину висоти як відстань від точки до прямої. Рівняннязнайдемо за формулою(4):

; ;.

Отже, довжина висоти дорівнює:

.

Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кутом нахилу прямої до осі Оx називається кут , на який потрібно повернути в додатному напрямку (проти годинникової стрілки) вісь Ох до тих пір, доки вона не співпаде або не стане паралельною до даної прямої.

Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямої і позначається , тобто

.

Якщо пряма не паралельна осі Oy і на цій прямій задані будь-які дві

N	точки і, то кутовий коефіцієнт прямої обчислюється за формулою:. Дійсно, у прямокутному трикутнику .

Зауваження 1. Якщо пряма буде паралельна до осі ординат (тобто), то, отже, кутовий коефіцієнт неможливо визначити.

Приклад. Нехай ,– точки прямої. Тоді її кутовий коефіцієнт:.

Розглянемо загальне рівняння прямої . Якщо, то пряма не паралельна осі ординат. Розв’яжемо це рівняння відносно:. Позначимо,.

Отримуємо: – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, де– кутовий коефіцієнт прямої,– відрізок, який відтинає пряма на осі ординат.

Наслідок. Графіком лінійної функції є пряма.

Приклад. Звести загальне рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Розв’язування. Розв’язуємо дане рівняння відносно :

. Отримаємо . Отже,.

Приклад. Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , якщо вона проходить через точку.

Розв’язування. Підставляючи в рівняння координати точкиі значення кутового коефіцієнта, знаходимо:

. Звідси . Отже,.

Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.

Кутом між двома прямими називається найменший кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки одну пряму так, щоб вона співпала або стала паралельною іншій прямій.

		Як видно, , тоді . Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
, ,			, .

Кут між двома прямими можна також знаходити як кут між векторами нормаліі(або напрямними векторамиі) цих прямих. Отже:

Якщо прямі задані загальними рівняннями

, ,

то ,

і ;.

Якщо прямі задані у канонічному вигляді,

, ,

то ,

і ;.

Приклад.

Знайти кут між прямими: а) і.

б) і ; в) і.

Розв’язування.