Тема 9. Методы принятия решений

Практически любой метод принятия решений, используемый в управлении, можно технически рассматривать как разновидность моделирования. Однако по традиции термин «модель» обычно относится лишь к методам общего характера, описанным выше, а также к многочисленным их специфическим разновидностям. В дополнение к моделированию, имеется ряд методов, способных оказать помощь руководителю в поиске объективно обоснованного решения по выбору из нескольких альтернатив той, которая в наибольшей мере способствует достижению целей. К такого рода методам относятся платежная матрица и дерево решений.

Платежная матрица. Суть каждого принимаемого руководством решения – выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица – это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.

По словам Н. Пола Лумбы, платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу.

Рассмотрим принципы составления платежной матрицы и ее использования на следующем примере. Представим ситуацию торгового агента, который решает, лететь ему самолетом или ехать поездом в город, где находится потребитель. Если погода будет хорошей, он может лететь и потратить на всю дорогу от ворот до ворот 2 часа, а если придется ехать поездом – 7 часов. Если он поедет поездом, то потеряет день на месте его работы, который, по его оценке, мог бы увеличить сбыт на 1500 долл. По оценке агента, иногородний потребитель должен вручить ему заказ на 3000 долл., если он лично посетит клиента. Если он запланирует лететь к клиенту, а потом самолет вынужден будет приземлиться из-за тумана, придется заменить личное посещение телефонным звонком. Это приведет к уменьшению заказа иногороднего клиента до 500 долл., зато агент сможет обеспечить заказы на 1500 долл. дома. Составим платежную матрицу табл. 2.2.2, отражающую возможные варианты развития ситуации с погодными условиями и исходы альтернативных решений.

	Платежная матрица		Таблица 2.2.2
	Погода	Туман (р = 0,1)	Ясная погода (р = 0,9)
Альтернативы
Альтернатива 1:	Лететь самолетом	2000	4500
Альтернатива 2:	Ехать поездом	3000	3000
Альтернатива 3:	Работать дома	2000	2000

Приведенные выше данные платежной матрицы отражают оценку последствий разных вариантов действий. Дополнительно представлены некоторые предположения относительно вероятности тумана (который скажется на самолете, но не на поезде) и ясной погоды. Мы видим, что вероятность ясной погоды в 10 раз

57

выше, чем тумана. Далее, матрица показывает, что, действуя по первому варианту стратегии (самолет), если погода будет хорошей (9 шансов из 10), торговый агент по оценке продаст товаров на 4500 долл. (это и есть результат или последствия).

Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу, и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего, будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются или могут совершиться. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.

Для приведенного примера можно сделать следующие выводы. Если неизвестно, какая будет погода, исходя из максимизации дохода, следует ехать поездом и получить 4500 долл., так как в первом и третьем варианте доход может быть 2000 долл. Если же вероятность ясной погоды выше (как в примере: 9 против 1), то можно рисковать и заработать 3000 долл.

Вцелом платежная матрица полезна, когда:

–имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними;

–то, что может случиться, с полной определенностью не известно;

–результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Однако также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя (эксперта), который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть – в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения – центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии – это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 – 10 000 долл. и

свероятностью 0,3 – 3000 долл., то ожидаемое значение составит:

5000 (0,5) + 10 000 (0,2) + 3000 (0,3) = 5400 долл.

58

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может установить, какой выбор наиболее привлекателен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению. Исследования показывают: когда установлены точные значения вероятности, методы дерева решений и платежной матрицы обеспечивают принятие более качественных решений, чем традиционные подходы.

Дерево решений – еще один популярный метод науки управления, используемый для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов. Дерево решений – это схематичное представление возможных вариантов развития ситуации и ее исходов (результатов). Как и платежная матрица, дерево решений дает руководителю возможность учесть различные направления действий, соотнести с ними финансовые результаты, скорректировать их в соответствии с приписанной им вероятностью, а затем сравнить альтернативы. Концепция ожидаемого значения является неотъемлемой частью метода дерева решений.

Методом дерева решений можно пользоваться в ситуациях, подобных описанной выше, в связи с рассмотрением платежной матрицы. В этом случае предполагается, что данные о результатах, вероятности и т.п. не влияют на все последующие решения. Однако дерево решений можно построить под более сложную ситуацию, когда результаты одного решения влияют на последующие решения. Таким образом, дерево решений – это полезный инструмент для принятия последовательных решений. На рис. 2.2.2 проиллюстрировано применение метода дерева решений для разрешения проблемы, требующей определенной последовательности решений. Заметим, что дерево решений строится слева направо, а анализируется справа налево.

Вице-президент по производству из компании, в настоящее время выпускающей электрические газонокосилки, считает, что расширяется рынок ручных косилок. Он должен решить, стоит ли переходить на производство ручных косилок, и если сделать это, – стоит или не стоит продолжать выпуск электрических газонокосилок. Производство косилок обоих типов потребует увеличения производственных мощностей. До принятия решения руководитель собрал релевантную информацию об ожидаемых выигрышах в случае тех или иных вариантов действий и о вероятности соответствующих событий. Эта информация представлена на дереве решений.

Используя дерево решений, руководитель находит путем возврата от второй точки к началу наиболее предпочтительное решение – наращивание производственных мощностей под выпуск косилок обоих типов. Это обусловлено ожидаемым выигрышем (3 млн. долл.), который превышает выигрыш (1 млн. долл.) при отказе от такого наращивания, если в точке А будет низкий спрос на электрические косилки. Руководитель продолжает двигаться назад к текущему моменту (первой точке принятия решений) и рассчитывает ожидаемые значения в случаях альтернативных действий – производства только электрических или только ручных косилок. Ожидаемое значение для варианта производства только электрических косилок составляет 6,5 млн. долл. (0,7×8 млн. долл. + 0,3×3 млн. долл.). Подобным образом рассчитывается ожидаемое значение для варианта выпуска только ручных косилок, которое равно всего 4,4 млн. долл.

59

Первая		Возможные		События	Ожидаемый	Вторая			Возможные	Ожидаемый
точка		действия		(значения	выигрыш	точка			действия	выигрыш
принятия				вероятности	(последствия	принятия
решений				событий)	реально про-	решений
					исходящего
					конкретного
					события)
				Высокий					Увеличение
				спрос на
									производст-
				электрические	8 млн. долл.
		Производство							венных мощ-
				косилки (0,7)					ностей для
		только							развертывания
		электрических							производства	3 млн. долл.
		газонокосилок							косилок обоих
		А							типов
				Низкий	3 млн. долл.
							2
	1			спрос на
			электрические		6 млн. долл.
				косилки (0,3)
				Высокий						1 млн. долл.
			Б	спрос на					Отказ от
		Производство		ручные					наращивания
				косилки (0,6)					производст-
		только ручных							венных
		косилок		Низкий	2 млн. долл.				мощностей

спрос на ручные косилки (0,4)

Рис. 2.2.2. Дерево решений

Таким образом, наращивание производственных мощностей под выпуск косилок обоих типов является наиболее желательным решением, поскольку ожидаемый выигрыш здесь наибольший, если события пойдут, как предполагается.

Тема 10. Многокритериальный выбор и оценочные системы

Многокритериальные оценки, требования к системам критериев

При разработке управленческих решений важно правильно оценить сложившуюся ситуацию и альтернативные варианты решений с целью выбора наиболее эффективного решения, соответствующего целям организации.

В практике оценивания все большее значение приобретают многокритериальные оценки объектов экспертизы, которые во многих случаях обеспечивают получение более достоверной экспертной информации.

Действительно, во многих случаях объект характеризуется не одним критерием, а несколькими. Скажем, при оценке конкурентоспособности число таких критериев может доходить до ста и более.

Наряду с термином «критерий» могут использоваться также термины «фактор», «показатель», «частный критерий» и т.д.

Если говорить о многокритериальном оценивании при принятии решений, то прежде всего необходимо отметить связь, существующую между критериями и целями.

60

Организация, ЛПР при принятии решений руководствуются целями, которые они стремятся достигнуть. Каждой цели, как уже говорилось выше, должен соответствовать критерий, с помощью которого может быть оценена степень достижения цели.

Так, например, если целью является обеспечение высокого качества выпускаемого предприятием изделия, то в роли интегрального критерия может выступать качество изделия, а в роли частных критериев – показатели, характеризующие функциональные возможности изделия, экономические, экологические, эргономические, а также показатели надежности, безопасности и др.

Естественно, что, оценив предварительно значения частных критериев для объекта, мы с большей достоверностью можем говорить об оценке качества объекта в целом.

Цели ЛПР при принятии решений относительно как простых, так и в большей степени достаточно сложных объектов экспертизы нередко представляют в виде дерева целей, отражающего иерархическую структуру системы целей ЛПР.

Если вернуться к рассмотренному выше примеру, дерево критериев для интегрального критерия «качество изделия» схематически может быть представлено следующим образом (рис. 2.2.3):

Качество изделия

Функциональные		Показатели
возможности

								Эконо-									Техни-								Эргоно-
1		2		3
							мические										ческие								мические
							1			2			3			1			2			3			1		2

Рис. 2.2.3. Дерево критериев для интегрального критерия «качество изделия»

Критерии третьего иерархического уровня дерева, приведенного на рис. 2.2.3, образуют показатели, непосредственно характеризующие функциональные возможности изделия, экономические показатели и т.д.

Для того, чтобы рассчитать для оцениваемого объекта значения критериев более высокого иерархического уровня, необходимо предварительно рассчитать значения критериев более низкого иерархического уровня. Способы расчета значения критерия по значениям критериев более низкого иерархического уровня в настоящее время достаточно хорошо разработаны.

Набор критериев, предназначенный для оценки объекта экспертизы, должен обладать рядом свойств, делающих его использование оправданным: полнота, действенность (операционность), разложимость, неизбыточность, минимальная размерность.

Решение многих стратегических задач определения наиболее важных направлений деятельности организации, установление приоритетности финансирования проектов и работ, оценка перспективности проектов и т.д. невозможны без использования систем многокритериального экспертного оценивания.

61

Ниже мы приведем описание методов, используемых при многокритериальном экспертном оценивании, при формировании оценочной системы и, в конечном счете, при определении сравнительной предпочтительности альтернативных вариантов решений.

Методы «Стоимость – эффективность» и «Затраты – прибыль»

При решении указанных выше задач ЛПР приходится сталкиваться с необходимостью согласования подчас противоположных целей.

Вкачестве примера приведем один из методов поиска компромиссных решений, известный под названием «стоимость – эффективность» и используемый при принятии как важных стратегических, так и тактических решений.

Остановимся на основных особенностях практического применения анализа «стоимость – эффективность».

Как показывает опыт, наиболее эффективные проекты нередко оказываются

инаиболее дорогостоящими. Естественно, что если бы среди рассматриваемых ЛПР предложений оказался проект, ожидаемая эффективность которого превосходит ожидаемую эффективность других проектов, а стоимость – меньше стоимости других проектов, то стоящая перед ЛПР проблема выбора решалась бы просто. Такой проект и является наиболее предпочтительным.

Однако в реальной практике принятия решений этот случай крайне редкий. Поэтому, для того чтобы выбрать действительно наиболее предпочтительный альтернативный вариант, необходим дополнительный анализ – дополнительная многокритериальная, а в рассматриваемом случае двухкритериальная оценка.

Отметим, что в анализе «стоимость – эффективность» не делается попытка найти одну общую меру, единственную количественную оценку, которая позволила бы сопоставить по предпочтительности (ранжировать) рассматриваемые ЛПР альтернативные варианты проектов.

Не менее часто в практике принятия решений используется так называемый метод «затраты – прибыль», при котором рассматриваются различные виды «прибыли».

Под различными видами «прибыли» здесь понимаются различные критерии, характеризующие проект, причем не обязательно экономической природы.

Одно из основных требований этого метода, заложенное в алгоритме принятия решения, – возможность складывать различные виды «прибыли» с фиксированными числовыми коэффициентами, получая единую составную величину – «прибыль», характеризующую проект.

Вчастности, поскольку даже с экономической точки зрения проекты могут характеризоваться различными критериями, составную «прибыль» могут образовывать такие показатели, как потоки платежей, внутренняя норма окупаемости, срок окупаемости и т.д.

Наиболее трудным при использовании данного метода является надежное определение коэффициентов, отражающих степень вклада каждого из показателей в составную «прибыль».

После того, как составные «прибыли» для проектов определены, мы получаем двухкритериальную задачу выбора. Этот прием позволяет сводить многокритериальную задачу при числе критериев, большем двух, к двухкритериальной.

Одним из возможных способов практического решения задач многокритериального оценивания в методах «стоимость – эффективность» и «затраты –

62

прибыль» является назначение желательных уровней получаемых прибылей, достигаемых при условии, что необходимые при этом затраты не превосходят заданный уровень.

Наиболее предпочтительные проекты определяются с помощью варьирования желательных уровней получаемых «прибылей» при фиксированном объеме затрат.

В методе «затраты – прибыль» для каждого проекта с номером к, рассчитав значение составной прибыли Вк и требуемых затрат Ск, можно рассчитать и ве-

личину отношения Вк/Ск, характеризующую ожидаемое значение составной «прибыли» на единицу затрат.

Далее, упорядочив проекты по убыванию значения отношения Вк/Ск, мы получим ранжирование рассматриваемых проектов по степени предпочтительности, имея в виду, что наиболее предпочтительным проектом является проект с наибольшей ожидаемой составной «прибылью», получаемой на единицу затрат.

Вторым по предпочтительности является проект, обладающий вторым по величине значением ожидаемой составной «прибыли», получаемой на единицу затрат, и т.д.

Для того чтобы сформировать портфель проектов, обладающих максимальной ожидаемой составной «прибылью», необходимо последовательно включать

в такой перечень проекты по убыванию отношения Вк/Ск до тех пор, пока не будет исчерпан выделенный на финансирование проектов объем средств С.

Если проекты, включенные в перечень согласно изложенному выше алгоритму, полностью исчерпывают выделенный объем средств С, то мы получаем оптимальное решение задачи распределения ресурсов.

Оценочные системы

Значительная роль при проведении процедур многокритериального экспертного оценивания принадлежит оценочным системам. Оценочная система, используемая при многокритериальном экспертном оценивании, включает такие важные составляющие, как:

1.Перечень критериев, характеризующих объект принятия управленческого решения.

2.Оценка сравнительной важности критериев.

3.Шкала для оценки проектов по критериям.

4.Формирование принципа выбора.

Формирование составляющих оценочной системы в различной степени трудоемко. Однако отсутствие какой-либо из перечисленных выше составляющих либо недостаточное качество какой-либо из них делают невозможным получение адекватной оценки проекта и, как следствие, затрудняют процесс выработки и принятия эффективных решений.

Остановимся подробнее на каждой из составляющих оценочной системы. 1. Формирование перечня критериев. Перечень критериев, характеризую-

щих сравнительную предпочтительность объектов принятия управленческого решения, должен удовлетворять ряду естественных требований.

Степень достижения цели может быть измерена лишь с помощью специальных критериев. В качестве таких критериев могут быть использованы экономические критерии: поток платежей, прибыль, срок окупаемости, внутренняя норма окупаемости и т.д.

63

Нередко наряду с критериями чисто экономического характера приходится учитывать и критерии другой природы:

–критерии, характеризующие технические возможности продукции, выпуск которой становится осуществимым благодаря реализации проекта;

–критерии, характеризующие экологическую безопасность производства;

–критерии, характеризующие степень риска при реализации проекта. Основная цель использования многокритериальной оценки состоит в пере-

ходе от таких понятий, как «полезность объекта принятия управленческого решения», «ценность», «важность», которые, как правило, достаточно сложны при практической работе с ними, к более понятным критериям, характеризующим указанные понятия и гораздо более пригодным для оценки экспертами.

Сформулированная ЛПР цель может оказаться неоцениваемой количественно. Как правило, цель, стоящая перед организацией, или то более общее понятие, которое мы используем для оценки объекта принятия решения, заменяется

совокупностью критериев.

Кэтой совокупности критериев предъявляется ряд требований. Как уже говорилось выше, лишь совокупность критериев, удовлетворяющая необходимым требованиям, может входить в состав оценочной системы.

Кчислу таких требований относится полнота совокупности критериев, иными словами, совокупность критериев должна всесторонне и адекватно характеризовать цель. В частности, при выборе проекта должны оцениваться такие критерии, как возможность успешной реализации проекта, полезность проекта и т.д.

Критерии, используемые при формировании оценочной системы, должны быть измеримыми, т.е. должна иметься возможность оценки любого рассматриваемого объекта экспертизы по каждому из критериев.

Отметим, что не все критерии могут допускать объективную оценку, хотя все критерии должны быть измеримыми.

Естественно, что такие критерии, как «объем продукции», «себестоимость продукции», «срок окупаемости», могут быть отнесены к объективным. В то же время такие критерии, как «гудвилл», связанный с оценкой интеллектуальной собственности, «имидж фирмы», «социальная значимость проекта» и другие, могут быть измерены лишь субъективно.

Отметим в то же время, что многие из объективных критериев, относящихся к будущим периодам, нередко также могут быть оценены лишь субъективно. Так, например, ожидаемые объемы производства продукции, которые станут возможными после реализации проекта, ожидаемая цена единицы продукции и др. часто во многом зависят от оценок экспертов, являющихся в строгом смысле слова субъективными.

Поэтому так необходим профессионализм при организации проведения процесса экспертного оценивания, анализе и обработке результатов экспертных оценок, используемых при выработке и принятии управленческих решений.

Но первым шагом в процессе экспертного оценивания является формирование адекватной оценочной системы.

Мы обсудили некоторые требования, предъявляемые к совокупности критериев, включаемых в состав оценочной системы.

64

Практическое формирование перечня критериев также представляет собой в значительной степени экспертную процедуру. Это могут быть 2-3-туровые экспертизы, когда предварительно сформулированный перечень критериев уточняется экспертами.

Иногда целесообразно агрегирование критериев. Этим может быть достигнуто как снижение избыточности критериев, особенно в случае, когда имеется частичное дублирование критериев, так и общее уменьшение количества критериев, что важно для снижения трудоемкости работы с оценочной системой.

Во многих случаях целесообразным при определении состава критериев является использование наряду с методами экспертного оценивания методов, соединяющих возможности экспертного оценивания и формализованные матема- тико-статистические подходы.

К числу таких математико-статистических подходов могут быть отнесены факторный и корреляционный анализы.

2. Определение сравнительной важности критериев. Когда альтернативы оцениваются не по одному, а по нескольким факторам, признакам, критериям, сложность анализа и обработки результатов экспертиз существенно возрастает. Более трудоемким становится определение их сравнительной предпочтительности.

Обобщенные критерии. При принятии управленческих решений проблемы сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов играют особую роль. Пустьрассматриваютсяинвестиционныепроектывобластимашиностроения.

Вкачестве обобщенного критерия, характеризующего сравнительную предпочтительность инвестиционных проектов, представленных на инвестиционный конкурс, определена сравнительная эффективность проекта.

Вкачестве частных критериев первого иерархического уровня выбраны конкурентоспособность, ресурсосбережение, экологическая безопасность и социальная значимость.

Вэтом случае:

К1 – конкурентоспособность; К2 – ресурсосбережения; К3 – экологическая безопасность; К4 – социальная значимость.

Пусть инвестиционный проект А характеризуется четырехмерным вектором оценок ХА = (4, 3, 2, 4), а инвестиционный проект В – вектором оценок ХВ = (3, 2, 2, 1).

Инвестиционный проект А более предпочтителен, чем инвестиционный проект В, поскольку вектор оценок ХА по всем компонентам (частным критериям) предпочтительнее, чем вектор оценок ХВ.

Приведем общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы, характеризующихся соответствующими векторами оценок.

Альтернативный вариант (объект) ai считается недоминируемым, если не существует альтернативного варианта аj, превосходящего (не уступающего) аi по всем компонентам (частным критериям).

Естественно, что наиболее предпочтительный среди сравниваемых альтернативных вариантов а1, ..., аn относится к числу недоминируемых.

65

Недоминируемые альтернативные варианты, как уже говорилось выше, образуют множество Парето.

При выборе наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, как правило, недостаточно ограничиться лишь указанием множества Парето, которому может принадлежать слишком много объектов. Поэтому часто используются другие, более тонкие методы сравнительной оценки альтернативных вариантов.

Линейные обобщенные критерии строятся в предложениях аддитивности частных критериев и сопоставимости их по относительной важности. Заметим, что сравнивать по предпочтительности целесообразно лишь однородные критерии, измеряющие интенсивность свойств одной и той же природы.

Вслучае, когда критерии таковыми не являются, необходимо их преобразовать в однородные.

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленческих решений в практике управления – метод обобщенных линейных критериев.

Вэтом методе предполагается определение весовых коэффициентов с1, ..., cs частных критериев К1, ..., КS, содержащих большую информацию о сравнительной важности критериев, чем их измерение в шкале порядка.

3. Шкалы оценочных систем. Это даже необязательно должны быть количественные измерения в привычном для нас понимании. Это могут быть и качественные оценки, позволяющие судить о происходящих изменениях, об их динамике.

Поэтому, когда мы говорим об оценках экспертов, мы понимаем под этим количественные или качественные измерения соответствующих показателей.

Характер произведенных экспертных измерений необходимо принимать во внимание и при проведении процедур экспертного оценивания, выработке и принятии управленческих решений, определении коллективных решений.

Эксперты должны однозначно понимать, что именно и в какой шкале они оценивают, чтобы избежать ситуаций, когда эксперты оценивают один и тот же показатель, характеризующий объект, исходя из различных предпосылок.

Взависимости от целей экспертизы эксперты могут оценивать стоимость объекта, ожидаемую инфляцию, ожидаемые изменения валютного курса, степень удовлетворительности достигнутого уровня по тому или иному показателю, приоритетность финансирования, кредитные лимиты, устойчивость фирмы, рейтинг банка и т.д.

Если критерии, по которым оцениваются проекты, носят экономический характер и измеряются в рублях (долларах), годах (месяцах), процентах и т.д., то мы, как правило, пользуемся соответствующими общеизвестными шкалами.

Однако нередко при оценивании проектов возникает необходимость в использовании критериев, оценки по которым могут быть получены лишь с помощью специально разрабатываемых вербально-числовых шкал.

Вербально-числовые шкалы применяются преимущественно в тех случаях, когда оценки по критерию носят субъективный характер.

Например, субъективный характер, в основе которого опыт и знания эксперта, носят оценки степени риска, ожидаемой конкурентоспособности продукции, сравнительной значимости того или иного фактора и многие другие.

Смысл вербально-числовых шкал в том, что они позволяют измерить степень интенсивности критериального свойства, имеющего субъективный характер.

66

Всостав вербально-числовых шкал входят, как правило, содержательное описание градаций шкалы и числовые значения, соответствующие каждой из градаций шкалы.

Вкачестве примера вербально-числовой шкалы, имеющей достаточно широкое применение, мы приведем шкалу Харрингтона, характеризующую степень выраженности критериального свойства и имеющую универсальный характер

(табл. 2.2.3).

Отметим, что численные значения градаций шкалы Харрингтона получены на основе анализа и обработки большого массива статистических данных.

Таблица 2.2.3

Вербально-числовая шкала Харрингтона

№	Содержательное описание градаций	Численное значение
1	Очень высокая	0,8	÷ 1,0
2	Высокая	0,64 ÷ 0,8
3	Средняя	0,37	÷ 0,64
4	Низкая	0,2 ÷ 0,37
5	Очень низкая	0,0	÷ 0,2

Однако при оценке объектов принятия управленческих решений по критериям, допускающим лишь субъективную оценку специалистов, целесообразны разработка и использование специальных шкал, отражающих специфику того или иного критерия, той или иной группы объектов при выработке и принятии управленческого решения.

Для получения численных значений, соответствующих содержательно описанным градациям шкалы, могут быть использованы специальные методы.

4. Количественные и качественные экспертные оценки. Остановимся те-

перь на основных способах экспертных измерений – методах получения экспертных оценок, играющих во многих случаях определяющую роль при принятии важных управленческих решений.

Методы получения количественных экспертных оценок:

1. Непосредственная количественная оценка

Непосредственная количественная оценка используется как в случае, когда надо определить значение показателя, измеряемого количественно, так и в случае, когданадооценитьстепень сравнительнойпредпочтительностиразличныхобъектов.

В первом случае каждый из экспертов непосредственно указывает значение показателя для оцениваемого объекта. Это может быть конкретное численное значение показателя для оцениваемого объекта, например стоимость жилой квартиры; цена единицы продукции, при которой она может иметь конкурентоспособный спрос; предполагаемая емкость рынка; оптимальный объем производства и т.д.

Во втором случае, когда оценивается сравнительная предпочтительность объектов по тому или иному показателю, количественная оценка, указываемая экспертом, определяет степень их сравнительной предпочтительности.

Заранее необходимо условиться, что, скажем, большее значение оценки соответствует более предпочтительному альтернативному варианту. Иногда количественную оценку сравнительной предпочтительности объектов целесообразнее производить в баллах, используя специально разработанные балльные шкалы.

67

2. Метод средней точки

Метод используется, когда альтернативных вариантов достаточно много. Если через f(a1) обозначим оценку первого альтернативного варианта значения показателя, относительно которого определяется сравнительная предпочтительность объектов, через f(a2) – оценку второго альтернативного варианта, то далее эксперту предлагается подобрать третий альтернативный вариант a3, оценка которого f(a3) расположена в середине между значениями f(a1) и f(a2) и равна f(a1) + f(a2) /2.

При этом в качестве первого и второго альтернативных вариантов целесообразно выбирать наименее и наиболее предпочтительные альтернативные варианты.

Далее эксперт указывает альтернативный вариант a4, значение которого f(a4) расположено посередине между f(a1) и f(a3), и альтернативный вариант a5, значение которого f(a5) расположено посередине между значениями f(a1) и f(a4).

Процедура завершается, когда определяется сравнительная предпочтительность всех участвующих в экспертизе альтернативных вариантов.

Этот метод может быть использован также при экспертной оценке численных значений показателей, имеющих количественный характер.

3. Метод Черчмена-Акоффа

Метод Черчмена-Акоффа используется при количественной оценке сравнительной предпочтительности альтернативных вариантов и допускает корректировку оценок, даваемых экспертами.

В методе предполагается, что оценки альтернативных вариантов – неотрицательные числа, что если альтернативный вариант a1 предпочтительнее альтернативного варианта а2, то f(a1) больше, чем f(a2), а оценка одновременной реализации альтернативных вариантов a1 и a2 равняется f(a1) + f(a2).

Все альтернативные варианты ранжируются по предпочтительности, и каждому из них эксперт назначает количественные оценки, как правило, в долях единицы.

Далее эксперт сопоставляет по предпочтительности альтернативный вариант a1 и сумму остальных альтернативных вариантов. Если он предпочтительнее, то и значение f(a1) должно быть больше суммарного значения остальных альтернативных вариантов, в противном случае – наоборот. Если эти соотношения не выполняются, то оценки должны быть соответствующим образом скорректированы.

Если a1 менее предпочтителен, чем сумма остальных альтернативных вариантов, то он сравнивается с суммой остальных альтернативных вариантов, за исключением последнего.

Если альтернативный вариант a1 на каком-то шаге оказался предпочтительнее суммы остальных альтернативных вариантов и для оценок это соотношение подтверждается, то a1 из дальнейших рассмотрений исключается.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока последовательно не будут просмотрены все альтернативные варианты.

При практическом применении в случае достаточно большого числа сравниваемых альтернативных вариантов в метод могут быть внесены некоторые коррективы, снижающие его трудоемкость.

68

Так, например, сразу может определяться сумма наибольшего числа альтернативных вариантов с отбрасыванием менее предпочтительных вариантов, которая меньше, чем f(a1).

4. Метод лотерей

Согласно этому методу, для любой тройки альтернативных вариантов a1, а2, а3, упорядоченных в порядке убывания предпочтительности, эксперт указывает такую вероятность р, при которой альтернативный вариант а2 равноценен лотерее, при которой альтернативный вариант a1 встречается с вероятностью р, а альтернативный вариант а3 – с вероятностью 1-р.

На основании последовательной оценки сравнительной предпочтительности некоторого числа троек альтернативных вариантов рассчитываются числа u1, u2,…,un с помощью которых формируется линейная функция полезности:

Fn = u1p1 + u2p2 + …+ unpn,

где p1, р2, ..., рп – вероятности, с которыми рассматриваются альтернативные ва-

рианты а1, а2, ..., ап.

Эта формула позволяет сравнивать по предпочтительности различные лотереи, характеризующиеся различными вероятностями реализации альтернативных вариантов а1, а2,.., ап.

Методы получения качественных экспертных оценок. Иногда специфика объектов экспертного оценивания такова, что эксперты затрудняются дать количественные оценки значений оцениваемых показателей либо объекта в целом, а в некоторых случаях такие оценки попросту неоправданны и не позволяют получить достаточно надежную экспертную информацию.

В этих случаях нередко существенно более оправданным является использование методов качественной оценки объектов экспертизы.

Бывают также ситуации, когда характер экспертной информации таков, что количественные оценки в привычном смысле практически невозможны. Примеры таких ситуаций приводились выше.

Поэтому далее мы приведем описание методов, которые могут быть использованы именно для получения качественных оценок объектов или показателей, их характеризующих.

1. Экспертная классификация

Этот метод целесообразно использовать, когда необходимо определить принадлежность оцениваемых альтернативных вариантов к установленным и принятым к использованию классам, категориям, уровням, сортам и т.д. (далее – классы).

Он может быть использован и тогда, когда конкретные классы, к которым должны быть отнесены оцениваемые объекты, заранее не определены. Может быть заранее не определено и число классов, на которое производится разбиение оцениваемых объектов. Оно может быть установлено лишь после завершения процедуры классификации.

Если эксперту необходимо отнести каждый из альтернативных вариантов к одному из заранее установленных классов, то наиболее распространена процедура последовательного предъявления эксперту альтернативных вариантов.

69

В соответствии с имеющейся у него информацией об оцениваемом объекте

ииспользуемой им оценочной системе эксперт определяет, к какому из классов оцениваемый объект принадлежит.

После завершения процедуры последовательного предъявления оцениваемых альтернативных вариантов эксперту может быть предъявлен результат его оценки

ввиде распределения всех оцененных им альтернативных вариантов по классам. На этом этапе эксперту, как правило, предоставляется возможность, исходя

из общего результата классификации, внести коррективы в данные им оценки. Если проводится коллективная экспертиза, то результаты экспертной клас-

сификации, указанные каждым из экспертов, обрабатываются с целью получения результирующей коллективной экспертной оценки.

В зависимости от целей экспертизы может возникнуть необходимость отнесения альтернативных вариантов к упорядоченным классам.

Скажем, необходимо отнести оцениваемые объекты к соответствующим категориям, причем так, чтобы более предпочтительные объекты были отнесены к более предпочтительным категориям.

Естественно, это отражается на процедуре экспертной классификации. Однако очень важно, чтобы эксперт однозначно понимал поставленную перед ним задачу.

Если число классов, на которое должны быть разбиты альтернативные варианты, заранее не оговаривается, то целесообразно использование следующей процедуры.

Эксперту предъявляется пара альтернативных вариантов и предлагается определить, относятся ли они к одному классу или к разным.

После этого эксперту последовательно предлагаются оцениваемые альтернативные варианты и выясняется, может ли каждый из них быть отнесен к одному из образовавшихся к тому времени классов или необходимо для данного альтернативного варианта образовать новый класс.

Процедура завершается после того, как эксперту будут предъявлены все альтернативные варианты.

2. Метод парных сравнений

Метод парных сравнений является одним из наиболее распространенных методов оценки сравнительной предпочтительности альтернативных вариантов. Эксперту последовательно предлагаются пары альтернативных вариантов, из которых он должен указать более предпочтительный. Если эксперт относительно какой-либо пары объектов затрудняется это сделать, он вправе посчитать сравниваемые альтернативные варианты равноценными либо несравнимыми. После последовательного предъявления эксперту всех пар альтернативных вариантов определяется их сравнительная предпочтительность по оценкам данного эксперта.

Врезультате парных сравнений, если эксперт оказался последовательным в своих предпочтениях, все оцениваемые альтернативные варианты могут оказаться проранжированными по тому или иному критерию, показателю, свойству. Если эксперт признал некоторые альтернативные варианты несопоставимыми, то в результате будет получено лишь их частичное упорядочение.

Впрактике использования метода парных сравнений нередко приходится сталкиваться с непоследовательностью и даже противоречивостью оценок эксперта. В этих случаях необходимо проведение специального анализа результатов экспертизы.

70

Отметим также, что при достаточно большом числе оцениваемых альтернативных вариантов процедура парного сравнения всех возможных их пар становится трудоемкой для эксперта. В этом случае целесообразно применение соответствующих модификаций метода парных сравнений.

Например, если предположить непротиворечивость оценок эксперта, то практически достаточно однократного предъявления каждого альтернативного варианта в паре с каким-либо другим.

3. Ранжирование альтернативных вариантов

Достаточно распространенной процедурой является также непосредственное ранжирование экспертом по предпочтительности оцениваемых альтернативных вариантов.

В этом методе эксперту предъявляются отобранные для сравнительной оценки альтернативные варианты.

Если альтернативных вариантов больше, то их ранжированию может предшествовать разбиение на упорядоченные по предпочтению классы с помощью метода экспертной классификации.

Ранжирование сравниваемых объектов эксперт может осуществлять различными способами. Приведем один из них – эксперту предъявляется весь набор альтернативных вариантов, и он указывает среди них наиболее предпочтительный. Затем эксперт указывает наиболее предпочтительный альтернативный вариант среди оставшихся и т.д., пока все оцениваемые альтернативные варианты не будут им проранжированы.

4. Метод векторов предпочтений

Этот метод чаще используется при необходимости получения коллективного экспертного ранжирования. Эксперту предъявляется весь набор оцениваемых альтернативных вариантов и предлагается для каждого альтернативного варианта указать, сколько, по его мнению, других альтернативных вариантов превосходит данный. Эта информация представляется в виде вектора, первая компонента которого

– число альтернативных вариантов, которые превосходят первый, вторая компонента – число альтернативных вариантов, которые превосходят второй, и т.д.

Если оценивается 10 альтернативных вариантов, то вектор предпочтений может выглядеть так: (3, 7, 0, 4, 8, 6, 1, 9, 5, 2).

Если в векторе предпочтений каждое число встречается ровно один раз, то экспертом указано строгое ранжирование альтернативных вариантов по предпочтениям. В противном случае полученный результат не является строгим ранжированием и отражает затруднения эксперта при оценке сравнительной предпочтительности отдельных альтернативных вариантов.

Метод векторов предпочтений отличается сравнительной нетрудоемкостью и может использоваться с учетом характера экспертизы. Этот метод может быть применен и в случае, когда у эксперта имеются затруднения при использовании других методовоценкисравнительной предпочтительностиальтернативныхвариантов.

При коллективной экспертизе, проводимой с использованием метода векторов предпочтений, целесообразно рассчитать результирующее коллективное ранжирование, отражающее коллективную точку зрения всех экспертов.

71

Тема 11. Принятие управленческих решений в условиях неопределенности и риска

Понятия неопределенности и риска

В хозяйственных организациях руководителям различного уровня часто приходиться разрабатывать управленческие решения в условиях недостаточной или ненадежной информации, а результаты реализации далеко не всегда совпадают с запланированными. В таких случаях ссылаются на непредвиденные обстоятельства, неопределенности или риски, которые становятся постоянными спутниками руководителей и специалистов большинства компаний.

Рассмотрим более подробно понятия неопределенности и риска. Неопределенность, неопределенный трактуются в словаре С.И. Ожегова как не вполне отчетливый, неточный, неясный или как уклончивый ответ. Там же риск определяется как возможность опасности, неудачи. Хотя риск может привести и к удачам, мы будем рассматривать риск в контексте приведенного определения

Обычно неопределенность связывают с разработкой и принятием решений, а риск – с их результатами.

Неопределенности – основная причина появления рисков. Поэтому уменьшение объема неопределенностей, вызывающих риски потерь, составляет важную задачу руководителя. Если имеется несколько решений, следующих друг за другом, то риски предшествующих УР становятся неопределенностями для последующих.

Способы снижения риска

Традиционно считается, что существует три способа снижения риска, пер-

вым из которых является распределение риска между участниками проекта.

Желательно, чтобы ответственным за проект был в первую очередь специалист, способный держать ситуацию под жестким контролем.

Второй из известных способов снижения риска – это страхование. Суть его состоит в том, что к участию в проекте привлекают страховые компании. Страховой стандартный или расширенный договор служит защитой от основных видов материальных потерь. Нестрахуемые риски должны быть оговорены в договоре особо. Договоры страхования заключаются обычно на гарантийный период. Страховка будет выплачиваться по годам или в целом по отношению к страхуемому объекту.

Третий способ снижения риска – это резервирование средств. Способ подразумевает создание резерва, который поможет предусмотреть и установить соотношение между потенциальными рисками, оказывающими непосредственное влияние на стоимость проекта, и размерами расходов, потребность в которых возникает в критические моменты выполнения проекта. Сумма созданного резерва должна быть тщательно оценена и рассчитана.

В управленческой практике неопределенность рассматривается как единое целое, в котором явление создается процессом, а процесс формирует явление.

Неопределенности разделяются на две группы: объективные и субъективные. Объективные не зависят от руководителей или специалистов, разрабатывающих или реализующих УР, при этом источник неопределенностей находится вне организации. Субъективные возникают из-за профессиональных ошибок, упущений, несогласованности. Источник неопределенностей при этом находит-

72

ся внутри организации. Субъективные неопределенности составляют основную часть суммарных неопределенностей, поэтому специалисту нужно научиться уменьшать субъективные неопределенности. Однако на смену одним неопределенностям приходят новые, отражая постоянное развитие всех процессов, свойственных управленческой деятельности.

Точно определить неопределенность довольно трудно, поэтому прибегают к различным видам ее оценки, которая базируется на характеристиках информации (объеме, ценности, насыщенности и достоверности), используемых информационных технологиях, профессионализме работников и характеристиках объекта управления.

Можно выделить четыре уровня неопределенностей:

•низкий, не влияющий на типовые процедуры УР;

•средний, требующий пересмотра существенных процедур УР;

•высокий, требующий разработки новых процедур УР;

•сверхвысокий, находящийся вне понимания специалистов.

Влияние характеристик информации на неопределенности и риски

Неопределенности возникают в основном по следующим причинам:

•отсутствие полной, достоверной информации;

•сложность обработки информации;

•монополизация необходимых сведений внешними органами управления. Влияние характеристик информации на уровень неопределенности весьма

существенно. Задача специалиста, работающего с информацией, заключается в:

•поиске информации;

•отделении ценной информации от «шумов»;

•оценке характеристик информации;

•выделении из информации наиболее важной части, позволяющей анализировать текущее состояние объекта, по которому разрабатывается УР.

Поиск и выделение нужной информации требуют соответствующих технологий, профессионализма и финансовых ресурсов, так как информация является дорогим товаром.

Информация оценивается по объему, достоверности, ценности и насыщенности. Объем управленческой информации характеризует полноту информации

окаком-либо объекте управления для принятия обоснованного решения. Он имеет три уровня: информационную избыточность, субминимальный уровень и информационную недостаточность.

Достоверность информации определяется соотношением реальных сведений и общего объема информации. Достоверность имеет также три уровня: абсолютный (100%), доверительный (более 80%) и негативный (менее 80%).

Ценность информации проявляется в снижении уровня затрат ресурсов (материалов, времени, денег) на принятие правильного решения. Ценность информации имеет четыре уровня: нулевой, средний (сокращение уровня затрат или повышение прибыли более чем на 10%), высокий (сокращение уровня затрат более чем в 2 раза), сверхвысокий (сокращение уровня затрат более чем в 10 раз). Ценность характеризует информацию как товар, имеющий потребительную стоимость.

73

Насыщенность информации – это соотношение профессиональной и фоновой информации. Насыщенность имеет три уровня: высокий (80-100%), нормативный (50-80%), низкий (менее 50%).

Информация, используемая руководителем для разработки управленческого решения, должна иметь следующие уровни характеристик:

–объем: избыточный или субминимальный;

–ценность: средняя или высокая;

–достоверность: абсолютная или доверительная;

–насыщенность: нормативная.

Сложность обработки информации может быть вызвана сложностью самой информации (формы представления, наличие нечетких оценок типа: больше, меньше; лучше, хуже и др.); сложностью или неоднозначностью процедур ее обработки; нехваткой времени на ее обработку.

Причины неудачных решений

Несмотря на все усилия менеджера, решение иногда оказывается неудачным из-за непредвиденных обстоятельств, однако такое бывает редко. Гораздо чаще неудачи возникают из-за комбинации ошибок в процессе решения, объективных ограничений или субоптимизации.

Данного вида неопределенности возникают в основном по следующим причинам:

•ограничения на ресурсы (материальные, интеллектуальные и др.), необходимые для исполнения решения;

•воздействие обстоятельств непреодолимой силы (форс-мажорных);

•наличие субъективного фактора при делегировании решения или его частей большому количеству исполнителей;

•недостаточная профессиональная подготовка руководителей и специалистов аппарата управления;

•несоответствие решения объективному ожиданию объекта управления. Во многих случаях менеджеры не могут оценить важность каждого из эта-

пов в процессе принятия решения. Они могут пропустить один этап или не уделить ему достаточно внимания перед тем, как перейти к следующему. Иногда это производные от стиля работы менеджера: принимать быстрые решения или неспособности видеть последствия неудачных решений.

Важным фактором может быть личность менеджера. Иногда случается, что менеджер испытал ряд успехов – важные решения оказались верными. При этом у некоторых менеджеров возникает впечатление, что они вообще не могут ошибаться. Но они скоро попадают в неприятности, которых обычно бывает достаточно, чтобы вернуть их обратно на землю. Однако некоторые руководители просто не воспринимают отрицательные результаты как следствие своих ошибок и продолжают осуществлять процесс управления, связанный с их представлением о предыдущих успехах, – не осознавая, что частью успеха они обязаны скорее удаче, чем своим личным выдающимся способностям. Проблема может возникнуть и от нежелания менеджера признать ошибку. Другие менеджеры демонстрируют неспособность принять решение; они слишком долго колеблются и упускают оптимальный момент для принятия решения. Конечно, не все менеджеры попадают

74

в эти ловушки, большинство их все же избегает. Но даже в таком случае, это не обязательно означает, что каждое решение срабатывает, как ожидается.

Другой фактор, с которым менеджеры должны считаться, – объективные ограничения, или ограничения, наложенные на решение затратами, человеческими возможностями, сроками, технологией и наличием информации.

Из-за этих ограничений менеджеры не всегда могут найти решение, оптимальное с точки зрения максимальной выгоды (например, наибольшей прибыли, минимальных затрат). Вместо этого им часто приходится довольствоваться удовлетворительным решением.

Следующая причина неудачных решений может заключаться в том, что организации часто рассматривают проблему в масштабе отделов. Конечно, разбивка на отделы оправдана с точки зрения осуществимости контроля и кадровых ограничений. Однако может возникнуть субоптимизация. Эта проблема – результат попыток разных отделов достигнуть решения, которое было бы оптимальным именно для них. К сожалению, то, что является оптимальным для одного отдела, может быть далеко не лучшим для организации в целом.

Опыт управленческой деятельности свидетельствует, что существует большое разнообразие ошибок, увеличивающих неопределенности при разработке управленческих решений. Обычно управленческая деятельность разделяется на пять основных составляющих: организационная, экономическая, технологическая, социальная и правовая. В каждой из этих областей есть большой простор для неопределенностей и рисков.

Правила и схемы принятия решений в условиях неопределенности

Принятие правильного решения вовремя – главная задача управленческого персонала любой компании. Неправильное решение может дорого стоить компании, иметь фатальные, непоправимые последствия. Поэтому важно, чтобы те, кто вовлечен в процесс принятия решений, использовали все имеющиеся у них средства и приняли оптимальное (наилучшее с позиций выбранных критериев) решение.

Руководители часто сталкиваются с проблемами, которые приводят их к количественному подходу принятия решений. Однако необходимо помнить, что обычно решение является результатом применения как количественного, так и субъективного подходов.

Поиск альтернатив решения начинается с перечисления возможных вариантов и их исходов, затем производится оценка каждого исхода. Такова схема рассуждений при проведении количественного анализа. Вышеперечисленные этапы важны как в очень сложных случаях, так и в очень простых. Несмотря на то, что приведенный материал охватывает лишь малую часть серьезной и обширной темы, мы рассмотрим лишь некоторые из возможных целей принятия решений, но в любом случае выбор «лучшего варианта» зависит от обстоятельств и точки зрения того, кто принимает решение.

Условия, в которых принимаются решения по управлению организацией, классифицируются по имеющейся в распоряжении информации (степени ее точности и достоверности). Имеются три основных категории условий: уверенность, риск и неопределенность. Уверенность означает, что значимые параметры, например, расходы, производственные мощности и потребности – величины известные. Риск означает, что определенные, важные для решения параметры,

75

от которых зависит результат, имеют вероятностные значения. Неопределенность означает, что невозможно точно оценить вероятность различных будущих событий, значимых параметров и, следовательно, исходов решений.

Рассмотрим следующие ситуации.

1.Прибыль за единицу продукции – 5 д.ед. У вас заказ на 200 единиц. Сколько прибыли вы получите? (Это пример уверенности, так как прибыль за единицу и общая потребность известны).

2.Прибыль – 5 д.ед. за единицу продукции. Основываясь на предшествующем опыте, имеется 50% вероятность получения заказа на 100 единиц и 50% – что заказ будет на 200 единиц. Какова ожидаемая прибыль? (Это пример риска, так как показатели потребности вероятностные).

3Прибыль – 5 д.ед. за единицу продукции. Вероятности потенциального спроса неизвестны. (Это пример неопределенности).

Важность этих трех возможных условий заключается в том, что каждое из них требует различных методов анализа. Решения, принятые в соответствии с теорией, как правило, характеризуются следующим:

•имеется ряд возможных будущих условий (прогнозируемых или определенных), которые будут иметь место в будущем при реализации решения;

•список разработанных альтернатив, из которых выбирает менеджер;

•известное значение результата (исход, окупаемость и т.д.) каждой альтернативы при каждом из возможных будущих условий.

Чтобы использовать этот подход, ЛПР должен сделать следующее:

1.Определить возможные будущие условия (например, спрос на продукцию будет низкий, средний или высокий, число подписанных контрактов будет 1, 2 или 3, представит или не представит конкурент новое изделие). Они называются объективными условиями, т.е. никак не зависят от воли и действий ЛПР.

2.Разработать список возможных альтернатив, одна из которых – ничего не предпринимать.

3.Определить или приблизительно оценить окупаемость для всех альтернатив при каждом из возможных будущих условий («игре природы»).

4.Если возможно, оценить вероятность каждого возможного будущего ус-

ловия.

5.Оценить альтернативы согласно выбранному критерию решения (например, возможная максимальная прибыль, минимальные потери и т.д.) и выбрать лучшую альтернативу решения.

После выполнения подготовительных работ по формированию и оценке решений осуществляется переход к процедуре непосредственного выбора решения. При этом для каждого типа задач формируется своя система подготовки и представления информации.

Информация для решения часто представляется в виде таблиц доходности (платежных матриц), прибыльности, окупаемости, которые показывают предполагаемую доходность, прибыльность или окупаемость для каждой альтернативы при возможных различных условиях. Эти таблицы помогают выбрать альтернативу потому, что они облегчают их сравнение.

Ниже приведена таблица 2.2.4 окупаемости, в которой представлена проблема планирования производственных мощностей на будущий период.

76

Таблица окупаемости (млн. д.ед)					Таблица 2.2.4
Альтернативы решений		Boзможный будущий спрос
	Низкий		Средний		Высокий
Создавать малые мощности	10		10		10
Создавать средние мощности	7		12		12
Создавать крупные мощности	(-4)		2		16

В данном случае окупаемость дана в виде предполагаемого дохода минус затраты (ргеsent values). Это удобная мера, потому что она приводит все альтернативы к сопоставимой основе. Если построена малая производственная мощность, то окупаемость будет одинаковой для всех трех возможных условий.

Для средней производственной мощности, при низком спросе прибыль составит 7 миллионов, в то время как при среднем и высоком уровне спроса это значение будет 12 миллионов. Решение о введении крупной производственной мощности приведет к убыткам в 4 миллиона, если спрос будет низкий, прибыль 2 миллиона при среднем спросе и 16 миллионов, если спрос будет высокий.

Для производственного менеджера проблема будет состоять в том, чтобы выбрать одну из альтернатив, принимая во внимание доходность, которую обеспечивает каждое решение в различных условиях.

Оценка альтернатив различается, исходя из степени уверенности ЛПР в осуществлении возможных будущих условий. Рассмотрим данную ситуацию для трех вариантов условий.

Принятие решения в условиях уверенности

Когда точно известно, какое из возможных будущих условий фактически осуществится, решение обычно бывает относительно простым. Очевидно, надо выбрать ту альтернативу, которая дает наибольшую окупаемость при этом условии. Это проиллюстрировано в примере.

Пример 1. Определите наилучшую альтернативу в приведенной выше таблице окупаемости, если точно известно, что спрос будет (а) низкий, (б) средний, (в) высокий.

Решение:

Выберите альтернативу с самой высокой окупаемостью для каждого из значений спроса. Таким образом, если мы знаем, что спрос будет низким, мы решим создать малую производственную мощность и получить окупаемость 10 миллионов. Если мы знаем, что спрос будет умеренный, то наибольшую окупаемость будет иметь средняя производственная мощность (12 миллионов против 10 или 2 миллионов). В случае высокого спроса наибольшую окупаемость даст крупная производственная мощность.

Хотя в подобных ситуациях полная уверенность бывает редко, такой вид упражнений дает некоторую основу для анализа. Кроме того, в некоторых случаях можно рассмотреть возможность вложения части ресурсов в исследовательские работы, которые помогут устранить или частично сократить неопределенность относительно возможных условий.

77

Таким образом, можно сделать вывод о том, что при принятии решений в условиях уверенности (определенности), т.е. в структурированных ситуациях, вопрос выбора альтернатив сводится к расчетам по соответствующим методикам тех или иных показателей задачи и выбору критериев оценки.

Принятие решения в условиях неопределенности

Полностью противоположный вариант – это полная неопределенность, когда нет совершенно никакой информации о вероятности различных будущих условий. При решении задач, относящихся к простым и имеющим четкую структуризацию, обычно применяют некоторый спектр адекватных методов, среди которых можно выделить следующие, имеющие различные критерии:

–принципмаксимина(maximin) илигарантированногорезультата(пессимизма);

–принцип максимакса (maximax) или оптимизма;

–принцип Лапласа (Laplace) или лучшего среднего;

–принцип Гурвица (комбинированный);

–принцип Сэвиджа (minimax regret) или минимаксного сожаления.

Эти подходы можно определить следующим образом.

Принцип максимина заключается в выборе в качестве наиболее эффективной тойальтернативы (стратегии), котораяимеет наибольшее среди наименьших повсем альтернативам значение функции полезности, ценности или фактора. Для реализации этого подхода надо определить самую худшую возможную окупаемость по каждойальтернативе ивыбратьальтернативуслучшимизхудшихзначением.

Принцип максимакса (оптимизма). Если принцип максимина ориентирован на получение гарантированного минимума желательности, то принцип оптимизма учитывает возможность получения максимального уровня желательности. Для реализации этого подхода надо определить возможную наилучшую окупаемость по всем альтернативам решений и выбрать решение с лучшей окупаемостью.

Принцип Лапласа. Как видим, первые два критерия обусловлены крайними точками зрения на развитие ситуации. Один – на худшее развитие событий (неблагоприятный прогноз будущей ситуации). Фактический результат может и не быть настолько плох, но этот подход устанавливает гарантированный минимум. Другой подход ориентирован на лучший вариант развития событий (благоприятный прогноз развития ситуации), здесь не принимается во внимание никакой возможный вариант, кроме самого лучшего. Подход по Лапласу носит более взвешенный характер и соответствует средним ожиданиям. Для его реализации надо определить среднее значение окупаемости для каждого решения и выбрать альтернативу с наилучшим средним значением.

Для принципа выбора Гурвица также характерен взвешенный подход на ос-

нове гармонизации стратегий принципа гарантированного результата и принци-

па оптимизма. Здесь каждая стратегия характеризуется весовым коэффициентом α = [0,1]. Функция, описывающая принцип Гурвица, может быть записана в виде:

u(y* ) =α×u1 (y) +(1−α)×u2 (y),

(2.2.2)

где u1(y) – стратегия выбора, характеризующая принцип гарантированного результата;

а u2(y) – принцип оптимизма.

78

Учитывая, что u1 ( y) = max minUij	,	u2 (y) = maxmaxUij , получим общее выра-
i j		i j
жение для принципа Гурвица в виде:			(2.2.3)
u(y* ) =α ×maxminUij +(1−α) ×maxmaxUij ,
i j		i j
		или	(2.2.4)
u( y* ) = max[α ×minUij + (1 −α) ×maxUij ]
i	j	j

Следовательно, наиболее предпочтительна стратегия y*, для которой выполняется условие (2.2.4). При этом в зависимости от значения весового коэффициента α можно получить различные стратегии выбора при 0 ≤ α ≤ 1:

–если α = 1, то получим принцип гарантированного результата;

–если α = 0, то получим принцип оптимизма.

Рассмотрим использование этих принципов на примере абстрактного набора альтернатив и их целей (исходов), приведенного в таблице 2.2.5.

Таблица 2.2.5

Матрица решений (альтернативы и исходы)

Альтернативы		Возможные состояния ситуации
	s1		s2		s3
y1	2		7		9
y2	5		3		4
y3	4		8		5

Здесь yi – альтернативы решений, а sj – состояния ситуации, при которых будут соответствующие наборы исходов.

Для стратегии гарантированного результата будем иметь набор исходов:

min U1 j = 2;	minU2 j =3;	minU3 j = 4,
j	j	j

и, следовательно, лучшая альтернатива будет u(y* ) = u(y3 ) = 4 . Для стратегии оптимизма:

minU1 j = 9;	minU2 j =5;	minU3 j =8,
j	j	j

и лучшей альтернативой оказывается альтернатива u(y1 ) = 9 . Для критерия Лапласа будем иметь:

y 1 = (y11+y12+y13)/3 =(2+7+9)/3=6; y 2 = (y21+y22+y23)/3 =(5+3+4)/3=4;

y 3 = (y31+y32+y33)/3 =(4+8+5)/3=6,33.

Лучшее среднее значение имеет альтернатива u(y3 ) = 6,33.

Для расчетов по критерию Гурвица необходимо задаться значением весового коэффициента α. Обычно его получают из опыта или экспертным путем. Примем α = 0,7. Минуя промежуточные вычисления получаем:

u( y* ) = max[4,1 ; 3,6 ; 5,2]

(i = 3)

Таким образом, оптимальной (по комбинированному принципу Гурвица) будет альтернатива y3.

Принцип Сэвиджа. Стратегия выбора по принципу Сэвиджа характеризует те потенциальные потери, которые мы можем иметь, если выберем неоптимальное решение.

79

Процедура выбора происходит в три этапа.

На первом этапе для каждого возможного состояния ситуации sj по конкретной альтернативе yi определяется максимальное значение функции ценности (полезности, доходности, окупаемости):

maxUij = maxUi|S		,	(2.2.5)
j	i	j

показывающее наибольший уровень ценности, который можно получить для конкретного значения sj.

На втором этапе на основании полученных значений по (2.2.4) для каждой альтернативы строится показатель:

w(yi ) s j = w(yij ) = maxUij −Uij ,	(2.2.6)
i

характеризующий потенциальный риск (потерянную выгоду от выбора неоптимальной альтернативы).

На третьем этапе производится выбор стратегии с наименьшим показателем риска:

u( y* ) = min w( yij )	(2.2.7)
i

Обратимся вновь к таблице 2.2.5. В качестве исходных данных имеем значения max Uij по всем альтернативам для всех условий. Для значений функции ценности по каждому условию s1, s2, s3 получим:

maxU i1 = 5;	maxUi2 =8;	maxUi3 = 9.
i	i	i

Анализ потенциальных потерь (2.2.5) показывает, что при выборе в качестве оптимальной альтернативы по первому условию s1 второй альтернативы y2 ЛПР не испытывает сожаления, так как выбор был правильным – максимальное значение из возможных. Решающее правило для определения потерь при этом следующее:

w( y21 ) = max U i1 −U 21 = 5 −5 = 0	(для i = 2)
i

Если ЛПР выбрало стратегию y1, то значение потерь равно:

w( y11 ) = max U i1 −U11 = 5 − 2 = 3	(для i =1)
i

При выборе ЛПР стратегии у3 значение потерь будет следующим:

w( y21 ) = max U i1 −U 31 = 5 − 4 =1	(для i = 3)
i

Для второго условия s2 максимальной является альтернатива у3 и при выборе ее ЛПР имеет минимальные потери: w(y32) = 0.

Если ЛПР выбрало стратегию у1, то значение потерь рассчитывается как:

w( y12 ) = max U i 2 −U12 = 8 − 7 =1	(для i =1)
i

Если выбирается стратегия у2 , то значение потерь будет следующим:

w( y22 ) = max U i 2 −U 22 = 8 −3 = 5	(для i = 3)
i

Для третьего условия s3 максимальной является альтернатива у1, и при выборе ее ЛПР имеет минимальные потери: w(y13) = 0.

Если ЛПР выбрало стратегию у1, то значение потерь:

w( y23 ) = max U i3 −U 23 = 9 − 4 = 5	(для i = 2)
i

Если ЛПР выбрало стратегию у3, то значение потерь:

w( y33 ) = max U i3 −U 33 = 9 −5 = 4	(для i = 3)
i

80

На основании полученных значений потенциальных потерь w(yij ): w(y11) = 3;

w(y12) = 1; w(y13) = 0; w(y21) = 0; w(y22) = 5; w(y23) = 5; w(y31) = 1; w(y32) = 0; w(y33) = 4

строится матрица сожалений (потенциальных потерь) (табл. 2.2.6).

Таблица 2.2.6

Матрица потенциальных потерь

	Альтернативы	Возможные состояния ситуации
		s1	s2	s3
	y1	3	1	0
	y2	0	5	5
	y3	1	0	4

На основании матрицы потерь можно определить максимальные потери по каждой альтернативе. Для этого строим правило:

	W (yi ) = max[maxUij −Uij ]		(2.2.8)
	i	j
Для: у1 вычисляем W(у1) = max [3; 1; 0];
y2	вычисляем W(у2) = max [0; 5; 5];
y3	вычисляем W(у3) = max [1; 0; 4].

Оптимальной будет та альтернатива, которая имеет минимальные потери, т.е.:

W ( y* ) = min max[maxU ij −U ij ]		(2.2.9)
i j	j

или W ( y* ) = min[3; 5; 4]

Таким образом, оптимальной здесь представляется альтернатива у1 (значение максимальных потерь W(y1) = 3), имеющая минимальные потери выгоды.

Главная слабость первых двух подходов (maximin и maximax) в том, что они не принимают во внимание все результаты. Вместо этого они сосредоточиваются на самом плохом или самом лучшем варианте решения, что может объясняться множеством причин, таких, как неудачный опыт в прошлом, личностные особенности руководителя и т.д. – поэтому часть информации сознательно не учитывается. Подход Laplace относится к обстоятельствам как равновероятным и это тоже можно считать его слабой стороной.

Подход minimax regret предполагает минимизацию возможных потерь. В данном подходе больше внимания уделяется возможным потерям, чем доходам.

Таким образом, каждый из рассмотренных выше подходов имеет свои особенности и в определенных обстоятельствах каждый метод имеет свои достоинства, которые могут помочь в выработке решения.

На следующих примерах проиллюстрируем использование рассмотренных подходов к решению той же задачи о планируемых производственных мощностях.

Пример 2. Вернувшись к приведенной ранее таблице окупаемости 2.2.4, определите, какая альтернатива будет выбрана согласно каждой из стратегий: a) Maximin, б) Maximax, в) Laplace.

Решение:

а) самые плохие результаты для каждой альтернативы:

–малая мощность – 10 миллионов д.ед.;

–средняя мощность – 7 миллионов д.ед.;

–крупная мощность – (- 4) миллиона д.ед.;

81

–10 миллионов – лучший результат, следовательно, следуя подходу maximin, нужно создавать малую производственную мощность;

б) наилучшие результаты:

–малая мощность – 10 миллионов д.ед.;

–средняя мощность – 12 миллионов д.ед.;

–крупная мощность – 16 миллионов д.ед.;

–наилучшие общие результаты – 16 миллионов.

Следовательно, использование подхода maximax приводит к выбору создания крупной производственной мощности.

в) для критерия Laplace, сначала надо рассчитать суммарное значение доходов для каждого решения, а затем разделить эти значения на число возможных условий (в нашем случае на 3). Таким образом, мы имеем:

		Таблица 2.2.7
		Среднее значение доходов
	Сумма доходов
Альтернативы решений	для каждого решения	для каждого решения
	(в млн. д.ед. )	(в млн. д.ед.)
Создавать малые мощности	30	10,0
Создавать средние мощности	31	10,3
		4,67
Создавать крупные мощности	14

Так как средняя мощность имеет самое высокое среднее значение, то именно она выбирается согласно критерию Laplace.

Пример 3. Определим, какая альтернатива будет выбрана, используя под-

ход minimax regret.

Решение:

Первый шаг для этого подхода – подготовить таблицу потерь возможности (упущенной выгоды), убытков и т.д. Потери (упущенная выгода) – разница между тем максимальным значением, которое мы могли бы получить при данной ситуации, выбрав это решение, и значением результата при других альтернативах. Таким образом, потери – разница между любым значением и лучшим значением в том же столбце.

Для того чтобы это сделать, нужно вычесть каждое значение окупаемости в столбце из самого большого положительного значения окупаемости в том же столбце. Например, в первой колонке самое большое положительное значение 10, поэтому каждый из трех показателей в данном столбце следует вычитать из 10. Следуя вниз по столбцу, результаты будут такие 10-10=0; 10-7=3; и 10-(-4)=14. Во втором столбце самое большое положительное значение 12. Вычитая каждый показатель из 12, получаем соответственно 2, 0 и 10. В третьей колонке 16 – самый большой показатель окупаемости. Соответственно, значения возможных потерь – 6,4 и 0. Эти результаты сведены в таблицу потерь или упущенных возможностей.

	Потери и упущенные возможности			Таблица 2.2.8
		Потери в млн. д.ед.
	Спрос низкий	Спрос средний	Спрос высокий	Худший вариант
Малая мощность	0	2	6	6
Средняя мощность	3	0	4	4
Крупная мощность	14	10	0	14

82

Второй шаг – определить худшее значение потерь для каждой альтернативы. Для первой альтернативы – 6, для второй – 4 и для третьей – 14. В соответствии с методом minimax regret выбирается лучшее из этих худших. Самая малая величина из значений потерь 4 соответствует средней мощности. Следовательно, именно эту альтернативу и следует выбирать, пользуясь критерием Сэвиджа.

Правила принятия решений в условиях риска

Между двумя полярными случаями – уверенностью и неопределенностью – находится случай риска: можно как-то оценить вероятность возникновения каждого возможного условия. (Обратите внимание: так как возможные условия взаимоисключают друг друга и в совокупности исчерпывают все возможные варианты, эти вероятности в сумме должны составлять единицу). При выборе ре-

шений с использованием численных значений вероятностей применяют три основных подхода:

1. Правило максимальной вероятности – максимизация наиболее вероят-

ных доходов или минимизации потерь. Суть подхода в том, что из общего массива возможных условий (критериев) отбираются условия, имеющие наибольшую вероятность осуществления. Далее для этих условий рассчитывают исходы (результаты) альтернатив решений. Из полученных результатов отбирают наилучший вариант альтернативного решения. Этот метод целесообразно использовать для предварительной оценки или в тех случаях, когда требуется сократить объем расчетных работ.

2. Оптимизация математического ожидания – критерий предполагае-

мой денежной стоимости (дохода, прибыли и т.д.), наиболее широко используемый подход при известных значениях вероятностей. Математическое ожидание рассчитывается для каждого решения либо для доходов, прибылей, либо для потерь. Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями.

Предполагаемая денежная стоимость (expected monetary value – EMV)

определяется следующим соотношением:

i=n
EMV = ∑pi ×EVi ,	(2.2.10)

i=1

где рi – вероятность i-го исхода (события, условия); EVi – значение результата i-го исхода.

Предполагаемая стоимость вычисляется для каждой альтернативы, и отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемая стоимость – это сумма значений окупаемости для каждой альтернативы, причем каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего условия. Таким образом, подход состоит в следующем:

yопределитьпредполагаемоезначениеокупаемостидлякаждойальтернативы;

yвыбрать альтернативу с наилучшим значением окупаемости.

Пример 4. Используя критерий EMV, определите лучшую альтернативу для приведенной выше таблицы 2.2.4 окупаемости при следующих значениях вероятности возможного спроса: низкий спрос р = 0,30; средний спрос р = 0,50; высокий спрос р = 0,20.

83

Решение:

Найдите предполагаемую стоимость для каждой альтернативы решения, умножая значение вероятности возникновения каждого возможного условия на показатель окупаемости для этого условия и затем суммируйте их.

Малая мощность (мм):	ЕVмм= 0,30 (10) + 0,50 (10) + 0,20 (10) = 10.
Средняя мощность (см):	EVсм= 0,30 (7) + 0,50 (12) + 0,20 (12) = 10,5.
Крупная мощность (км):	EVкм= 0,30 (-4) + 0,50 (2) + 0,20 (16) = 3.

Следовательно, нужно выбрать создание средней производственной мощности, потому что у нее самый высокий показатель предполагаемой денежной стоимости (10,5 млн.д.ед.).

Подход EMV наиболее оправдан, так как принимающий решение не стремится рисковать, но и не избегает риска, а относится к нему нейтрально. Как правило, в стабильных организациях, где приходится принимать много решений подобного рода, предпочитают использовать именно этот подход – он указывает на долгосрочную, среднюю окупаемость. То есть величина ожидаемой стоимости (например, 10, 5 млн.д.ед. в последнем примере) – это не показатель дейст-

вительной будущей окупаемости, а предполагаемая средняя величина, которая приблизительно будет получена в случае принятия большого числа сходных ре-

шений. Следовательно, если принимающий решение применяет этот критерий к большому числу однотипных решений, то предполагаемая окупаемость будет приблизительно равна среднему значению отдельных результатов.

3. Использование математического ожидания и стандартного откло-

нения для оценки риска. В результате использования правила максимизации ожидаемых доходов (или минимизации ожидаемых возможных потерь) мы получаем оценку для каждого исхода в виде таблицы доходов, чтобы выбрать «наилучшее» решение. В ней приводится разброс доходов для каждого исхода, анализ которых дает возможность оценить риск каждого решения. Решения, принятые на основе принципа математического ожидания, пригодны для случаев, когда они систематически повторяются.

Альтернативный подход к оценке риска заключается в вычислении стандартного отклонения доходов, как это делается для любого другого вида распределений. Именно таким образом в ниже приведенном примере сравниваются два варианта инвестиций. Решения, не часто встречающиеся, но имеющие существенное значение для организации, такие, например, как инвестиционные, капиталоемкие, нуждаются в более тщательной оценке риска.

Пример 5. Ниже приведены возможные чистые доходы и их вероятности для двух вариантов вложений.

Таблица 2.2.9

Вероятности возможной чистой прибыли

			Сравнение вариантов решений
Чистая прибыль, млн. д.ед.	-3	-2		-1	0	1	2		3	4
Вероятности:
Инвестиция 1	0	0		0,1	0,2	0,3	0,2		0,2	0
Инвестиция 2	0,1	0,1		0,1	0,1	0,1	0,1		0,2	0,2

84

Ожидаемая прибыль от инвестиции 1:

ЕVи1 = (-3×0) + (-2×0) + (-1×0,1) + (0×0,2) + (1×0,3) + (2×0,3) + (3×0,2) + (4×0) = 1,2 (млн.д.ед).

Ожидаемая прибыль от инвестиции 2:

ЕVи2 = (-3×0) + (-2×0,1) + (-1×0,1) + (0×0,1) + (1×0,1) + (2×0,1) + (3×0,2) + (4×0) = 1,1 (млн.д.ед).

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то инвестиция 1, безусловно, лучше. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при одних и тех же условиях, то тогда прибыль в среднем составляла бы 1,2 млн. д.ед. Однако это правило принятия решений не учитывает риск, связанный с инвестициями, т.е. разброс возможных исходов. Этот риск может быть определен с помощью дисперсии и стандартного отклонения прибыли.

Дисперсия вероятностного распределения представляет собой:

j=n
Дисперсия= ∑p j ×x2j		−(EV (x j ))2 ;	(2.2.11)
j=1
EV (x j ) = ∑n	p j	×x j ,	(2.2.12)
j=1

где x – прибыль на инвестиции;

р – вероятность получения данной прибыли.

Минуя очевидные расчеты, результаты сведем в таблицу и получим: Инвестиция 1: Дисперсия = 3,0 – 1,22 = 1,56; стандартное отклонение при-

были σ = 1,56 =1,250.

Инвестиция 2: Дисперсия = 6,9 – 1,12 = 5,69; стандартное отклонение при-

были σ = 5,69 =2,385.

Следовательно, риск по варианту инвестиции 1 меньше, так как дисперсия прибыли намного меньше, чем для инвестиции 2.

Таблица 2.2.10

Математическое ожидание и стандартное отклонение для двух вариантов инвестиций

Инвестиция	Ожидаемая прибыль (млн.д.ед.)	Стандартное отклонение (σ)
1	1,2	1,250
2	1,1	2,385

Анализируя данные таблицы, можно прийти к выводу, что как большая ожидаемая прибыль, так и меньший разброс говорят в пользу выбора инвестиции 1.

Использование понятия полезности при определении размеров риска

До сих пор мы рассматривали ситуации, когда ЛПР стоит перед выбором: принять решение, основываясь на правилах, которые он предпочитает и получает «лучшее» решение с позиций этого (выбранного) правила. Во внимание не принималось, кто же делает выбор – миллионер или студент, предпочитает ли этот человек риск или стабильность, хотя в какой-то степени его предпочтения учитываются правилом, которым он руководствуется.

Теория полезности позволяет лицу, принимающему решение, влиять на денежный результат исходов согласно своим оценкам их полезности. Одно и то же

85

правило при учете полезности приводит к разным решениям у разных людей, разных организаций. Каждый может приспосабливать процесс принятия решений к своим запросам и возможностям.

Пример 6. Рассмотрим два варианта вложений $3000. По первому варианту без какого-либо риска можно получить 10% прибыли на вложенный капитал, т.е. через год сумма возрастет до $3300. По второму варианту можно либо за год удвоить капитал, либо потерять его. Итак, таблица доходов по вариантам такова:

Таблица 2.2.11

Доход за один год

Возможные исходы	Возможные варианты решения
		Доход ($)
варианта 2
	Вариант 1		Вариант 2
Успех в бизнесе	3300		6000
Неудача	3300		0

Попробуем оценить предпочтения двух человек:

Инвестор 1 (студент), у которого это последние деньги, и инвестор 2, располагающий капиталом $500000.

Для этого используем 100-балльную шкалу полезности: Доход в $6000 – 100 баллам, а доход в $ 3300 – 55 баллам.

Таким образом, денежная шкала будет выглядеть так: 0 – 3300 – 6000 ($), а соответствующая ей объективная шкала в баллах: 0 – 55 – 100 (баллы).

Для первого инвестора, в отличие от второго, полезность (важность) суммы в $ 3000 очень высока. Чтобы выразить эту полезность в числах, попросим его оценить вероятность успеха р1, при которой он сделает выбор в пользу второго варианта.

Если вероятность успеха мала, предположим, р = 0,1, то рисковать не стоит, лучше воспользоваться безрисковым вариантом 1. Очевидно, что при р = 1,0 каждый выбрал бы второй вариант вложений. Где-то в интервале значения вероятности р = {0,1; 1,0} находится точка замены безрискового варианта более прибыльным , но опасным вариантом 2. Значение вероятности, где происходит смена варианта решения, представляет собой оценку полезности $3300. Допустим первый инвестор при вероятности успеха в бизнесе равной р1 ≥ 0,9 готов вложить свои деньги, полезность для него 0,9×100=90. Таким образом, шкала полезности для него: 0 – 90 – 100.

Второй (богатый) инвестор, для которого риск потерять $ 3000 большой роли не играет, при каких значениях вероятности р2 успеха готов был бы вложить $3000, чтобы удвоить эту сумму? Допустим это р2 = 0,2, т.е. если р ≥ 0,2, то инвестор выберет второй вариант. Полезность $3000 для него оценивается в 20 баллов и денежная шкала заменяется на шкалу полезности 0 – 20 – 100.

Таким образом, одна и та же денежная шкала может быть заменена разными шкалами полезности в зависимости от возможностей и критериев инвесторов.

Для того чтобы проиллюстрировать преимущества шкалы полезности по сравнению с денежной шкалой, ниже приводится пример, в котором использует-

ся правило ожидаемой доходности (окупаемости), или максимизации математических ожиданий.

86

Пример 7. Допустим, что вы имеете $15000, чтобы купить в ближайшем будущем квартиру. Знакомый предприниматель предлагает вам вложить деньги в его бизнес. В случае неудачи вы теряете $15000 и возможность приобрести квартиру, а в случае успеха через год вы получаете $60000. Альтернативный вариант – положить деньги в банк под 10% годовых, и никакого риска. Вероятность успеха в бизнесе, предположим, составляет 30%.

				Таблица 2.2.12
	Таблица доходов
Возможные исходы	Возможные решения			Вероятность
	Бизнес		Банк
Успех в бизнесе	60000		16500	0,3
Неудача в бизнесе	0		16500	0,7
Ожидаемый доход ($)	18000		16500

EMV (бизнес) = 0,3·60000 + 0,7×0 = $18000. EMV (банк) = $16500.

По денежной шкале вложение денег в бизнес дает наибольший ожидаемый доход. Поэтому использование этого правила влечет за собой риск в расчете на большую прибыль. Однако этот выбор несколько опрометчив, так как в случае потери денег покупка квартиры останется лишь мечтой. Рассмотрим далее этот же пример с использованием понятия полезности.

Шкала полезности для данного примера выглядит следующим образом: 0 – наименьший доход – $0, 100 – наибольший доход – $60000, т.е. U (0) = 0 и U (60000) = 100.

Для дохода $16500 не требуется производить оценку полезности, так как он гарантирован, а следует произвести оценку того, при какой минимальной вероятности успеха в бизнесе вы готовы вложить в него деньги. Предположим, что для вас достаточна вероятность, по меньшей мере, 60% успеха, т.е. p = 0,6, тогда полезность $16500 будет: U (16500) = р×100 = 60 (баллов).

Шкала полезности, таким образом, будет: 0 – 60 – 100.

	Таблица оценок полезности			Таблица 2.2.13
Возможные исходы		Возможные решения		Вероятность
		Бизнес	Банк
Успех в бизнесе		100	60	0,3
Неудача в бизнесе		0	60	0,7
Ожидаемая полезность		30	60

В этом случае вложение денег в банк – решение с наибольшей ожидаемой полезностью, однако это прямо противоположно выбору, сделанному на основе критерия ожидаемого дохода, из-за учета риска, связанного с возможным исходом бизнеса. Для того чтобы оценить этот риск, построим график, учитывающий оценки полезности и доходы. График полезности приведен на рис. 2.2.4.

Если оценка полезности находится выше этой линии, то принимающий решение принадлежит к числу тех, кто избегает риска, если ниже, то наоборот. Идею полезности можно использовать для решения задач с несколькими возможными решениями.

87

Оценка полезности (баллы)

100

80

Не рискующие

60

40

Рискующие

20

12000 24000 36000 48000 60000 Доход, $

Рис. 2.2.4. График полезности

«Дереворешений» какинструментвразработкеуправленческихрешений

Примеры, которые мы рассматривали до сих пор в этой главе, включали в себя единственное решение. Однако на практике результат одного решения заставляет нас принимать следующее и т.д. Например, менеджер может сначала выбрать строительство малой производственной мощности, чтобы затем обнаружить, что спрос гораздо выше, чем ожидалось. В этом случае, менеджеру придется, вероятно, принимать второе решение: расширять ли имеющиеся мощности или строить дополнительные. Эту последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому нужно использовать какой-то другой метод принятия решений. Особенно трудно приходится, когда задача изобилует логическими конструкциями «если – то, если другое –…и т.д.». Эти проблемы достаточно успешно разрешают с помощью «дерева решений». «Дерево решения» – представление в виде схемы доступных альтернатив и их возможных последствий. Термин получил свое название от деревообразной структуры схемы (рис. 2.2.5). Хотя такие схемы можно использовать и вместо таблиц окупаемости, особенно полезны они при анализе ситуаций, когда необходимо последовательное принятие решений.

	А	Условие А1					Окупаемость	1
						Выбор 21
	Выбор А	Условие А2					Окупаемость 2
				2
						Выбор 22	Окупаемость 3
	Первоначальное		Возможные
1			последующие
	решение
			решения			Выбор 31	Окупаемость 4
	Выбор В	Условие В1		3			Окупаемость 5
						Выбор 32
	В						Окупаемость		6
		Условие В2

Рис. 2.2.5. Формирование дерева решений

Схема «дерева решений» очень похожа на схему «дерево» вероятностей. Ее используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности или риска, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов испытаний. Составляя «дерево решений», нужно нарисовать «ствол» и

88

«ветви», отображающие структуру проблемы. Располагаются «деревья» слева направо. «Ветви» обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений. На схеме могут использоваться два вида ветвей: первый – пунктирные линии, соединяющие квадраты возможных решений, второй – сплошные линии, соединяющие кружки возможных исходов. Квадраты обозначают здесь пункты принятия решений, а кружки обозначают возможные события. Дерево строится (прочитывается) слева направо.

«Дерево решения» состоит из ряда узлов и исходящих из них ветвей. Ветви, исходящие из квадратных узлов, обозначают альтернативы решений; ветви, исходящиеизкруглыхузлов, обозначают возможныесобытия(т.е. возможныеусловия).

После того, как дерево решения построено, оно анализируется справа налево, то есть начинать надо с последнего принятого решения. Когда все решения и их исходы указаны на дереве, просчитывается каждый из вариантов и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей ветви. Для каждого решения выбирается альтернатива с наибольшим показателем отдачи (или с наименьшими затратами). Если за принятием решения следует несколько возможных вариантов событий, выбирайте альтернативу с наибольшей предполагаемой денежной стоимостью (или с наименьшей предполагаемой величиной затрат). Рассмотрим применение этого метода на примере.

Пример 8. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 д.ед. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить их в свои инвестиционные проекты со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет? Перед вами пример задачи с одним решением, поэтому можно воспользоваться как таблицей доходов, так и «деревом». Рассмотрим оба варианта.

Решение 1 (по таблице доходов):

Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года, и инвестированной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит:

Чистый доход = ((15000 + 15% от 15000) – 15000) = 2250 д.ед.

Чистый доход в конце года, д.ед.			Таблица 2.2.14
Возможные исходы	Возможные решения			Вероятность
	выдавать заем	не выдавать заем
Клиент заем возвращает	2250	1350		0,96
Клиент заем не возвращает	-15000	1350		0,04
Ожидаемый чистый доход	1560	1350

Если банк решает выдать заем, то максимальный ожидаемый чистый доход равен 1560д.ед.

Решение 2 (с использованием «дерева решений»):

В данном случае также используем критерий максимизации ожидаемого в конце года чистого дохода. Строим дерево слева направо в соответствии с усло-

89

вием задачи, а затем проводим расчет аналогично тому, как это делалось при расчетах по таблице доходов.

Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется следующим образом:

Вкружке А: NPVА (давать заем) = (17250×0,96 + 0×0,04) – 15000 = 16500 – 15000 = 1560 (д.ед.).

Вкружке В: NPVВ (не давать заем) = (16350×1,0 – 15000) = 1350 (д.ед.).

	1560
Давать заем	А
1	1350
Не давать заем	В

Деньги, полученные

в конце года (д.ед.)

Заем уплачен +15% годовых

	0,96
Заем не возвращен	0,04

17250

0

16350

Инвестирование под 9% годовых

Рис 2.2.6. Дерево решений для примера 8

Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то принимается решение выдать заем. Ветви решений, которые обеспечивают меньший результат, перечеркиваются.

Расчет двухуровневого «дерева решений»

Пример 9. Рассмотрим ситуацию более сложную, чем в предыдущем примере, а именно: банк решает вопрос, проверять ли платежеспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 д.ед. за каждую проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы: первая – проводить или не проводить проверку клиента, вторая – выдавать после этого заем или нет.

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются имеющиеся в банке статистические данные по клиентам, которые были проверены на платежеспособность и им впоследствии выдавались ссуды:

			Таблица 2.2.15
Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды
Рекомендации АФ	Фактический результат
после проверки
	Клиент ссуду вернул	Клиент ссуду не вернул	Всего
платежеспособности
Давать ссуду	735	15	750
Не давать ссуду	225	25	250
Всего	960	40	1000

Какие решения должен принять банк?

Решение:

Этап 1. Построим «дерево», как показано ниже (рис. 2.2.7). Вероятности на ветвях исходов проставляются по данным этапа 2.

90

							Ссуда
				(1905)			выдается	-15000
					2
		Выдача займа					Ссуда	-15000
		рекомендована
							не выдается.
			0,75		Вложены под 9%
			(1686)
			А				Ссуда
			0,25	(1350)			выдается
Проведение								-15000
аудиторской			Выдача займа		3
	проверки
			не рекомендована				Ссуда	-15000
		-80
							не выдается.
	1					Вложены под 9%
		Отсутствие					Ссуда
							выдается
		аудиторской		(1560)				-15000
		проверки
					4
							Ссуда	-15000
							не выдается.
					Вложены под 9%

	Деньги,
Ссуда	полученные
возвращена	17250
(1905)	0,98

В

	Ссуда	0,02
		0
	не возвращена

(1350) Получены

+9%

С16350

		Ссуда	17250
	(525)	возвращена
	D	0,9
		0,01
		Ссуда	0
		не возвращена
	(1350)	Получены
	Е	+ 9%	16350
		Ссуда	17250
	(1560)	возвращена
	F	0,96
		0,04
		Ссуда	0
		не возвращена
	(1350)	Получены
	G	+ 9%	16350

Рис. 2.2.7. Дерево решений для банка с учетом аудиторской проверки

Этап 2. Используя данные табл. 2.2.14 и 2.2.15, вычислим вероятность каждого исхода:

Р(клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 735/750 = 0,98;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 = 0,02;

Р(клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) =225/ 250 = 0,9;

Р(клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= 25/250= 0,1.

Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из «узлов», используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, рассчитываем все «дерево», опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадраты «решений», выбирается ветвь, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая ветвь зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся следствием квадрата решений 2 (выдавать ли заем клиенту?).

91

Доход, ожидаемый от исхода В: ЕV (В) = 0,98×17250 + 0,02×0 = 16905 (д.ед.). Чистый доход: NPV (В) = 16905 – 15000 = 1905 (д.ед.).

Доход, ожидаемый от исхода С: ЕV (С) = 1,0×16350 = 16350 (д.ед.).

Чистый доход: NPV (С) = 16350 – 15000 = 1350 (д.ед.).

Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный ожидаемый здесь доход составляет 1905 д.ед. в кружке В, поэтому принимаем решение выдать заем.

Приняв решение, корректируем дерево, проставив чистый ожидаемый доход 1905 д.ед. над квадратом 2. Ветвь решения – не давать заем зачеркивается, как это показано на рис. 2.2.7.

Далее производим те же операции с кружками исходов D и Е – результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

ЕV (D) = 0,9×17250 + 0×0,1 = 15525 (д.ед.). NPV (D) =15525 – 15000 = 525 (д.ед.).

Аналогично для исхода Е:

ЕV (Е) = 1,0×16350 = 16350 (д.е.). NPV (Е) = 16350 – 15000 = 1350 (д.ед.).

Если бы мы были в квадрате решения 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 д.ед. и можно было бы принять решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход 1350 д.ед. и принимаем решение выдать заем.

Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

ЕV (F) = 0,96×17250 + 0,04×0 = 16560 (д.ед.). NPV (F) = 16560 – 15000 = 1560 (д.ед.).

ЕV (G) = 16350×1,0 = 16350 (д.ед.). NPV (G) = 16350 – 15000 = 1350 (д.ед.).

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 д.ед., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 д.ед. надписывается над квадратом 4, а альтернативная ветвь перечеркивается.

Теперь обратимся к узлам А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:

ЕV (А) = 0,75×1905 + 0,25×1350 = 1766 (д.ед.).

Так как аудиторская проверка стоит 80 д.ед., ожидаемый чистый доход в узле А составит: NPV (А) = 1766 – 80 = 1686 (д.ед.).

Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом узле максимальное математическое ожидание 1686 д.ед. приходит со стороны решения «Проведение аудиторской проверки» поэтому перечеркиваем альтернативную ветвь решения. Здесь попутно можно сделать вывод о допустимой стоимости аудиторской проверки. Разность в ожидаемых чистых доходах по двум ветвям решений в узле 1 составляет 1686 – 1560 = 126 (д.ед.). Это и будет та предельная стоимость аудиторской проверки, которую можно за нее заплатить.

На рис. 2.2.7 стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 – выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 – не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых.

92

Пример 9. Фирма «Маркет», занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором и обработкой данных. Проблема состоит в том, покупать компьютеры или арендовать. Предсказать рост масштабов деятельности фирмы в ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный, средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятельности в первый год после установки компьютеров составляет 0,6; среднего и незначительного – 0,3 и 0,1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года равна 0,75. Средний рост первого года изменится на незначительный в последующие годы с вероятностью 0,5. А незначительный рост таким же и останется с вероятностью 0,9. Чистые наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 2.2.16.

Стоимость компьютеров – 35000 д.ед. Условия аренды: первоначальный взнос – 15000 д.ед. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

	Таблица 2.2.16
Доходы наличности
Рост масштаба деятельности	Доход наличности на конец года, д.ед.
Значительный	20000
Средний	14000
Незначительный	11000

Для того чтобы решить, должна ли фирма покупать или арендовать компьютеры, воспользуемся деревом решений. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12%-ного приращения капитала в год.

Решение:

Этап 1. Составляем дерево для покупки-аренды компьютеров (рис. 2.2.8). Отметим, что обе половины «дерева» – покупка и аренда – не зависят от на-

чальных затрат, а зависят только от сумм предполагаемого дохода, которые рассчитываются на конечном этапе.

Этап 2. Подсчитаем суммы, получаемые за 1-4 годы работы. Значения доходов, проставленные в крайней правой части дерева – это доходы за 2-4 годы, соответствующие сегодняшнему уровню доходов (табл. 2.2.16) с учетом 12% годового приращения капитала, которое предусматривает фирма.

Если в конце каждого года компания получает Аt д.ед. и рассчитывает на 12% годового прироста, то, используя коэффициент дисконтирования, можно рассчитать сегодняшнее(текущее) значениеАд.ед. для2-4 годаработы, котороебудетравно:

	Текущее значение А =		А2	+	А3	+	А4	= А×2,1445.
		(1	+0,12)2		(1+0,12)3		(1+0,12)4

Поэтому в исходе I, где А (доходы за год), соответствующие значительному масштабу деятельности, равны 20000 д.ед., текущее значение дохода за 2-4 годы с учетом 12% годовых: PVI = 20000×2,1445 = 42890 (д.ед.).

Аналогичное значение для исхода J: PVJ = 11000×2,1445 = 23590 (д.ед.). Чередуясь, эти два значения повторяются по всем исходам от K до Т.

93

Покупка

1 Решение

Аренда

Сумма дохода Рост за первый год Рост за 2-4 годы за 2-4 годы

роста

	Значительный	I	42890
	0,75
Значительный (0,6)	С
	0,25		23590
	Незначительный	J
	Значительный	K	42890
Средний (0,3)	0,5
А	D
	0,5		23590
	Незначительный	L
	Значительный	M	42890
Незначительный (0,1)	0,1
	E
	0,9		23590
	Незначительный	N
	Значительный	O	42890
	0,75
	F
Значительный (0,6)	0,25		23590
	Незначительный	P
	Значительный	Q	42890
Средний (0,3)	0,5
В	G
	0,5		23590
	Незначительный	R
	Значительный	S	42890
Незначительный (0,1)	0,1
	H
	0,9		23590
	Незначительный	T

Рис. 2.2.8. Дерево решений для покупки или аренды компьютеров

Этап 3. Используя текущие значения доходов (present value), можно вычислить математическое ожидание узлов исходов от С до Н. В узле С несмещенная величина ожидаемого текущего дохода за 2-4 годы равна: EPVC = 0,75×42890 + 0,25×23590 =8065.

На первом году работы при значительном росте в узел С будет добавляться текущая величина дохода PVc = 20000/1,12 = 17857 (д.ед.).

Следовательно, ожидаемая текущая стоимость узла С за 1-4 годы составит: EPVc = 38065 + 17857 = 55922 (д.ед.).

Для узла D ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы при 12% го-

довых составит: EPVD = 0,5×42890 + 0,5×23590 + 14000/1,12 = 45740 (д.ед.).

Для узла E ожидаемая текущая стоимость доходов за 1-4 годы при 12% го-

довых составит: EPVЕ = 0,1×42890 + 0,9×23590 + 11000/1,12 = 35341 (д.ед.).

Врезультате симметрии ожидаемые текущие значения доходов в узлах F, G

иH составят 55922, 45740 и 35341 д.ед. соответственно. На этом расчеты по правой стороне дерева заканчиваются, и можно приступать к вычислению ожидаемых текущих доходов в узлах А и В. Для обоих узлов значения доходов оди-

наковы: EPVА = EPVВ = 0,6×55922 + 0,3×45740 + 0,1×35341 = 50809 (д.ед.).

94

Чистый ожидаемый текущий доход в узле А (покупка ПК) составит: NEPVA = EPVА – стоимость покупки = 50809 – 35000 = 15809 (д.ед.).

Для окончательного расчета ожидаемой текущей стоимости в узле В най-

дем стоимость аренды (VA): VA = 15000 + 0,25×50809 = 27702 д.ед.

Тогда чистый ожидаемый текущий доход по узлу В (аренда ПК) составит: NEPVв = 50809 – 27702 = 23107 д.ед.

Наконец обратимся к узлу решений 1. Максимизируя чистый ожидаемый текущий доход, сравним их значения для узлов А и В. Из сравнения следует, что фирме выгоднее арендовать компьютеры.

Следует обратить внимание, что в этих расчетах не учитывается остаточная стоимость компьютеров через четыре года, а это может коренным образом повлиять на вектор решения.

Так, если удастся продать приобретенные компьютеры по истечении 4 лет работы за сумму большую, чем разница между NEPVв и NEPVA, т.е. 23107 –15809 = 7298 д.ед., то выгоднее будет приобрести компьютеры.

Анализ чувствительности решений

При принятии решений достаточно часто приходиться опираться на приблизительные данные, являющиеся результатами субъективной оценки того, кто принимает решение или подготавливает информацию для ЛПР. В принципе, прибыли, вероятности и другие критериальные показатели всегда являются величинами, зависящими от ряда факторов. Следовательно, полезно было бы выработать некоторый подход (некий показатель), который позволял бы выяснить, насколько чувствителен будет выбор альтернативы к изменениям того или иного фактора. К сожалению, в большинстве проблем невозможно учесть все возможные комбинации переменных, влияющих на результат решения. Однако, в ряде случаев, выделив ключевые факторы, можно оценить их влияние на конечный результат. Один из плодотворных подходов состоит в анализе чувствительности конечного результата к изменениям ключевых факторов. Проще всего этот подход реализуется в случаях, когда между ключевыми факторами и результатом существуют установленные аналитические, табличные или графические зависимости.

Для оценки чувствительности целесообразно использовать следующее соотношение:

δi =	Yi / Y0	=	Yi X 0	×100 % ,	(2.2.13)
	± X i / X 0		± X i Y0

где Y0, X0 – значения результирующей функции и i-го фактора в окрестности исследуемой точки решения (номинальные значения);

Yi – отклонение значения результата от номинального при изменении i-го фактора;

Xi – отклонение значения i-го фактора от номинального;

δi – чувствительность результата к изменению i-го фактора в окрестностях исследуемой точки решения.

Тем не менее, кое-что все же можно предпринять для оценки чувствительности показателей вероятности на выбираемый вариант решения.

Анализ чувствительности к изменениям вероятности развития событий по различным сценариям определяет тот уровень вероятности, за которым выбор варианта не меняется.

95

Спрос, т.шт. 20,0

19,0

18,0

17,0

16,0

15,0

6,0 6,25 6,5 6,75 7,0 7,25 7,5 Прибыль на шт. (д.ед)

Рис. 2.2.9. Двухфакторная модель «спрос – прибыль»

Этот подход полезен, когда существуют два возможных варианта условий. Он предусматривает построение графика, а затем использование алгебраических методов для определения уровня вероятностей, для которых данное решение является оптимальным (рис. 2.2.9).

Пример 10. Используя приведенную ниже таблицу, определите тот уровень вероятности для условия N2, т.е. Р(2), для которого каждая альтернатива является оптимальной, при использовании подхода ожидаемой стоимости.

Таблица 2.2.17

Альтернатива		Возможное условие
	N1		N2
А	4		12
В	16		2
С	12		8

Решение: Во-первых, постройте на графике все альтернативные варианты, связанные с Р(2). Для этого обозначьте показатели N1 на левой стороне графика и показатели N2 на правой стороне графика. Например, для варианта А обозначьте 4 слева на графике и 12 справа. Затем соедините эти две точки прямой линией. Три варианта размещены на графике, как показано на рис. 2.2.10.

1

2

3

Рис. 2.2.10. Графический метод решения задачи линейного программирования

96

График показывает уровень значений Р(2), сверх которых каждая альтернатива является оптимальной. Так, для низких показателей Р(2) (и, следовательно, для высоких показателей Р(1), так как Р(1) + Р(2) = 1,0) альтернатива В будет иметь самую высокую ожидаемую стоимость; для средних показателей Р(2) альтернатива С является наилучшей; а для более высоких оценок Р(2) – оптимальна альтернатива А. Чтобы найти точные значения уровней, определите точки пересечения верхних частей линий. Обратите внимание, что в точках пересечений две альтернативы, представленные этими линиями, будут эквивалентными с точки зрения ожидаемой стоимости. Следовательно, выбор будет равнозначен. Чтобы определить координаты точки пересечения, необходимо получить уравнение каждой прямой. Это достаточно просто. Поскольку это прямые линии, уравнение для них будет иметь вид у = а + b×x, где а – точка пересечения с осью у слева, b – наклон прямой. Наклон определяется как изменение величины у при изменении величины х на одну единицу. В данном типе задач расстояние между двумя вертикальными осями составляет 1,0. Следовательно, наклон всех прямых равен правому значению минус левое значение. Наклоны и уравнения имеют следующий вид:

	N1	N2	Наклон			Уравнение
А	4	12	12 – 4	= + 8		4 + 8Р(2)
В	16	2	2 – 16	= -14		16	– 14Р(2)
С	12	8	8 – 12	= -4		12	– 4Р(2)

На графике видно, что альтернатива В является оптимальной от Р(2) =0 до точки, где эта прямая пересекает прямую альтернативы С; здесь начинается область, где вариант С лучше. Чтобы найти эту точку, решите уравнение для значения Р(2) в точках пересечений. Для этого требуется уравнять оба равенства и решить их для Р(2).Таким образом, 16 – 14Р(2) = 12 – 4Р(2).

Преобразовав, получаем: 4 = 10Р(2)

Решив уравнение, вы получите значение Р(2) = 0,40. Таким образом, альтернатива В является наилучшей от Р(2) = 0 до Р(2) = 0,40. Варианты В и С рав-

ны при Р(2) = 0,40.

Альтернатива С является наилучшей от этой точки до того момента, когда ее прямая пересекает линию альтернативы А. Чтобы найти точку пересечения, приравняйте эти два уравнения и решите их для значения Р(2). Таким образом, 4 + 8Р(2) = 12 – 4Р(2).

Преобразовав, получаем: 12Р(2) = 8.

Решив уравнение, получаем значение Р(2) = 0,67. Таким образом, альтернатива С является лучшей от Р(2) > 0,40 до Р(2) = 0,67, где А и С эквивалентны. Для оценок Р(2) больших, чем 0,67 ивплотьдоР(2) = 1,0 лучшимвариантомявляется А.

Примечание: Если проблема требует определения уровней по отношению к Р(1), определите уровни Р(2), как описано выше, и затем вычитайте каждое значение Р(2) из 1,00 (например, 0,40 становится 0,60, а 0,67 становится 0,33).

Выводы

1.Теория решений – это общий подход к созданию решения, полезный во многих аспектах производственного управления, дающий общую основу и инструменты для анализа решения.

2.Теория решений включает в себя ряд различных приемов, которые можно классифицировать в соответствии со степенью определенности и уверенности, связанной с решаемой проблемой.

97