Manzhosov2

d

T

T

Q 1 .

1

dt

1

Найдем производные:

T

0 ,

J пр 1 ,

1

1

d

T

J

пр

.

1

1

dt

На механизм действуют задаваемые силы: вес движущихся частей, приложенный в точке, находящейся на прямой, совпадающей с осями ведущего и ведомого валов; вращающий момент Мвр, приложенный к ведущему валу, и момент сил сопротивления Мсопр, приложенный к ведомому валу.

Чтобы найти обобщенную силу Q 1 , соответствующую обобщенной координате φ1,

сообщим углу φ1 приращение δφ1.

Составим сумму элементарных работ, задаваемых сил на этом возможном перемещении. В эту сумму войдет работа вращающего момента Мвр и момента сил сопротивления Мсопр, которая отрицательна:

A 1 M вр 1 M сопр II .

Зависимость между угловыми перемещениями ведущего и ведомого валов равна зависимости между их угловыми скоростями. Поэтому

z

II z1 1 z3 1 .

Тогда

A 1 M вр M сопр z1 z1 z3 1 .

Получим обобщенную силу:
Q 1		A 1	M вр Мсопр			z1		.
				z	1	z	3
		1

Подставим найденные значения в уравнение Лагранжа:

Jпр 1 M вр Мсопр

z1

.

z z

3

Откуда

1

z1

M вр Мсопр

1

1

z1

z3

.

2

2

2

2

H

z1 z3

z2

z1

z1

J1

2m2

2J 2

J II

z1

z3

2

z1

z1 z3

2

z2

z3

Очевидно,

z1

z3 z2

2

1

;

2

z2 z1 z2

91

II II z1 z1 z3 1 .

Так как M вр M сопр z1 z1 z3 ,

то знаки угловых ускорений всех звеньев редуктора совпадают со знаками угловых ускорений этих звеньев. Это значит, что все звенья редуктора вращаются ускоренно.

Кинетический потенциал. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы

Предположим, что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал (консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала

(неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу Q j удобно представить в

виде суммы обобщенной силы QPj , соответствующей консервативным силам Pi , и

обобщенной силыQFj , соответствующей неконсервативным силам Fi :

Q j QPj QFj .

Если на рассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщенная сила определяется формулой

Q j Q Pj		П	(j = l, 2, ..., s).
		q j

В этом случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:

d		T				T			П
										(j = l, 2, ..., s).
dt		q j				q j		q j

Введем функцию Лагранжа L = Т – П, называемую кинетическим потенциалом. Кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных

скоростей и времени:

L L q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs ,t .

Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а

потому П 0 (j = l, 2, ..., s).

q j

Пользуясь этим условием, получим

T L П,	T		L		П	,	T		L	.
	q j		q j		q j		q j		q j

Подставив эти частные производные в уравнения Лагранжа, получим уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы:

d		L			L
							0	(j = l, 2, ..., s).
dt		q j			q j

92

Циклические координаты. Циклические интегралы

Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала L, называются циклическими координатами.

Предположим, что среди s обобщенных координат системы координаты q1, q2, …, qk (k<s) являются циклическими.

Тогда по определению циклических координат производные от кинетического потенциала по этим координатам равны нулю:

L 0; j (1, 2, ..., s) .

q j

В этом случае k уравнений Лагранжа второго рода для консервативной системы принимают вид

d		L
				0;	j (1, 2, ..., k) .
dt		q j

Откуда

	L	C j	const;	j (1, 2, ..., k) .
	q j

Полученные равенства называются циклическими интегралами.

Уравнения Нильсена

Для решения задач динамики голономных систем с большим числом степеней свободы можно воспользоваться уравнениями, предложенными Нильсеном, позволяющими уменьшить число операций дифференцирования. Эти уравнения, так же как и уравнения Лагранжа второго рода, имеют энергетическую основу, а потому могут быть получены путем преобразования выражения кинетической энергии механической системы.

Таким образом, находим, что

T	2	T	Q j QRj .
q j
		q j

В случае механической системы со стационарными идеальными связями

		Q Rj	0;		j (1, 2, ..., s).
Поэтому
	T	2	T		Q j ; j (1, 2, ..., s).
	q j		q j

Эти уравнения называются уравнениями Нильсена.

Сопоставляя уравнения Нильсена с уравнениями Лагранжа второго рода, устанавливаем, что при решении задач динамики голономных систем с s степенями свободы число операций дифференцирования с применением уравнений Лагранжа второго рода равно 3s, а с применением уравнений Нильсена – (2s + 1). Это и определяет возможность и целесообразность использования уравнений Нильсена при решении задач, связанных с расчетом систем, имеющим большое число степеней свободы.

93

1.2.4. Функция Гамильтона. Канонические уравнения механики или уравнения Гамильтона

Выражение кинетической энергии и кинетического потенциала механической системы в обобщенных координатах

В случае голономных нестационарных связей вектор скорости i любой точки Mi

механической системы из n материальных точек, имеющей s степеней свободы, определяется по формуле

		s	ri			ri
	i			q i			.
			q i			t
		i 1

Кинетическая энергия этой системы определяется по формуле

n	mi i2		1	n
T				mi i i .
	2
i 1			2 i 1

Для того чтобы выразить кинетическую энергию в обобщенных координатах, подставим в это равенство значения векторов скорости, обозначив j индекс обобщенной координаты в первом множителе, a k – во втором:

1

n

s

s

T

m

ri

q

j

ri

ri

q

k

ri .

i

q j

qk

2 i 1

j 1

t

k 1

t

Перемножая и учитывая независимость суммирования по индексам i, j и k, находим

		1	s s		n
						ri
	T				mi
		2				q j
			j 1 k 1	i 1

Введем обозначения:

где

r

s

n

r

i

q j qk

mi

q

q

j

k

j 1

i 1

a jk

mi

ri

ri ,

n

i 1

q j

qk

	r		1	n
	i	q j		mi
			2
	t			i 1

a jk akj ,	bj	mi	ri	ri .
		n
				t
		i 1	q j

Тогда

T

1

s s

s

1

n

r

r

2

a jk q j qk bj q j

mi

i

i .

j 1 k 1

j 1

2 i 1

t

t

Обозначим

1

s

s

s

1

n

r

r

T2

T0

2

a jk q j qk , T1 bi q j ,

mi

i

i .

j 1 k 1

j 1

2 i 1

t

t

ri ri .t t

Кинетическую энергию механической системы можно представить как сумму трех слагаемых:

Т = Т2 + Т1 + T0.

Эти слагаемые являются однородными функциями обобщенных скоростей со степенями однородности, равными соответственно двум, единице и нулю.

В случае стационарных связей величины T1 и Т0, очевидно, будут равны нулю и кинетическая энергия системы Т = Т2:

94

T1 s s a jk q j qk , 2 j 1 k 1

где аjk не зависит явно от времени.

Это выражение показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно-определенная.

Кинетический потенциал рассматриваемой механической системы определяется следующим выражением:

L = T – П = T2 + T1 + T0 – П,

где

П = П(q1, q2, …, qs, t).

Поэтому

L	1	s s	s	1	n	r	r		П q1 , q2 ,..., qs ,t .
	2	a jk q j qk bj q j			mi	i	t	i
		j 1 k 1	j 1	2 i 1		t

В случае стационарных связей

L1 s s a jk q j qk П q1 , q2 ,..., qs . 2 j 1 k 1

Канонические переменные

В том случае, если голономная система имеет s степеней свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат:

	d		L			L
							0;	j (1, 2, ..., s),
						q j
	dt		q j
где L L q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs ,t –					функция			Лагранжа (или кинетический потенциал),

зависящая от обобщенных координат qj, обобщенных скоростей q j и в общем случае от

времени t.

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном, позволяющий s уравнений Лагранжа преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,

называемых каноническими уравнениями Гамильтона.

Для приведения системы к каноническому виду вместо переменных qj и q j (обобщенных координат и обобщенных скоростей) введем новые переменные – обобщенные

координаты qj и обобщенные импульсы pj, где p j	L	.
	q j

Переменные qj и pj называются каноническими переменными.

Они образуют 2s-мерное фазовое пространство. Так как кинетический потенциал механической системы с s степенями свободы с голономными связями определяется выражением:

95

L	1	s s	s	1	n	r	r	П q1 , q2 ,..., qs ,t ,
	2	a jk q j qk bj q j			mi	i	i
		j 1 k 1	j 1	2 i 1		t	t

то обобщенные импульсы р1, р2, ..., ps определяются следующими формулами:

s

p j a jk qk bj ; j (1, 2, ..., s).

k 1

Уравнения Лагранжа с помощью обобщенных импульсов можно представить в следующем виде:

	dp j		L	.
	dt		q j

Так как уравнения линейны относительно обобщенных скоростей и определитель этой системы уравнений |аjk| отличен от нуля, то система s уравнений может быть разрешена

относительно qk .

Если бы определитель этой системы уравнений был равен нулю, то система однородных линейных уравнений

	L	s
		a jk qk	0;	j (1, 2, ..., s)
	q j
		k 1

удовлетворялась бы при значениях qk , отличных от нуля, и, следовательно, согласно теореме Эйлера об однородных функциях, было бы

L q j				2L 0 ,
s
	q	j
j 1

т. е. функция L была бы равна нулю при значениях q j , отличных oт нуля, что невозможно. Разрешая систему уравнений относительно qk , находим

qk f q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps ,t j (1, 2, ..., s).

Кинетический потенциал механической системы является функцией обобщенных координат qj, обобщенных скоростей q j и времени t:

L L q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,...qs ,t .

Выразим кинетический потенциал механической системы в канонических переменных:

L L q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps ,t .

Функция Гамильтона. Свойства функции Гамильтона

Функция

s		L
H				q j		L const
		q
			j
j 1

называется функцией Гамильтона. Функцию Гамильтона можно выразить также и в канонических переменных. Введем в выражение этой функции вместо обобщенных координат и скоростей канонические переменные qj, и pj. Получим выражение функции Н в канонических переменных:

96

s

H p j q j L .

j 1

Свойства функции Гамильтона:

1. Полная производная по времени от функции Гамильтона равна частной производной от той же функции по времени:

dHdt Ht .

Если наложенные на систему связи не зависят явно от времени, то функция Гамильтона Н также не будет зависеть от времени и, следовательно,

H 0 .

t

В этом случае dHdt 0 , откуда H = const.

2. В случае стационарных связей функция Гамильтона равна полной механической энергии системы:

s

H p j q j L 2T T П T П .

j 1

Канонические уравнения механики для консервативной системы и для неконсервативной системы. Примеры составления канонических

уравнений механики

Уравнения:

	dq j		H	;	dp j		H	(j = 1, 2, …, s)
	dt		p j		dt		q j

называются каноническими уравнениями механики, или уравнениями Гамильтона для консервативной системы. Уравнения Гамильтона представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрирование этих уравнений дает 2s величин q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps в функции времени t и 2s произвольных постоянных.

В том случае, если на механическую систему действуют как консервативные силы Q Pj П q j , так и неконсервативные QFj , получим следующую систему уравнений:

	dq j		H		dp j		H	F
				;				Q j	j (1, 2, ..., s).
	dt		p j		dt		q j

Данные уравнения представляют собой канонические уравнения механики для неконсервативной системы. Очевидно, что канонические уравнения механики, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голономным системам.

Пример 1. Свободная материальная точка массой m движется в потенциальном поле. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения этой точки, если силовая функция поля равна U (х, у, z).

97

Решение. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Примем за обобщенные координаты точки три ее декартовы координаты: х, у, z.

Каноническая энергия точки определится выражением

T 12 m x2 y2 z2 ,

а силовая функция

U = U(x, у, z) = –П.

Функция Лагранжа имеет следующий вид:

L T U 12 m x2 y2 z2 U x, y, z .

Найдем обобщенные импульсы:

p1		L	mx ,	p2		L	my	,	p3	L	mz .
Отсюда		x				y				z
			x p1 m ,		y p2 m ,				z p3 m .

Выражаем функцию Гамильтона в канонических переменных:

H T U 12 m p12 p22 p32 U x, y, z .

Канонические уравнения движения точки имеют следующий вид:

dx H

dt p1 dy H

dt p2

dz H dt p3

pm1 ,

pm2 ,

pm3 ,

dp1 dt

dp2 dt

dp3 dt

H U ,x x

H U ,y y

H U .z z

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах получаются из этих уравнений следующим путем. Из первых трех уравнений имеем

p m dx		,	p	2	m dy	,	p	3	m dz .
1	dt				dt				dt

Подставим эти значения p1, p2, p3 в три последних уравнения:

m

d 2 x

U

, m

d 2 y

U

, m

d 2 z

U

.

dt

2

x

dt 2

y

dt 2

z

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах в консервативном поле.

Пример 2. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Вдоль желоба, ось которого совпадает с диаметром диска, движется шарик массой m. К шарику приложена сила, направленная вдоль желоба и являющаяся функцией расстояния r от шарика до оси вращения (рис. 2.23).

98

Определить функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения шарика, рассматривая его как материальную точку.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы. Выберем за обобщенные координаты системы угол поворота диска φ и расстояние шарика от оси вращения r. Положим, что момент инерции диска относительно оси вращения равен Jcz, а силовая функция – U(r).

Кинетическая энергия рассматриваемой системы определяется как сумма кинетических энергий диска и материальной Рис. 2.23 точки:

T 12 Jcz 2 12 mv2 .

Так как составляющие скорости точки, выраженные в полярных координатах, определяются по формулам

vr r и v r , то v r 2 r 2 2 .

Поэтому T 12 Jcz 2 12 m r2 r2 2 , или T 12 mr 2 J cz mr 2 2 . Находим выражение функции Лагранжа:

L T U 12 mr2 Jcz mr2 2 U r .

Вычислим обобщенные импульсы:

p

r

L

mr ,

p

L

J

cz

mr 2

.

r

Отсюда r

p

r

и

p

.

m

Jcz mr2

Подставим в функцию Гамильтона Н канонические переменные:

			2		2
H T U	1		pr		p			U r .
						2
	2		m		Jcz mr

Канонические уравнения имеют следующий вид:

dr

H

pr

,

dpr

H

mrp2

U r

,

dt

pr

m

dt

r

Jcz mr 2 2

r

d

H

p

,

dp

H

0 .

dt

p

J

cz

mr 2

dt

Так как наложенные на систему связи стационарны, то функция Гамильтона не зависит явно от времени t. Поэтому Н = Т – U= h = const.

99

Таким образом,
			2			2
			pr
	1					p					U r h ,
									2
			m		Jcz	mr
	2
или p2				m			p2	2mU r 2mh h .
r			Jcz	mr 2							1

Свойства интеграла канонических уравнений динамики. Примеры интегрирования канонических уравнений в случае циклических координат

Если движение механической системы с s степенями свободы определяется 2s

каноническими уравнениями Гамильтона
	dq j		H	;	dp j		H	j (1, 2, ..., s),
	dt		p j		dt		q j

то задача интегрирования этой системы уравнений сводится к нахождению канонических переменных q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps в функции времени t и 2s произвольных постоянных.

Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений является функция вида

f = f(q1, q2, …, qs, p1, p2, …, ps, t),

т. е. такая функция, которая остается постоянной при всех значениях qj и pj, удовлетворяющих уравнениям Гамильтона.

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа L, называются

циклическими координатами.

Обобщенные координаты следует выбирать так, чтобы возможно большее их число было циклическим, или находить такое преобразование канонических переменных qj и рj, при котором уравнения сохранят форму уравнений Гамильтона, но возможно большее число координат станет циклическим.

Так, например, при изучении движения материальной точки под действием центральной силы целесообразно выбирать в качестве обобщенных координат не декартовы координаты, а полярные координаты, так как одна из полярных координат – угол φ – будет циклической координатой.

Пример 1. Составить канонические уравнения движения материальной точки М с массой m под действием центральной силы притяжения к центру О, равной

Р = km/r2, где r = ОМ.

Решение. Под действием центральной силы материальная точка движется в плоскости, проходящей через центр О. Выберем за обобщенные координаты полярные координаты r и φ, приняв за начало отсчета r центр О:

vr r и v r .

Кинетическая энергия точки

T 12 m r2 r2 2 .

Потенциальная энергия точки

П = –km/r.

100