Manzhosov2

1.3.3. Неупругий удар движущихся навстречу друг другу шаров

Скорости центров масс двух шаров (рис. 3.4), двигавшихся навстречу друг

другу, равны: υ1 = 6 м/сек, υ2 = 10 м/сек. Масса первого шара m1 = 10 кг. Определить

массу второго шара и величину ударного импульса S, если после неупругого удара шары остановились.

Решение. Направляем ось n вдоль линий центров С1С2. Проекции скоростей центров масс шаров на ось n в начале удара

будут: υ1n = 6 м/сек, υ2n = – 10 м/сек.

Так как проекция общей скорости на ось n после неупругого удара равна нулю, то

m1 1n m2 2n 0,

m1 m2

Рис. 3.4. Схема неупругого удара шаров

m1 1n m2 2n 0,

откуда

m2 m1 1n 6 кг.

2n

Величина ударного импульса равна

	S	m1m2			2n		10 6	(6 10) 60кг с.
			1n				10 6
		m1 m2
		1.3.4. Частично упругий удар шаров,
		движущихся в одном направлении
	Определить скорости центров масс двух
	шаров m1 = 12 кг и m2 =10 кг в конце частично
	упругого удара, если их скорости в начале
	удара были равны соответственно:			υ1		=
	10 м/сек и υ2 = 6 м/сек. Шары двигались в
	одном направлении. Коэффициент восста-
	новления k при ударе равен 0,8.
	Решение. Направляем ось n вдоль линий
	центров C1C2 в сторону движения шаров.						Рис. 3.5. Схема частично упругого
	Проекции скоростей на ось n центров тяжести
								удара
	шаров в начале удара равны: υ1n = 10 м/сек и

υ2n = 6 м/сек.

Проекции общей скорости на ось n в случае неупругого удара будет:

un m1 1n m2 2n	12 10 10 6	8,18	м/сек.
m1 m2	12 10

Проекции искомых скоростей центров масс шаров на ось n в конце упругого удара:

u1n un k(un 1n ) 8,18 0,8(8,18 10) 6,72 м/сек.

131

u2n un k(un 2n ) 8,18 0,8(8,17 6) 9,92 м/сек.

Положительные значения u1n и u2n указывают, что в конце упругого удара шары будут двигаться в том же направлении. Первый шар, двигавшийся до удара быстрее второго, после удара будет от него отставать.

1.3.5. Частично упругий удар шаров, движущихся навстречу друг другу

Определить скорости центров масс двух шаров m1 = 12 кг и m2 =10 кг в конце частично

			упругого удара (рис. 3.6), если их скорости в
			начале удара были равны соответственно: υ1 =
			10 м/сек и υ2 = 6 м/сек. Шары двигались
			навстречу друг другу. Коэффициент восста-
			новления k при ударе равен 0,8.
			Решение. Ось n направлена вдоль линии
			центров направо. Проекции скоростей на ось n
			центров тяжести в начале удара будут: υ1n = 10
	Рис. 3.6. Схема частично упругого		м/сек, υ2n = 6 м/сек.
			Проекция общей скорости на ось n в случае
	удара шаров, движущихся навстречу		неупругого удара равна
	друг другу
	un	m1 1n m2 2n	12 10 10 6 2,73 м/сек.
		m1 m2
			12 10

Проекции искомых скоростей центров тяжести шаров на ось n в конце упругого удара определяются формулами:

u1n un k(un 1n ) 2,73 0,8(2,73 10) 3,07 м/сек.

u2n un k(un 2n ) 2,73 0,8(2,73 6) 9,65 м/сек.

Знаки u1n и u2n указывают, что после удара шары будут двигаться в разные стороны, т. е. первый шар налево, а второй, шар направо.

1.3.6. Частично упругий удар шарика, падающего на неподвижную

горизонтальную плиту

С какой высоты h1 падает шарик на неподвижную горизонтальную плиту (рис. 3.7),

если после частично упругого удара он поднимается на высоту h2 = 81 см. Коэффициент восстановления равен 0,9.

Решение. Ось n направим по вертикали вниз. Скорость центра тяжести шарика в начале удара обозначим υ1. Скорость неподвижной плоскости равна нулю: υ2 = 0. Масса ее m2 бесконечно велика, т. е. m2= ∞.

Проекция общей скорости u на ось n в случае неупругого удара равна

Рис. 3.7. Схема падения

шара на плиту

132

m

m

m1

m

u

1n

2n

1 1n

2 2n

2

0.

n

m1

m m

1

1

2

m

2

Проекция скорости центра тяжести шарика на ось n в конце удара равна

u1n un k(un 1n ) .

Так как u2 = 0, то u1n = – kυ1n.							вверх. Зависи-
Знак минус указывает, что скорость шарика в конце удара направлена
мость между модулями скоростей центра тяжести шарика в конце удара имеет вид
u1 = kυ1.							(3.3)
Так как шарик, падая, совершал свободное падение, то
1		2gh1 .					(3.4)
После частично упругого удара шарик начинает подъем вверх со скоростью u1.
В наивысшей точке подъема h2 скорость шарика равна нулю. Следовательно,
u1		2gh2 .					(3.5)
После подстановки значений v1 и u1 из формул (3.3) и (3.4) в формулу (3.5) находим:
h2 k				h1 ,			(3.6)
откуда
h h2			81			= 1 м.
1	h	0,92
Формула (3.6), записанная в виде	1
k		h2		,			(3.7)
		h
		1

дает возможность экспериментально определить коэффициент восстановления при частично упругом ударе.

Вслучае неупругого удара шарик от плиты не отскакивает, т. е. h2 0 . Из формулы (3.7) получим, что k 0.

Вслучае упругого удара шарик должен отскочить в исходное положение, т. е. h2 h1 . Из формулы (3.7) получим, что k 1.

При частично упругом ударе h2 h1 и, следовательно, 0 k 1.

1.3.7.Контрольные вопросы

1.Чем характеризуется явление удара?

2.Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы при ударе.

3.Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

4.Классифицируйте удары в механике.

5.Дайте определение удару двух тел.

6.В чем отличие абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара?

7.Чем отличается прямой удар от косого?

8.Как найти центр удара?

133

1.3.8. Тест по теории

У1. Ударом двух тел называют:

а) взаимодействие тел, после которого они разлетаются или движутся как одно целое;

б) взаимодействие тел, при котором изменяется направление движения тел; в) взаимодействие тел; г) кратковременное взаимодействие тел.

У2. Абсолютно упругим ударом называют удар, при котором:

а) суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова; б) суммарная кинетическая энергия тел после удара меньше, чем до удара; в) тела после удара движутся как одно целое; г) тела до удара двигались навстречу друг другу.

У3. Абсолютно неупругим ударом называется столкновение, при котором: а) суммарная кинетическая энергия тел до и после удара одинакова;

б) суммарная кинетическая энергия тел после удара меньше, чем до удара; в) тела после удара движутся как одно целое; г) тела до удара двигались навстречу друг другу.

У4. Время удара – это:

а) промежуток времени соударения двух тел; б) промежуток времени удара тела о неподвижную поверхность;

в) ничтожно малый промежуток времени, в течение которого скорости точек тела изменяются на конечную величину;

г) малый промежутоквремени, в течение которого ускорения точек тела изменяются. У5. Ударной силой называется сила:

а) импульс которой за время удара является конечной величиной; б) импульс которой за время удара изменяется на бесконечно малую величину;

в) импульс которой за время удара изменяется на бесконечно большую величину; г) импульс которой за время удара не изменяется.

У6. Ударный импульс – это импульс: а) ударной силы;

б) который вводится при изменении скоростей тела за время t, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс;

в) который вводится при изменении ускорений тела за время t, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс;

г) который вводится при изменении скорости тела за заданный промежуток времени l, когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс.

У7. Результат действия ударной силы: а) перемещение материальной точки;

б) конечное изменение за время удара вектора ее ускорения; в) конечное изменение за время удара вектора ее скорости; г) можно пренебречь действием немгновенных сил.

У8. Изменение количества движения механической системы за время удара равно:

а) геометрической сумме всех ударных импульсов, приложенных к точкам системы; б) сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы; в) геометрической сумме всех внешних ударных импульсов;

г) геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

У9. Изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек за время удара равно:

а) сумме ударных импульсов внешних сил; б) геометрической сумме ударных импульсов;

в) геометрической сумме ударных импульсов внешних сил; г) геометрической сумме импульсов внешних сил.

134

2.ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

2.1.ДИНАМИКА

2.1.1.Задание Д-1. Исследование колебательного движения материальной точки

Варианты 1 5 (рис. 2.1.31)

Найти уравнение движения груза D массой mD или системы грузов D и E массами mD и mE, отнеся их движение к оси x; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статической деформации пружин).

Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.

Вариант 1

Груз D (mD = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подвешенному к двум одинаковым параллельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE = 1 кг). Сопротивле-

ние движению системы двух грузов пропорционально скорости: R =12 v (Н), где v скорость

(м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант 2

В момент, когда стержень, соединяющий грузы D (mD = 1 кг) и Е (mE = 2 кг) перерезают, точка В (верхний конец последовательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin18t см (ось ξ направлена вертикально вниз).

Коэффициенты жесткости пружин c1 = 12 Н/см, c2 = 36 Н/см.

Вариант 3

Груз D (mD = 0,8 кг) висит на пружине, прикрепленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости c1 = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, коэффициенты жесткости которых c2 = 4 Н/см, c3 = 6 Н/см. Точка F находится на расстояниях a

и b от осей этих пружин: a c3 . b c2

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (mE = 1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость ν0 = 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 4

Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием грузов D (mD = 0,5 кг) и Е (mE = 1,5 кг) fст = 4 см. Грузы подвешены к пружинам с

помощью абсолютно жесткого бруска АВ.

В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают. Сопротивле-

ние движению груза D пропорционально скорости: R = 6 v (Н), где v скорость (м/с). Массой бруска и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

Вариант 5

Одновременно с подвешиванием к грузу D (mD = 1,6 кг), висящему на пружине, коэффициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е (mE = 2,4 кг) точка В (верхний конец пру-

135

жины) начинает совершать движение по закону ξ = 2sin5t см (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

Варианты 6 10 (рис. 2.1.31)

Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкасания груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 6

Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,1 м, груз D (m = 4 кг) ударяется о недеформированные, последовательно соединенные пружины, имеющие коэффициенты жесткости c1= 48 Н/см и c2= 24 Н/см.

Вариант 7

В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) присоединяют без начальной скорости к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости c1 = 12 Н/см и c2 = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45º) по закону ξ = 0,02sin20t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начало отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

Вариант 8

Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэффициенты жесткости c1 = 4 Н/см и c2 = 6 Н/см, соединены бруском АВ, в точке К которого прикреплена пружина 3 с коэффициентом жесткости c3 = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружины 1 и

2:а c2 . Пружины 1, 2 и 3 не деформированы. b c1.

Груз D присоединяют к концу N пружины 3. В тот же момент грузу D сообщают ско-

рость ν0 = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45º). Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 9

Груз D (m = 1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30º) расстояние s = 0,2 м, ударяется о недеформированную пружину, коэффициент жесткости которой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружины) начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ = 0,03sin12t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Вариант 10

Груз D (m = 1 кг) прикрепляют к середине бруска АВ, соединяющего концы двух одинаковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформированы. Коэффициенты жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Сопротивление движению груза про-

порционально скорости: R = 8 v (Н), где v скорость (м/с); α = 60º. Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

136

Рис. 2.1.31 137

Варианты 11 15 (рис. 2.1.32)

Груз D массой m укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в плоскости чертежа вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин. Вертикальное положение стержня соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза.

Движение отнести к оси х, за начало отсчета принять точку, соответствующую положению покоя груза (при недеформированных пружинах).

Вариант 11

Груз D (m = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух параллельных пружин, коэффициенты жесткости которых с1 = 1 Н/см и с2 = 1,4 Н/см. Точка F на-

ходится на расстояниях а и b от осей пружин: а c2 . b c1

Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения, соответствующего вертикальному положению стержня, и отпускают без начальной скорости. Сопротивление движе-

нию груза пропорционально скорости: R = 6v (Н), где v скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 12

В некоторый момент времени груз D (m = 3 кг), удерживаемый в положении, при котором пружина сжата на величину λ = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с = 9 Н/см. Одновременно (t = 0) точка В (правый конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 1,2sin8t (см) (ось ξ направлена горизонтально влево).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ = 0).

Вариант 13

Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с1 = 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает концы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин.

Грузу при вертикальном положении стержня сообщают скорость v0 = 0,5 м/с, направленную вправо. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 12 v (Н), где

v скорость (м/с).

Шток демпфера пропущен через отверстие в невесомом бруске АВ и соединен с грузом D.

Вариант 14

Груз D (m = 1,5 кг) прикреплен одной стороной к концу пружины, имеющей коэффици-

ент жесткости с1 =4,4 Н/см, а другой стороной к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с2 = 2 Н/см и с3 = 8 Н/см.

Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения, соответствующего вертикальному положению стержня, и отпускают, одновременно сообщая грузу начальную скорость v0=0,4 м/с, направленную вправо.

Вариант 15

Груз D (m = 1 кг) прикреплен к концу А последовательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону ξ = 1,8sin12t (см) (ось ξ направлена горизонтально влево). Коэффициенты жесткости пружин: с1 = 4 Н/см и с2 = 12 Н/см.

При t = 0 груз находился в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам.

138

Рис. 2.1.32 139

Варианты 16 20 (рис. 2.1.32)

Найти уравнение движения груза D массой mD (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами mD и mE (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х. Начало отсчета совместить с положением покоя груза D или, соответственно, системы грузов D и E (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются.

Вариант 16

Пружина 1, на которой покоится груз D (mD = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ, соединяющей концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости пружин 1, 2 и 3: с1 = 200 Н/см, с2 = 160 Н/см, с3 = 140 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от

осей пружин 2 и 3, причем а c3 . b c2

В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е (mE = 20 кг). Одновременно системе грузов сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 17

В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состояния покоя, соответствующем статической деформации пружины). Циклическая частота собственных колебаний системы грузов D и Е на пружине к = 20 с–1, отношение масс mD/mE = 2 / 3.

Вариант 18

Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием груза D (mD= 20 кг) равна fстD 2 см. В некоторый момент времени на груз D уста-

навливают груз Е (mE=10 кг). Сопротивление движению грузов пропорционально скорости R =60 3 v (Н), где v − скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним, пренебречь.

Вариант 19

Два груза D и Е (mD = 15 кг, mE = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 250 Н/см и с2 = 375 Н/см.

В момент, когда снимают груз Е, точка В опирания пружин начинает совершать движение по закону ξ = 0,5sin30t (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).

Вариант 20

На груз D, находящийся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины, в некоторый момент времени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость v0 = 0,3 м/c, направленную вниз. Циклическая частота собственных колебаний груза D на пружине кD = 24c–1, отношение масс mE/mD = 3.

140