Manzhosov2

Рис. 2.16

При этом условии

∑ Pi δsi cos(Pi, δsi) + ∑Фi δsi cos(Фi, δsi) = 0.

Общее уравнение динамики показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю.

Если в каждую точку Mi системы из некоторого центра О провести вектор ri , то

возможное перемещение этой точки δsi будет соответствующим приращением радиусвектора точки:

δsi = δri (i = 2, 1, ..., n).

Так как возможное перемещение точки не обязательно направлено в сторону ее действительного движения, то возможное приращение радиус-вектора δri не всегда равно

действительному приращению радиус-вектора точки dri .

Работу задаваемых сил Pi и сил инерции Фi на возможных

перемещениях точек системы δri можно представить в виде скалярных произведений.

Тогда

X i m i x i xi Yi m i y i y i Z i m i z i z i 0 .

Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных твердых тел, то силы инерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила

равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения. Чтобы воспользоваться принципом возможных перемещений, к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силу и пару, составленные силами инерции точек тела. Затем системе сообщают возможное перемещение и для всей совокупности задаваемых сил и приведенных сил инерции составляют уравнение.

Если среди связей системы имеются односторонние связи, то для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы возможные перемещения системы не были освобождающими.

Обобщенные силы и примеры их вычисления

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек М1, М2, …, Мn, находящуюся под действием системы сил P1 , P2 ,..., Pn (рис. 2.16).

Предположим, что механическая система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется обобщенными коор-динатами q1, q2, …, qn.

Дадим обобщенной координате qj бесконечно малое приращение δqj, не изменяя остальных обобщенных координат механической системы. Тогда точки системы получат бесконечно малые перемещения δq1, δq1,…, δqn.

Так как эти перемещения допускаются связями, то совокупность этих перемещений будет одним из возможных перемещений системы.

Силы P1 , P2 ,..., Pn совершат на перемещениях δq1, δq1, …, δqn элементарную работу:

A gj	Pi s i cos Pi , s i .

Отношение элементарной работы к приращению обобщенной координаты δqj, назовем обобщенной силой, соответствующей координате qJ, и обозначим Qj.

81

Q A .

q

	Q j	Agj		Pi si cos Pi , si
					.
		q j		q j

Обобщенной силой Qj, соответствующей обобщенной координате qJ, называют скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы действующих сил, на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением δqj координаты qJ, к величине этого приращения.

Тогда Q j q j Pi si cos Pi , si ,

откуда следует, что произведение обобщенной силы, соответствующей координате qj, на приращение этой координаты δqj, равно элементарной работе приложенных к системе сил на перемещении системы, вызвано приращением этой координаты.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты:

Так, например, линейной обобщенной координате q соответствует обобщенная сила Q j , измеряемая единицами силы.

Если за обобщенную координату q принят угол φ, измеряемый в радианах, то размерность обобщенной силы Q j совпадает с размерностью момента. Так как каждой

обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты. Известно, что существует два способа группировки сил, действующих на механическую систему:

деление на внешние и внутренние силы;

деление на задаваемые силы и реакции связей.

Соответственно этому обобщенные силы разделяются или на обобщенные внешние и обобщенные внутренние силы, или на обобщенные задаваемые силы и обобщенные реакции связей.

Покажем, что в случае стационарных связей обобщенные реакции идеальных связей равны нулю. Действительно, для нахождения обобщенной реакции, соответствующей координате q, следует вычислить сумму работ реакций связей на перемещении системы, соответствующем приращению δqj этой координаты, а затем определить обобщенную реакцию связи по формуле

R		Pi si cos Pi , si		.
Q j		q j

В случае стационарных связей описанное перемещение системы является одним из возможных перемещений этой системы, а потому сумма работ реакций идеальных связей на этом перемещении равна нулю:

Pi si cos Pi , si 0 .

Отсюда следует, что

Q Rj 0 ; j 1,2,..., s . 82

Рис. 2.17

Таким образом, при определении обобщенных сил реакции идеальных связей выпадают.

Выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат

Случай сил, имеющих потенциал

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, находящуюся под действием сил P1 , P2 ,..., Pn .

Положим, что система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется обобщенными координатами

q1, q2, …, qn.

Найдем выражение обобщенной силы, соответствующей каждой обобщенной координате системы. Для этого проведем в каждую точку системы Mi из начала неподвижной системы декартовых координат радиусвектор ri (рис. 2.17).

При наличии нестационарных связей радиус-вектор точки, так же как и ее декартовы координаты, является функцией всех обобщенных координат и времени:

ri = ri (q1, q2, …, qs, t) (i = l, 2,…, n).

Чтобы найти обобщенную силу Q j , соответствующую обобщенной координате qi ,

сообщим координате qi элементарное приращение δqi, тогда радиус-вектор каждой точки Mi получит приращение, обусловленное приращением только одного аргумента qj.

r

rij qij .

Составим сумму работ всех сил, действующих на систему, на возможных перемещениях точек δrIJ, вызванных приращением координаты δqi. Воспользуемся для этого выражением элементарной работы силы в виде скалярного произведения и получим обобщенную силу Qj в следующем виде:

n		xi		yi		zi
			Yi		zi
Q j X i		qi		qi			.
i 1						qi

Аналогичное выражение можно получить и для обобщенной силы инерции:

	n			xi		yi		zi
ф
Q j	mi X i			qi	Yi	qi	zi		.
	i 1							qi

В случае, когда силы, действующие на механическую систему, имеют потенциал, то

Q j qПj ,

т. е. в случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате qiб, равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

Общее уравнение динамики в обобщенных силах. Условия равновесия сил

Преобразуем общее уравнение динамики: 83

n

Pi Фi ri 0 . i 1

Подставим в это уравнение наиболее общие возможные перемещения точек системы δri, вызванные одновременными бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат системы. Эти перемещения равны геометрической сумме возможных перемещений, вызванных приращениями отдельных обобщенных координат, общее уравнение динамики примет следующий вид:

n

s

r

Pi Фi

i

qi

0 .

q j

i 1

j 1

Суммируя сначала по точкам системы (i = 1, 2, …, n), а затем по обобщенным

координатам (j = 1, 2, ..., s), получаем

s

n

r

n

r

Pi

i

Фi

i

0 .

qi

q j

j 1

i 1

q j

i 1

Из этого можно получить общее уравнение динамики в следующем виде:

s Q j Q Фj q j 0. j 1

Приращения обобщенных координат δqi произвольны и не зависят друг от друга. Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при этих приращениях должны

быть равны нулю.

Приравняв нулю эти коэффициенты, получим

j 1,2,..., s Q j QФj 0.

Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.

Если силы, действующие на механическую систему, уравновешиваются, т. е. механическая система находится в состоянии покоя, или все ее точки движутся прямолинейно и равномерно, то силы инерции ее точек равны нулю.

Следовательно, и обобщенные силы инерции системы равны нулю:

QФj 0 ; j (1, 2, ..., s).

Это условия равновесия сил в обобщенных силах.

Для консервативных сил, т. е. сил, имеющих потенциал,

Q j 0 ; j (1, 2, ..., s).

В случае консервативных сил обобщенные силы определяются формулами:

Q j qПj ; j (1, 2, ..., s).

Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

П 0 ; j (1, 2, ..., s).

q j

84

Пример 1. Прямолинейный однородный стержень АВ длиной 2l упирается нижним концом А в гладкую вертикальную стену, составляя с ней угол φ, а в промежуточной точке D – на гладкий горизонтальный цилиндрический стержень, параллельный стене, отстоящий от нее на расстоянии d. Определить угол φ, при котором стержень находится в состоянии покоя

(рис. 2.18, а).

а		б

Рис. 2.18

Решение. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью стержня с вертикальной стеной.

Проведем через точку D координатные оси Dx и Dy. Определим потенциальную энергию стержня в поле сил тяжести (рис. 2.18, б):

П GyC .

Так как

yC l cos dctg ,

то

П G l cos dctg .

Найдем первую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате φ:

d

d

П G l sin

G

l sin .

2

2

sin

sin

В случае равновесия консервативной системы сил:

П

0. Поэтому

d

l sin 0,

sin2

т. е. sin 3 d

l.

По этой формуле определяется то значение угла

φ, составленного осью стержня с вертикальной

стеной, при котором он находится в состоянии покоя.

Пример 2. Пружина АВ удерживает

однородный стержень ОВ длиной l и весом G под

углом φ к горизонту. Конец пружины А прикреплен к

горизонтальной плоскости на

расстоянии

АО = 1.

Определить коэффициент жесткости с этой пружины,

Рис. 2.19

85

если извест-но, что длина пружины в ненапряженном состоянии равна L (рис. 2.19). Решение. Для определения коэффициента жесткости пружины с воспользуемся

условием равно-весия консервативных сил. Примем за обобщенную координату угол φ, образованный осью стержня с горизонтом. Проведем через точку О координатные оси Ох и Оу.

Потенциальную энергию рассматриваемой механической системы определим как сумму потенциальной энергии стержня в поле сил тяжести ПG и потенциальной энергии деформированной пружины ПP:

ППG ПP .

ПG GyC G 2l sin ;

	ПP		ch	2	c 2l cos		2 L 2
			2			2	.
	Поэтому
						c 2l cos	2 L 2
	П	Gl	sin					.
		2				2

Найдем первую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате φ:

П		Gl		2c 2l cos	2 L 2l 1	2	sin	2		Gl	cos cl	2	sin cLl sin 2 .
			cos
		2			2					2

Так как в рассматриваемом состоянии покоя системы П 0 , то

Gl2 cos cl2 sin cLl sin 2 0.

c	G cos		.
	2 l sin Lsin	2

1.2.3. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах

Уравнения Лагранжа второго рода. Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода

Систему s дифференциальных уравнений

d		T			T
							Q	j	j (1, 2, ..., s)
dt		q j			q j

называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнениями представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q1, q2, …, qs. Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

qj = qj(t) (j = 1, 2, …, s). 86

Рис. 2.20

Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики системы и широко используются для решения многих задач механики.

Пример 1. В эпициклическом механиз-
			б
ме кривошип с противовесом вращается под	а
действием приложенного к нему момента М
(рис. 2.20, а). Момент инерции кривошипа с
противовесом относительно оси его

вращения равен JO. Центр тяжести бегущей шестерни и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа. Расстояние между осями шестерен равно l. Бегущая шестерня имеет радиус r1, массу m1

и момент инерции относительно ее оси J1. Определить, пренебрегая трением, угловое ускорение кривошипа и окружное усилие в точке соприкасания шестерен.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату системы примем угол поворота кривошипа φ, отсчитанный от горизонтали.

Для определения углового ускорения					кривошипа с противовесом применим
уравнение Лагранжа второго рода:
	d		T			T	Q .
	dt

Чтобы воспользоваться этим уравнением, определим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной координаты φ и обобщенной скорости , равной угловой

скорости кривошипа ω.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии ТI кривошипа с противовесом, вращающимся вокруг неподвижной оси, и кинетической энергии ТII бегущей шестерни, совершающей плоское движение.

T	J	O	2		J	O	2
								.
I		2				2

Tm1 A2 J1 12 .

II2 2

Скорость центра масс шестерни A OA l .

Угловую скорость бегающей шестерни ω1 определим с помощью мгновенного центра скоростей, находящегося в точке В соприкасания шестерен (рис. 2.18, б)

						A
											l				.
				1			r		r
							1					1
Подставим значения A	и 1 :
		m	1	l 2			2			J		1	l 2			r 2			2
	T II																1			.
				2												2
															J	O	m		l 2 J		1	l 2	r 2	2
Кинетическая энергия системы T TI							TII											1					1		.
																			2
							87

Из этого выражения следует, что кинетическая энергия системы зависит от обобщенной скорости и не зависит от обобщенной координаты φ, т. е. от положения

механизма. Найдем производные:

T 0 ;

T J

O

m

1

l 2

J

1

l 2

r 2

;

1

d

T

J

m

l

2

J

l

2

r

2

.

1

O

1

1

dt

На механизм действуют задаваемые силы: сила тяжести движущихся частей G , приложенная в точке О, и вращающий момент М, приложенный к кривошипу.

Чтобы найти обобщенную силу Qφ, соответствующую обобщенной координате φ, сообщим системе возможное перемещение, сообщив углу φ приращение δφ. Составим сумму элементарных работ задаваемых сил на этом возможном перемещении. В эту сумму войдет только работа вращающего момента, определенная по формуле

δАφ = Мδφ.

Получим обобщенную силу:

Qφ = δАφ/δφ = М.

Подставим найденные значения в уравнение Лагранжа:

O

m

1

l 2 J

1

1

M ,

J

l 2 r 2

откуда

M

.

J

O

m l 2

J

1

l 2

r 2

1

1

Для определения окружного усилия в точке касания шестерен

рассмотрим плоское движение бегающей шестерни. Составим

дифференциальное уравнение вращения шестерни вокруг оси ξ,

Рис. 2.21

проходящей через центр тяжести А (рис. 2.21). К шестерне приложены

силы: сила тяжести G1

, составляющие реакции кривошипа R1 и R2 и

составляющие реакции неподвижной шестерни S1

и S2 .

Реакция S1 представляет собой окружное усилие.

Направление вращения шестерни

примем положительным. Тогда уравнение J M E будет иметь вид

J1ε1 = S1r1, откуда S1 = (J1/r1) ε1.

Чтобы найти угловое ускорение шестерни ε1, продифференцируем по времени

выражение 1 l r1

.

Получим d 1

dt l r1 d dt , т. е. 1 l

r1 .

Подставляя это значение ε1 в выражение S1, найдем усилие: S1 J1 lr12 .

Пример 2. Редуктор скоростей, используемый в электродвигателе, изображенный на рис. 2.22, имеет колесо 1, насаженное на ведущий вал I редуктора, с числом зубьев z1, сателлиты 2 с числом зубьев z2, опоры которых помещаются в звене, называемом водилом,

88

Рис. 2.22

принадлежащем валу II, а оси находятся от оси этого вала на расстоянии H, и закрепленное в корпусе колесо 3 с числом зубьев z3.

Момент инерции масс, связанных с ведущим валом, относительно оси вала равен J1; масса каждого сателлита m2, а его момент инерции относительно собственной оси J2; момент инерции масс, связанных с ведомым валом, относительно его оси JII.

Полагая, что к ведущему валу I приложен постоянный вращающий момент Мвр, а к ведомому валу II – постоянный момент сил сопротивления Мсопр, определить угловые ускорения ведущего и ведомого валов редуктора, а также угловые ускорения сателлитов.

Решение. Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату системы примем угол поворота ведущего вала φI.

Для определения угловых ускорений всех звеньев редуктора применим уравнение Лагранжа второго рода. Чтобы воспользоваться этим уравнением, определим кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости φI, равной угловой скорости ведущего вала ωI. Для вычисления кинетической энергии рассматриваемой системы необ-ходимо знать угловые скорости всех звеньев редуктора: ведущего вала (колеса I) ωI, ведомого вала (водила) ωII, сателлита ω2.

Определим эти угловые скорости способом Виллиса, содержание которого заключается в следующем. Предположим, что вращение всех звеньев механизма происходит в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а истинное направление вращения звена установим по знаку его угловой скорости, полученному в результате вычисления. Знак плюс покажет, что вращение звена

происходит в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а знак минус – что вращение звена происходит в направлении вращения часовой стрелки.

Каждое колесо (звено) механизма участвует в двух вращениях: 1) относительном (по отношению к водилу) вращении вокруг собственной оси и 2) переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси. Поэтому абсолютная угловая скорость каждого колеса 1, 2, ..., k (ω1, ω2, ..., ωk) равна алгебраической сумме его относительной и переносной угловых скоростей, причем для каждого колеса переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (ω1е = ω2e = ...= ωke = ω0). Мысленно остановив водило, лишаем все колеса их переносного вращения.

Зная абсолютные и переносные угловые скорости колес, определяем их относительные угловые скорости:

1r 1 1e 1 0 ;

2r 2 2e 2 0 ;

kr k ke k 0 .

Так как при остановленном водиле оси всех колес неподвижны, то соотношение между относительными угловыми скоростями колес такое же, как и в обычной зубчатой передаче:

1r	1 m i 1 k r или	1	0	1 m i 1 k r .
kr		k	0

Это соотношение носит название формулы Виллиса: в ней i(1 – k)r – передаточное отношение от колеса I к колесу k; m – число внешних зацеплений от колеса I к колесу k.

Переходя к решению рассматриваемого примера, приведем формулы Виллиса, устанавливающие зависимости между относительными угловыми скоростями колес 1 и 2, а также 2 и 3:

89

1 II	1 m i 1 2 r ,
2 II

где m = 1 и i(1–2)r = z2/z1;

2 II 1 m i 2 3 r ,

3 II

где m = 0 и i(2–3)r = z3/z2 .

В этом примере от абсолютных угловых скоростей отнимается угловая скорость ωII, являющаяся переносной угловой скоростью для каждого колеса данного редуктора, поскольку водило в этом редукторе связано с ведущим валом II.

Перемножим левые и правые части:

1

II

z3

.

3

II

z

1

Так как ω1= ωI и ω3=0, то

1 II

z3

,

II

z

откуда

1

z1

II

,

z1

z3

2

z1

z3 z2

.

z2

z2 z3

Знаки полученных значений ωII и ω2 показывают, что вал II вращается в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки, а сателлит 2 вращается в направлении вращения часовой стрелки.

Составим выражение кинетической энергии всех движущихся частей редуктора:

					2		2		2			J II II
				T	J1 1	m2 C 2			J 2 2				,
						2
					2		2		2			2
где C 2	H II		z1	H 1 .
		z1	z2

Выразим все линейные и угловые скорости через угловую скорость ведущего вала ω1:

	1				2		H	2								z3 z2					2				2
T		J		2m		z1				2J			z1								J				z1			2 .
	2				2 z z				2							z		z				II z			z		2
			1					3			2	z		2			1		3					1		3			1
					1

Из полученного выражения кинетической энергии всех движущихся частей редуктора находим выражение приведенного к оси ведущего вала момента инерции:

2

2

2

2

H

z1

z3

z2

z1

z1

Jпр J1

2m2

2J 2

J II

.

z1

z2

2

2

z2

z1 z3

z1 z3

Для определения углового ускорения ведущего вала 1 1 применим уравнение Лагранжа второго рода:

90