Manzhosov2

Состояние покоя механической системы называется безразличным, если при отклонении ее из этого положения она и в новом положении может оставаться в состоянии покоя.

Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голономными и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем.

Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в теореме Лагранжа–Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя.

Для консервативной системы уравнения равновесия сил имеют вид:

П 0 (j = 1, 2, …, s).

q j

Из уравнения следует, что положениям покоя консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы.

Условие устойчивости состояния покоя механической системы содержится в теореме Лагранжа–Дирихле. Эта теорема устанавливает, что те положения покоя консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, являются ее устойчивыми состояниями покоя.

Чтобы определить, устойчиво ли состояние покоя в рассматриваемом положении системы, необходимо выяснить имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум, т. е. выполняется ли условие:

2qП2 0.

Данным уравнением и пользуются при решении задачи об
устойчивости состояния покоя системы с одной степенью
свободы.
Пример на определение условий устойчивости состояния
покоя механической системы с одной степенью свободы.
Определить условие устойчивости состояния покоя
метронома, представляющего собой маятник с двумя грузами А
и В, если вес этих грузов G1 и G2, а их расстояния от точки О
соответственно равны l1 и l2; весом стержня пренебречь
(рис. 2.28).
Решение. Примем за обобщенную координату угол φ,
образованный осью метронома с вертикалью.
Проведем через точку О (ось метронома) координатные
оси Ох и Оу.	Рис. 2.28

Потенциальная энергия рассматриваемой системы в поле сил тяжести

П G1 y1 G2 y2 .

При расположении груза А внизу

y1 l1 cos ; y2 l2 cos , 121

П G2l2 G1l1 cos .

Найдем первую и вторую производные от потенциальной энергии по обобщенной координате φ:

П G2l2 G1l1 sin G1l1 G2l2 sin ;

2 П2 G1l1 G2l2 cos .

В состоянии покоя П 0.

Это будет в двух случаях:

если G1l1 G2l2 0 , т. е. G1l1 G2l2 ;

если sin 0 , т. е. 1 0 или 2 180.

При G1l1 G2l2 нет ни максимума, ни минимума потенциальной энергии, а потому

этому случаю соответствует безразличное равновесие.

Найдем соотношение между G1 и G2, при котором φ = 0 и метроном находится в устойчивом состоянии покоя:

2 П2 G1l1 G2l2 0.

Поэтому состояние покоя метронома устойчиво, если G1l1 G2l2 .

При 2 180 и G1l1 G2l2

2 П2 0 ,

т. е. это состояние покоя метронома неустойчиво.

122

1.2.6.Контрольные вопросы

1.Какие связи Вы знаете?

2.Запишите уравнения всех известных Вам связей.

3.Как классифицируются связи?

4.Что такое виртуальные перемещения системы?

5.Идеальные связи. Что это?

6.Сформулируйте ПВП.

7.Как применить ПВП к определению реакций связей?

8.Что такое обобщенные координаты механической системы?

9.Обобщенные силы и способы их вычисления.

10.Запишите условия равновесия механической системы в обобщенных координатах.

11.Вид общего уравнения динамики.

12.Запишите уравнения Лагранжа второго рода.

13.Приведите пример применения уравнений Лагранжа второго рода.

14.В чем особенность уравнений Лагранжа второго рода для консервативной системы?

15.Что такое вариационные принципы механики?

16.Что такое интегральные принципы?

17.Сформулируйте принцип Гамильтона–Остроградского.

18.Чем отличаются дифференцирование и варьирование в механике?

19.В чем сущность вариационного принципа Гамильтона-Остроградского?

20.Выведите уравнения Лагранжа второго рода из принципа Гамильтона– Остроградского.

123

1.2.7. Тест по теории

АМ1. Обобщенными координатами механической системы называются: а) декартова система координат; б) любая система координат и параметр времени;

в) независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек в механической системе;

г) координаты, определенные из уравнений связей.

АМ2. Число независимых обобщенных координат механической системы равно числу степеней свободы этой системы для:

а) неголономных систем; б) голономных систем; в) любых систем; г) ни для каких систем.

АМ3. Возможными (виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются:

а) бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями;

б) бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент приложенными к системе внешними силами;

в) воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями;

г) воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент приложенными к системе внешними силами.

АМ4. Связи называются идеальными, если:

а) сумма работ реакций связей на любом перемещении системы равна нулю; б)сумма работ реакций связей равна нулю;

в) сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю;

г) главный вектор реакций связей равен нулю. АМ5. Формулировка принципа возможных перемещений:

а) если в некотором положении механической системы приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю;

б) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма работ задаваемых сил равна нулю;

в) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма действующих сил равна нулю;

г) если в некотором положении механической системы с двусторонними идеальными связями приложенные к ней силы уравновешиваются, то на любом возможном перемещении системы из этого положения сумма моментов всех действующих сил равна нулю.

АМ6. Общее уравнение динамики показывает, что:

а) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю;

124

б) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы на любом возможном ее перемещении равна нулю;

в) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом ее перемещении равна нулю;

г) в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции материальных точек несвободной механической системы с двусторонними идеальными связями на любом возможном ее перемещении равна нулю.

АМ7. Математическая запись общего уравнения динамики имеет вид:

а) Pi Ri Фi 0;

б) Ri Si cos(Ri , Si ) 0;

в) Pi Si cos(Pi , Si ) Фi Si cos(Фi , Si ) 0; г) Si ri .

125

1.3.ТЕОРИЯ УДАРА

1.3.1.Явление удара

Вопросы:

1.Явление удара.

2.Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе.

3.Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Движение твердого тела, происходящее под действием обычных сил, характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей его точек. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно, и количество движения твердого тела за ничтожно малый промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара.

При ударе тела о неподвижную поверхность или при соударении двух движущихся тел имеет место процесс деформации тел вблизи точки их соприкосновения. Примерами этого явления могут служить удар мяча о стену, удар кия о бильярдный шар, удар молота о болванку, лежащую на наковальне, и ряд других случаев.

При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной. Модуль ударной силы может в тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить конечные по модулю силы, например силы тяжести, силы сопротивления воздуха или воды, силы трения. Импульсы конечных по модулю сил за бесконечно малое время удара будут бесконечно малы, и ими при изучении удара пренебрегают.

Напомним, что если конечная по модулю сила F действует в течение времени , начиная свое действие в момент времени t, то ее импульс имеет вид

t

S Fdt.

t

Ударный импульс – это импульс, который вводится при изменении скоростей точек тела за время , когда вместо самой ударной силы вводится ее импульс. Для определения ударного импульса S совершаем в соответствии со сказанным выше предельный переход, устремляя F к бесконечности и – к нулю, т. е.

t

S lim Fdt.

0

F t

Здесь предполагается, что бесконечно большая ударная сила действует бесконечно малый промежуток времени; при этом считается, что ударный импульс S имеет конечное значение.

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

126

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

Применяя при ударе теорему об изменении количества движения в интегральной форме, следует учитывать только импульс ударных сил. Теорему об изменении количества движения часто называют для краткости теоремой импульсов, которая является основой при изучении удара:

		K K0 SiE ,	(3.1)
где K – количество движения механической системы в момент окончания действия ударных
сил,	K0	– количество движения механической системы в момент начала действия ударных
сил,	SiE	– внешний ударный импульс.

Она формулируется так: изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Векторному уравнению (3.1) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

K x K x0				SixE ;
K y K y0
				SiyE ;
K		K				S E
	z		z0				.
						iz

Эти уравнения показывают, что изменение проекции количества движения системы на любую ось равно сумме проекций на ту же ось всех внешних ударных импульсов, приложенных к системе.

Также можно отметить, что при отсутствии внешних ударных импульсов и при действии на механическую систему лишь внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется, т. е.:

K K0 , SiE ,Uc Vc ,

где Uc и Vc – скорости центра масс системы.

Таким образом, удары, возникающие при столкновении тел, входящих в одну механическую систему, не могут вызвать изменения количества движения системы, т. е. скорости движения ее центра масс.

Теорема об изменении кинетического движения механической системы при ударе

Кинетическим моментом (или главным моментом количеств движения механической системы относительно центра (оси)) называют вектор, равный геометрической сумме моментовколичествдвижениявсехматериальныхточексистемыотносительноцентра(оси).

Уравнение

	dL0	M iE0 M	0E ,	(3.2)
	dt

127

где L0 – начальный кинетический момент движения механической системы относительно центра;

M iE0 – геометрическая сумма моментов всех внешних сил относительно того же центра.

Геометрическая сумма моментов всех внешних сил выражает теорему об изменении кинетического момента движения механической системы: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Векторному равенству (3.2) соответствуют три равенства в проекциях на оси координат:

dL	x			dLy			dL	z
		M ixE M xE ,			M iyE M yE ,				M izE M zE .
				dt			dt
dt

Уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.

Следствия из теоремы:

если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра остается все время равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

Из уравнения (3.2) следует, что если	M E	= 0, то	dL0	= 0 и dL	= const.
	0		dt	0
Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси остается все время

равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается неизменным.

E		d L x
Если, например, M x	= 0, то		= 0 и	L x	= const.

dt

Следствия из теоремы об изменении кинетического момента движения механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.

1.3.2. Удар двух тел

Вопросы:

1.Удар двух тел.

2.Центр удара.

Удар двух тел. Центр удара

Удар двух тел – совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся тел, а также при некоторых видах взаимодействия тела с жидкостью или газом (удар струи о тело, удар тела о поверхность жидкости, гидравлический удар, действие взрыва или ударной волны на твердое тело и др.). Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал (от нескольких десятитысячных до миллионных долей секунды), а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (называются ударными, или мгновенными) очень велики. Следствиями удара могут быть также остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств их материалов и др., а при скоростях соударения, превышающих критические, – разрушение тел

128

в месте удара. В элементарной теории удара изменение скоростей тел за время удара характеризует коэффициент восстановления k = 1, значение которого зависит от материала соударяющихся тел. Например, для шаров из дерева k = 1/2, из стали – 5/9, из слоновой кости –

8/9, при k = 1 удар называется абсолютно упругим, а при k = 0 абсолютно неупругим.

Коэффициент восстановления при ударе k зависит от материала соударяющихся тел. Для реальных физических тел коэффициент восстановления при ударе находится в пределах

0<k<1.

Удар называется абсолютно упругим, если коэффициент восстановления равен единице.

Удар называется абсолютно неупругим, если коэффициент восстановления равен нулю.

Для реальных материалов коэффициент восстановления k определялся опытным путем:

Материал соударяющихся тел	k
Дерево о резину	0,26
Деревянные шары	0,50
Стальные шары	0,56
Стеклянные шары	0,94

При соударении двух движущихся тел применяют гипотезу Ньютона: отношение модуля нормальной составляющей относительной скорости точки контакта тел после удара к ее модулю до удара есть коэффициент восстановления.

Коэффициент восстановления при ударе зависит от материала соударяющихся тел, но не зависит от их массы и относительной скорости.

Удар двух тел называется центральным, если линия действия ударного импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его центр масс (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Когда, например, удар двух тел не является центральным, следует пользоваться общими теоремами динамики системы материальных точек, сформулированными с учетом особенностей, характеризующих удар: 1) пренебрежение действием обычных сил по сравнению с ударными силами; 2) равенство нулю перемещений всех точек системы за бесконечно малый промежуток времени удара.

Сформулируем эти теоремы.

Теорема 1. Изменение главного вектора количеств движения системы материальных точек за время удара равно геометрической сумме ударных импульсов внешних сил.

Теорема 2. Изменение главного вектора количества движения центра масс системы материальных точек будет таким же, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и к нему были бы непосредственно приложены все ударные импульсы внешних сил.

Теорема 3. Изменение главного момента количеств движения относительно неподвижной оси равно сумме моментов ударных импульсов внешних сил относительно этой оси.

129

Теорема 4. Изменение главного момента количеств движения относительно неподвижной точки равно сумме моментов ударных импульсов внешних сил относительно этой точки.

Так как при ударе, происходящем в течение бесконечно малого промежутка времени, перемещениями точек системы пренебрегают, то за неподвижные оси и точки в указанных выше теоремах можно принять любые оси и точки, связанные с одним из соударяющихся тел.

Прямым называется удар, если скорость центров масс соударяющихся тел в начале удара лежит на прямой, соединяющей их центры масс (рис. 3.2).

С1 С2

V1

V2

V1<V2

Рис. 3.2

Удар называется косым, если хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел в начале удара не лежит на прямой, соединяющей центры масс.

Центром удара называется точка абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения и обладающего тем свойством, что и приложенный к телу ударный импульс, линия действия которого проходит через эту точку и который направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через ось вращения и центр масс тела, не вызывает ударных реакций в точках закрепления оси (рис. 3.3).

V1

V2

С1 С2

Рис. 3.3

Решение задач на нахождение центра удара сводится к 3 условиям:

1)ударный импульс должен быть направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела;

2)ось вращения тела должна быть главной осью инерции в точке пересечения с перпендикулярной плоскостью, содержащей ударный импульс;

3)точка приложения ударного импульса должна отстоять от оси вращения на расстояние приведенной длины физического маятника, ось подвеса которого совпадает с осью вращения данного тела.

При отсутствии реактивных ударных импульсов точка приложения ударного импульса является центром удара.

130