Manzhosov2

Решение. Прикладываем к шарику действующие на него силы: его вес G и реакцию нити Т. Условно прикладываем к шарику и его силу инерции Ф. При равномерном движении сила инерции шарика Ф равна нормальной силе инерции Фn, направленной противоположно нормальному ускорению an. Ее модуль

Φ Φn m 2 r , где r lsin .

СтроимзамкнутыйтреугольниксилG, Т, Ф. Изтреугольника определяем модулисилТиФ:

	T	G		50	57,7 сН;	Φ Gtg 50 0,577 28,85 сН.
		cos		0,866

Определив модуль силы инерции, находим скорость шарика А:

	Φr		Φgl sin		0,2885 9,8 0,4 0,5	1,06 м/с.
	m		G		0,5

Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

К системе сил инерции точек твердого тела можно применить метод Пуансо – метод приведения сил к некоторому центру, рассмотренный в статике. В динамике за центр приведения сил инерции выбирают обычно центр масс тела С. Тогда в результате

приведения получится сила Ф*, равная главному вектору сил инерции точек тела, и пара сил с моментом М*.

Главный вектор сил инерции точек твердого тела при любом ее движении:

Ф* = –mwc.

Остаетсяопределить главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс. Рассмотрим некоторые случаи движения твердого тела.

1. Поступательное движение.

Ф = Ф* = –mwc.

Таким образом, при поступательном движении силы инерции точек
твердого тела приводятся к равнодействующей силе приложенной в центре
масс тела, равной по модулю произведению массы тела на модуль
ускорения его центра масс и. направленной противоположно этому
ускорению.
2. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной
симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой
плоскости (рис. 1.25).
h M Ф Ф.
Точка Ох, через которую проходит линия действия равнодействующей
сил инерции Ф, является центром качаний.
3. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной	Рис.1.25
симметрии, вокруг центральной оси, перпендикулярной к этой

плоскости.

В этом случае ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела, так как она проходит через центр масс тел, перпендикулярно к плоскости симметрии

Ф* = –JC2 ε.

Таким образом, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, которая является его главной центральной осью инерции, то силы инерции точек тела приводятся к паре сил,

61

лежащей в плоскости материальной симметрии тела, момент которой определяется по приведенной формуле.

4. Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии.

Рассмотрим такое движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, при котором все точки тела движутся параллельно этой плоскости (рис. 1.26). Это движение тела можно разложить на поступательное движение с центром масс тела С и вращение вокруг подвижной оси Ct, проходящей через центр масс тела перпендикулярно к

плоскости симметрии.

Cилы инерции вращательного движения тела в таком случае приводятся к паре сил, лежащей в плоскости симметрии и имеющей момент

M Ф J ,

(1.33)

где J – момент инерции тела относительно главной

центральной оси инерции Сζ.

Таким образом, если твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии, движется параллельно этой плоскости, то силы инерции точек тела приводятся к силе,

приложенной в центре масс и равной главному вектору сил Рис. 1.26 инерции, и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии,

величина момента которой определяется формулой (1.33). В более сложных случаях движения тела главный вектор и главный момент сил

инерции относительно центра приведения находят аналитическим путем, т. е. по их проекциям на три координатные оси.

Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

	Вращение твердого тела вокруг
	его главной центральной оси инерции
	Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг
	неподвижной Оси z под действием приложенных к нему
	внешних задаваемых сил. Положим, что в рассматриваемый
	момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε.
	Чтобы воспользоваться принципом Германа–Эйлера–
	Даламбера, приложим к каждой точке тела Mi силу инерции Ф
	(рис. 1.27).
	При неравномерном вращении тела эта сила состоит из
	вращательной силы инерции ФВi, направленной противо-
	положно вращательному ускорению точки Mi , и центро-
	бежной силы инерции ФЦi, направленной противоположно
	центростремительному ускорению этой точки.
Рис. 1.27	На основании принципа Германа–Эйлера–Даламбера:
	P	E	RA RB Ф				0
			E	RA	RB			Ф	.
	M A M A				M A
							M A 0

После преобразований получаем:

62

X iE X A X B mxc 2 myc 0
Yi E YA YB myc 2 mxc 0
ZiE Z A 0
M ixE YB h J zx 2 J yz 0	.
M iyE YB h J zx 2 J yz 0
E
M iz J z 0

Последнее уравнение системы представляет собой дифференциальное уравнение вращения тела.

Остальные пять уравнений позволяют определить пять составляющих реакций подпятника А и подшипника В.

В первое, второе, четвертое и пятое уравнения системы, из которых определяются составляющие реакций опор вдоль осей х и у, входят члены, зависящие как от внешних задаваемых сил, так и от сил инерции. Следовательно, каждая из этих реакций имеет статическую составляющую, вызываемую действием внешних задаваемых сил, и динамическую составляющую, зависящую от сил инерции.

Члены уравнений системы, зависящие от сил инерции, отмечены рамками.

При быстром вращении тела динамические составляющие могут иметь большие значения.

Условия, при которых динамические составляющие реакций подпятника и подшипника

равны нулю, Уyz = 0 и Ум = 0.

Это означает, что ось вращения тела z должна быть главной осью инерции тела для начала координат.

Таким образом, установлено, что динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю в том случае, если ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела.

Для выполнения этого условия вращающимся частям машин обычно придают форму тел вращения с тем, чтобы это тело вращалось вокруг своей оси симметрии.

Если из-за неточности изготовления ось вращения тела не окажется главной центральной осью инерции, то эта погрешность устраняется специальными приемами.

1.1.7.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте аксиомы динамики.

2.Что такое инерциальная система отсчета?

3.В чем заключается смысл двух задач динамики материальной точки?

4.Запишите дифференциальные уравнения движения точки.

5.Что такое динамика относительного движения точки?

6.Относительный покой. Что это?

7.Что такое прямолинейные колебания материальной точки?

8.Как определить эквивалентную жесткость параллельно и последовательно соединенных пружин?

9.Получите дифференциальные уравнения свободных гармонических колебаний.

10.Что такое декремент затухания?

11.В чем природа резонанса?

63

12.Как влияет сопротивление среды на вынужденные колебания материальной точки?

13.Укажите свойство внутренних сил механической системы.

14.Дайте определение центру масс механической системы.

15.Как определить положение центра масс механической системы?

16.Сформулируйте теорему о движении центра масс.

17.Какие задачи решаются с помощью теоремы о движении центра масс механической системы?

18.Каковы две меры механического движения?

19.Дайте определение понятий «работа» и «мощность».

20.Элементарная работа силы и ее аналитическое выражение.

21.Как определяется работа силы на конечном перемещении?

22.Запишите выражения для вычисления работы силы тяжести, упругой силы, момента силы.

23.Чему равна работа внутренних сил системы?

24.Как определяется кинетическая энергия материальной точки и механической системы?

25.Найдите количество движения точки и механической системы.

26.Что такое импульс силы?

27.Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.

28.Какие задачи решаются на базе закона сохранения количества движения материальной точки?

29.Как найти импульс равнодействующей?

30.Что такое момент количества движения точки?

31.Дайте определение момента количества движения материальной точки относительно центра и оси.

32.Запишите дифференциальное уравнение вращения.

33.Получите дифференциальное уравнение плоского движения тела.

34.Как используется закон сохранения момента количества движения?

35.Запишите принцип Даламбера для материальной точки.

36.В чем заключается метод кинетостатики при решении задач динамики точки и системы?

37.Как привести силы инерции точек твердого тела к центру масс?

38.Что такое главный вектор и главный момент сил инерции тела относительно центра масс?

1.1.8. Тест по теории

Д1. Динамикой называется раздел механики, который изучает:

а) механическое движение тел без учета причин, вызвавших это движение; б) механическое движение тел с учетом причин, вызвавших это движение; в) механическое движение тел, основываясь на основных теоремах динамики;

г) механическое движение тел, основываясь на уравнениях Лагранжа второго рода. Д2. Характер движения тела определяет:

а) масса тела; б) взаимодействие тел; в) сила тяжести;

г) способ задания движения тела.

Д3. Мерой инерциальных свойств тела является: а) сила;

64

б) импульс; в) масса; г) момент.

Д4. Формулировка 1-го закона Ньютона:

а) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянная сила;

б) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянный момент;

в) изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя;

г) материальная точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, если на нее действует постоянная сила и постоянный момент.

Д5. Первый закон Ньютона определяет:

а) связь между силой и ускорением тела; б) условия, при которых тело находится в состоянии покоя;

в) связь между массой тела и действующей силой; г) условия, при которых траектория движения тела известна заранее.

Д6. Второй закон Ньютона определяет:

а) связь между силой и ускорением тела; б) условия, при которых тело находится в состоянии покоя;

в) связь между массой тела и действующей силой; г) условия, при которых траектория движения тела известна заранее.

Д7. Математическая запись 2-го закона Ньютона для тел постоянной массы имеет вид:

а) dmdtV F ;

б) F ma ;

в) Fдейств. Fпротив. ;

n

г) F Fi .

i 1

Д8. Математическая запись 2-го закона Ньютона для тел переменной массы имеет вид:

а)

б) в)

г)

dmdtV F ; F ma ;

Fдейств. Fпротив. ;

n

FFi .

i 1

Д9. Математическая запись 3-го закона Ньютона для тел переменной массы имеет вид:

а)

б) в)

г)

dmdtV F ; F ma ;

Fдейств. Fпротив. ;

n

FFi .

i 1

Д10. Силы действия и противодействия: а) приложены к одному телу; б) приложены к разным телам;

65

в) действуют по одной прямой в одну сторону; г) действуют по одной прямой в разные стороны.

Д11. Количество движения материальной точки выражается формулой:

а) p dmdtV ;

б) p ma ; в) p mV ;

г) p m ddtV .

Д12. Количество движения системы материальных точек равно:

а) алгебраической сумме количеств движения всех точек системы; б) векторной сумме количеств движения всех точек системы; в) произведению массы системы на скорость центра масс системы;

г) произведению массы системы на среднюю скорость всех точек системы.

Д13. Центром масс системы материальных точек называется точка, радиус-вектор которой равен:

а)

m1 r1 m2

r2 ... mn rn ;

б)

m1 r1 m2

r2 ... mn rn ;

m1 m2

... mn

в)

r1 r2 ... rn

;

n

r r

... r

г)

1

2

n

.

Д14.

r

Вес тела – это:

а) активная сила;

б) сила тяжести;

в) пассивная сила, с которой на тело действует опора;

Д15.

г) пассивная сила, с которой тело действует на опору.

Элементарной работой силы называют:

а) векторное произведение вектора силы на бесконечно малое перемещение точки

приложения силы;

б) скалярное произведение вектора силы на бесконечно малое перемещение точки

приложения силы;

в) векторное произведение вектора силы на конечное перемещение точки приложе-

ния силы;

г) скалярное произведение вектора силы на конечное перемещение точки приложе-

Д16.

ния силы.

Выражение для кинетической энергии имеет вид:

а)

Екин

bx2

;

rk

2

б)

Екин

F d r ;

r1

в)

Екин

mV

2

;

2

66

г) Екин mgh .

Д17. Кинетическая энергия механической системы равна: а) сумме кинетических энергий всех частей системы;

б) суммарной массе системы, умноженной на квадрат средней скорости частей системы, деленной на два;

в) суммарной массе системы, умноженной на квадрат суммарной скорости частей системы;

г) суммарной массе системы, умноженной на квадрат средней скорости частей системы.

Д18. По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки, приращение кинетической энергии материальной точки равно:

а) изменению потенциальной энергии; б) работе диссипативных сил, действующих на материальную точку;

в) работе консервативных сил, действующих на материальную точку; г) работе всех сил, действующих на материальную точку.

Д19. Закон сохранения количества движения выполняется: а) при любом ударе; б) только при лобовом ударе;

в) только при абсолютно неупругом ударе; г) только при абсолютно упругом ударе.

Д20. По теореме Штейнера момент инерции относительно произвольной оси равен:

а) разности момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на расстояние между осями;

б) сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на расстояние между осями;

в) разности момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями;

г) сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Д21. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела равна:

а) сумме кинетических энергий всех материальных точек твердого тела; б) половине произведения массы тела на квадрат средней скорости материальных

точек тела; в) произведению массы тела на среднюю скорость материальных точек тела;

г) произведению массы тела на сумму скоростей материальных точек тела. Д22. Кинетическая энергия вращательного движения абсолютно твердого тела:

а)	Екин			mV 2			;
			2
б)	Е			2			;
	кин		2
в)	Екин			mV 2				2	;
			2					2
г)	Екин			7	mV 2 .
			10

Д23. Кинетическая энергия при поступательном движении абсолютно твердого тела:

67

а)

Екин

mV

2

;

2

2

б)

Е

;

кин

2

2

2

в)

Екин

mV

;

2

2

г)

Екин

7

mV 2 .

Д24.

10

Кинетическая энергия тела, совершающего плоскопараллельное движение:

а)

Екин

mV

2

;

2

2

б)

Е

;

кин

2

2

2

в)

Екин

mV

;

2

2

г)

Екин

7

mV 2 .

Д25.

10

Свободными прямолинейными колебаниями материальной точки называется:

а) движение, происходящее под действием восстанавливающей силы, пропорцио-

нальной отклонению материальной точки от положения статического равновесия

и направленной к этому положению;

б) движение тела, происходящее периодически в разные стороны;

в)

движение тела, происходящее периодически в противоположные стороны;

г) движение,

при котором значения параметров состояния системы периодически

Д26.

повторяются.

Круговой частотой колебаний называется:

а)

количество колебаний в единицу времени;

б) количество колебаний за 2π секунд;

в) время одного колебания;

Д27.

г) количество колебаний за один период.

Частотой колебаний называется:

а) количество колебаний в единицу времени;

б) количество колебаний за 2π секунд;

в) время одного колебания;

Д28.

г) количество колебаний за один период.

Периодом колебательного процесса называется:

а) количество колебаний в единицу времени;

б) количество колебаний за 2π секунд;

в) время одного колебания;

Д29.

г) количество колебаний за один период.

Круговая частота связана с частотой колебаний выражением:

а)

f = 2πk;

б)

k =

2

;

f

в)

k = 2πf;

г)

k =

f

.

2

68

Д30. Свободными называют колебания, когда материальная точка: а) подвергается постоянному внешнему воздействию;

б) подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию; в) подвергается любому внешнему воздействию; г) предоставлена самой себе после выведения ее из положения равновесия.

Д31. Вынужденными называются колебания, когда материальная точка: а) подвергается постоянному внешнему воздействию;

б) подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию; в) подвергается любому внешнему воздействию; г) предоставлена самой себе после выведения ее из положения равновесия.

Д32. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых закон движения материальной точки изменяется:

а) по периодическому закону; б) по гиперболическому закону; в) по экспоненциальному закону; г) по закону синуса и косинуса.

Д33. Амплитудой гармонических колебаний называют:

а) величину наибольшего отклонения колеблющейся величины от положения равновесия;

б) величину наибольшего размаха колебаний; в) путь, проходимый колеблющимся телом за период колебаний;

г) величину перемещения колеблющегося тела за период колебаний. Д34. Фазой гармонических колебаний называют:

а) величину наибольшего отклонения колеблющейся величины от положения равновесия;

б) выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса; в) произведение круговой частоты на время; г) выражение, стоящее перед знаком косинуса или синуса.

Д35. Начальной фазой гармонических колебаний называется: а) значение фазы колебаний в момент времени t = 0;

б) выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса; в) значение фазы колебаний в момент начала колебаний; г) выражение, стоящее перед знаком косинуса или синуса.

Д36. Декремент затухания затухающих колебаний равен:

а) времени уменьшения амплитуды колебаний в два раза; б) времени уменьшения амплитуды колебаний в е = 2,71 раз; в) отношению амплитуд колебаний через период колебаний; г) отношению амплитуд колебаний через 2π секунд.

Д37. Главный вектор всех внутренних сил системы материальных тел (точек): а) равен главному вектору всех внешних сил;

б) совместносглавнымвекторомвнешнихсилсоставляетуравновешеннуюсистемусил; в) равен «0»; г) не определен.

Д38. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей:

а) равен главному моменту всех внешних сил системы относительно этого же центра или этой же координатной оси;

б) совместно с главным моментом внешних сил системы образует уравновешенную систему сил;

в) не определен;

69

г) равен нулю.

Д39. Мерой инертности твердого тела при его вращательном движении является: а) масса твердого тела; б) момент инерции твердого тела относительно оси вращения;

в) момент силы тяжести твердого тела относительно оси вращения; г) момент главного вектора всех внутренних сил твердого тела относительно оси

вращения.

Д40. Момент инерции твердого тела относительно оси Х определяется по формуле:

а) J x mi Zi ;

б) J x mi ( yi2 zi2 ) ;

в) J x J zox J xoy ;

г) J x mi yi2 .

Д41. Момент инерции твердого тела относительно плоскости XOY определяется по формуле:

а) J x mi Zi ;

б) J x mi ( yi2 zi2 ) ;

в) J xoy J zox J xoy ;

г) J x mi yi2 .

Д42. Работа силы тяжести вычисляется по формуле:

а) A1,2 сh22 ;

б) A1,2 Gh ;

в) A1,2 M ;

г) A1,2 G h M .

Д43. Работа силы упругости определяется по формуле:

а) J x mi Zi ;

б) J x mi ( yi2 zi2 ) ;

в) J xoy J zox J xoy ;

г) J x mi yi2 .

Д44. Работа момента определяется по формуле:

а) A1,2 сh22 ;

б) A1,2 Gh ;

в) A1,2 M ;

г) A1,2 G h M .

Д45. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, определяется по формуле:

а) T J z2v2 ; б) T mv2 2 ;

в) T J p2v2 ;

70