Manzhosov2
.pdfВарианты 21 25 (рис. 2.1.33)
Найти уравнение движение груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, отнеся движение к оси х. За начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).
Вариант 21
В некоторый момент времени груз D (m = 2 кг) прикрепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 7 Н/см и с2 = 3 Н/см. Одновременно грузу сообщают скорость v0 = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45º) вниз.
Вариант 22
Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30º) в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины fст = 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 0,01sin10t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).
Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).
Вариант 23
Груз D (m = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух недеформированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жесткости пружин с1 = 2 Н/см и с2 = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях a и b от осей
пружины, причем а c2 ; α = 60º. b c1
Сопротивление движению груза пропорционально скорости R = 12v (Н), где v − скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь.
Вариант 24
В некоторый момент времени груз D (m = 1 кг) прикрепляют к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 12 Н/см и с2 = 4 Н/см, и отпускают без начальной скорости. Одновременно (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sin10t (см). Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30º).
Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему положению точки В (ξ =0).
Вариант 25
Концы двух одинаковых параллельных пружин соединены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под действием груза D (m = 1,5 кг), находящегося на наклонной плоскости (α = 30º), fст = 4,9 см.
В некоторый момент грузу D сообщают скорость v0 = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости груза, R = 6 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь.
141
Рис. 2.1.33 142
Варианты 26 30 (рис. 2.1.33)
Пренебрегая массой плиты и считая плиту абсолютно жесткой, найти уравнение движение груза D массой m с момента соприкасания его с плитой, предполагая, что при дальнейшем движении груз от плиты не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин).
Вариант 26
Плита лежит на двух параллельных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с1 = 600 Н/см и с2 = 400 Н/см. Груз D (m = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты
h = 0,1 м в точку F плиты, находящейся на расстояниях a и b от осей пружин: а c2 . b c1
Вариант 27
Коэффициент жесткости каждой из двух параллельных пружин, на которых лежит плита с = 130 Н/см. Груз D (m = 40 кг) устанавливают на середину плиты и отпускают без начальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 400 v (Н), где v − скорость (м/с). Массой демпфера пренебречь.
Вариант 28
Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Статический прогиб пружины под действием груза D равен fст = 1 см.
Вариант 29
Плита лежит на двух одинаковых параллельных пружинах 1 и 2, коэффициенты жесткости которых с1 = с2= с3 = 400 Н/см.
Внекоторый момент времени груз D (m = 200 кг) устанавливают на середину плиты и одновременно прикрепляют к недеформированной пружине 3, имеющей коэффициент жесткости с3 = 200 Н/см.
Втот же момент времени (при недеформированных пружинах) грузу сообщают скорость v0 = 0,6 м/с, направленную вниз.
Вариант 30
В некоторый момент времени груз D (m = 100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот момент времени точка В (нижний конец пружины) начинает совершать движение по вертикали согласно закону ξ = 0,5sin20t (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины с = 2000 Н/см.
Примечание. НачалоотсчетанаосихсоответствуетсреднемуположениюточкиВ(ξ= 0).
Пример выполнения задания
Два груза D и Е массами тD = 2 кг и mE = 3 кг лежат на гладкой плоскости, наклоненной под углом = 30º к горизонту, опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой с
=6 Н/см = 600 Н/м.
Внекоторый момент времени груз Е убирают; одновременно (t = 0) нижний конец
пружины В начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону
= 0,02 sin 10t (м). Найти уравнение движения груза D (рис. 2.1.34).
Решение. Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает свое среднее положе-
ние ( = 0).
143
|
|
|
|
|
Направим ось х вверх вдоль наклонной плос- |
|
|
|
|
|
|
кости (в сторону движения груза D после снятия |
|
|
|
|
|
|
груза E). Движение груза D определяется по сле- |
|
|
а |
|
||||
|
|
|
|
|
дующему дифференциальному уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mD x X i , |
|
|
|
|
|
|
где Xi - сумма проекций на ось х сил, |
дейст- |
|
|
|
|
|
вующих на груз D (см. рис. 2.1.34, а): GD |
– веса, |
|
б |
|
|
N – нормальной реакции наклонной плоскости, Р – |
||
|
|
|
|
|
силы упругости пружины. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
mD x GD sin P . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1.34 |
|
P = c (x – fст D – ), |
|
где fст D – статическая деформация пружины под действием груза D; – перемещение
точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону = d sinpt (d = 0,02 м,
р = 10 рад/с).
Статическую деформацию пружины fстD найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза D на наклонной плоскости (рис. 2.1.34, б):
Xi 0 ,
–GD sin +P0 = –GD sin +c fстD = 0,
откуда
fстD = GD sin / c.
Дифференциальное уравнение движения груза D примет вид mD x GD sin c x fстD ,
или после преобразования
mD x cx cdsinpt .
Разделив все члены уравнения на mD и введя обозначения
с/mD = k2, cd/mD = h,
приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:
x k 2 x hsin pt .
Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения x , соответствующего однородного уравнения и частного решения x данного неоднородного уравнения:
x = x + x .
Общее решение однородного уравнения имеет вид
x = C1 cos kt + С2 sin kt.
Частное решение неоднородного уравнения:
x = [h/(k2 – p2)] sin t.
144
Общий интеграл
x= C1 coskt + С2 sinkt + [h/(k2 – p2)] sinpt.
Для определения постоянных интегрирования C1 и С2 найдем, кроме того, уравнение
для x
x C1k sin kt C2 k cos kt hp / k 2 p2 cos pt
и используем начальные условия задачи.
Рассматриваемое движение начинается в момент (t = 0), когда деформация пружины становится статической деформацией под действием грузов D и E. При принятом положении
начала отсчета О начальная координата груза D равна x0= – fст E, причем fст E = GE sin / c – статическая деформация пружины под действием груза E.
Таким образом, при t = 0
x0= – fст E , |
x0 0 . |
Составим уравнения x=x(t) и x x(t) |
для t = 0 |
x0 = C1; |
x0 C2 k hp /(k 2 p2 ) , |
откуда |
|
C1 = – fст E |
C2 hp /[k(k 2 p 2 )] . |
|||||
Уравнение движения груза D имеет следующий вид: |
|
|
||||
x fстE cos kt |
hp |
sin kt |
|
h |
sin pt . |
|
k(k 2 p2 ) |
k 2 p2 |
|||||
|
|
|
||||
Найдем числовые значения входящих в уравнение величин:
|
|
|
k |
|
c |
|
|
6 100 17,3 c 1 |
, |
||||
|
|
|
|
mD |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
fстE |
GE sin |
|
3 9,81 0,5 0,0245 м, |
||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
6 100 |
|
||||
h |
|
|
|
|
cd |
|
|
|
600 0,02 |
0,03 м, |
|||
k 2 p2 |
mD (k 2 p2 ) |
2(300 100) |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
h |
|
0,03 10 0,0173 м. |
|||||||
|
k(k 2 |
p2 ) |
|||||||||||
|
|
17,3 |
|
||||||||||
Следовательно, уравнение движения груза D
x = – 2,45 cos 17,3 t – 1,73 sin 17,3 t +3 sin 10 t (см).
145
2.1.2. Задание Д-2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя (рис. 2.1.35 − 2.1.37). Учитывая трение скольжения тела А (варианты 1 − 3, 5, 6, 8 − 12, 17 − 23, 28 − 30) и сопротивление качению тела D, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 − 9, 11, 13 − 15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела А в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.
В задании приняты следующие обозначения:
mA , mB , mD , mE – массы тел А, В, D, E;
RB , rB , RD , rD – радиусы больших и малых окружностей;
iВх ,iDх – радиусы инерции тел В и D относительно горизонтальных осей, проходящих
через их центры тяжести;, – углы наклона плоскостей к горизонту;
f– коэффициент трения скольжения тела А;
– коэффициент трения качения тела D.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 2.1.13.
Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными и однородными цилиндрами.
Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
146
Для процессора ударного взаимодействия |
|
Варианты ответов: |
||||
|
1) |
конечное изменение скоростей тел за |
||||
НЕ является характерным… |
|
|
|
время удара; |
|
|
|
|
|
|
2) незначительное изменение положе- |
||
|
|
|
|
3) |
ний тел за время удара; |
|
|
|
|
|
сохранение |
полной механической |
|
|
|
|
|
4) |
энергии взаимодействующих тел; |
|
|
|
|
|
малая продолжительность процесса. |
||
|
|
|
|
Варианты ответов: |
||
Коэффициент |
восстановления |
при |
|
1) |
равен отношению абсолютных ско- |
|
ударе… |
|
|
|
|
ростей тел до удара; |
|
|
|
|
|
2) может быть любым неотрицательным |
||
|
|
|
|
|
числом; |
|
|
|
|
|
3) можно найти, зная зависимость удар- |
||
|
|
|
|
|
ной силы от времени; |
|
|
|
|
|
4) характеризует изменение формы со- |
||
|
|
|
|
|
ударяющихся тел. |
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
||
|
|
|
|
1) |
24 Н·с; |
|
|
|
|
|
2) 40 Н·с; |
|
|
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
8 Н·с; |
|
||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Массы тел: m1 2 кг, m2 8 кг. Импульс |
|
4) |
16 Н·с. |
|
||
ударной силы, действующей на тело 1 за время |
|
|
|
|
||
удара, равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
||
|
|
|
|
1) |
невозможно |
вычислить, используя |
|
|
|
|
|
предложенные данные; |
|
|
|
|
|
2) |
0,25; |
|
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
1; |
|
||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) упругого соуда- |
|
4) |
0,5. |
|
||
рения. |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
восстановления при |
ударе |
|
|
|
|
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
||
|
|
|
|
1) 12 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
2) |
24 Н·с; |
|
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
36 Н·с; |
|
||
|
4) |
4 Н·с. |
|
|||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
|
|
|||
Массы тел: m1 6 кг, m2 4 кг. Импульс |
|
|
|
|
||
ударной силы, действующей на тело 2 за |
|
|
|
|
||
время удара равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
147 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
7/8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
невозможно вычислить, используя пред- |
||
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
|
ложенныеданные; |
|
||||||
|
3) |
2/3; |
|
|||||||
до (v1,v2 ) |
и после (u1,u2 ) упругого соуда- |
|
|
|||||||
|
4) |
3/8. |
|
|||||||
рения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
восстановления |
при |
ударе |
|
|
|
|
|
||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
24 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
40 Н·с; |
|
|
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
16 Н·с; |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) упругого соуда- |
|
4) |
8 Н·с. |
|
||||||
рения. |
|
m1 2 кг, |
m2 8 кг. |
|
|
|
|
|
||
Массы |
тел: |
|
|
|
|
|
||||
Импульс ударной силы, действующей на тело |
|
|
|
|
|
|||||
1 за время удара, равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1/7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
5/7; |
|
На рисунке показаны скорости двух |
|
|
3) |
5/9; |
|
|||||
тел до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) упругого |
|
|
4) |
невозможно вычислить, |
используя |
|||||
соударения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
предложенные данные. |
|
Коэффициент |
восстановления |
при |
ударе |
|
|
|
|
|
||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
5/7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
5/9; |
|
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
|
3) |
невозможно вычислить, |
используя |
|||||
|
|
|
предложенные данные; |
|
||||||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) упругого |
|
|
4) |
|
||||||
|
|
1/7. |
|
|||||||
соударения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент восстановления при ударе |
|
|
|
|
|
|||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
невозможно вычислить, используя |
|
На рисунке показаны скорости двух тел до |
|
|
|
предложенные данные; |
|
|||||
(v1,v2 ) и после |
(u1,u2 ) |
упругого |
соуда- |
|
|
3) |
1/2; |
|
||
рения. |
|
восстановления |
при |
ударе |
|
|
|
|||
Коэффициент |
|
|
4) |
1/4. |
|
|||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
6 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
0 Н·с; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
10 Н·с; |
||||||
|
4) |
5 Н·с. |
|||||||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
|
|||||||
Массы тел: m1 5кг, |
m2 1кг. Импульс |
|
|
|
|||||
ударной силы, действующей на тело 2 за |
|
|
|
||||||
время удара равен… |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
4/9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
4/5; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
1/2; |
||||||
до (v1,v2 ) |
и |
после |
(u1,u2 ) |
упругого |
|
||||
|
5) |
невозможно вычислить, используя |
|||||||
соударения. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
предложенные данные. |
|
Коэффициент |
восстановления |
при |
ударе |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
10 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
6 Н·с; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
0 Н·с; |
||||||
|
|
|
|||||||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
|
4) |
5 Н·с. |
|||||
Массы |
тел: |
m1 5кг, |
m2 1кг. |
|
|
|
|||
Импульс ударной силы, действующей на тело |
|
|
|
||||||
2 за время удара равен… |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
4/9; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
2) |
4/5; |
||||||
|
|
|
|||||||
до (v1,v2 ) |
и |
после |
(u1,u2 ) |
упругого |
|
3) |
1/2; |
||
соударения. |
|
восстановления |
при |
ударе |
|
4) |
невозможно вычислить, используя |
||
Коэффициент |
|
||||||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
предложенные данные |
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
15 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
12 Н·с; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
0 Н·с; |
||||||
|
4) |
9 Н·с. |
|||||||
до (v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
|
|||||||
Массы тел: m1 6 |
кг, |
m2 1кг. Импульс |
|
|
|
||||
ударной силы, действующей на |
тело |
2 за |
|
|
|
||||
время удара |
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2/3; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
6/5; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
3) |
5/6; |
|||||
до (v1,v2 ) |
и |
после |
(u1,u2 ) |
упругого |
|
|||
|
4) |
невозможно вычислить, используя |
||||||
соударения. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
предложенные данные. |
||
Коэффициент |
восстановления |
при ударе |
|
|
||||
|
|
|
||||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
невозможно вычислить, используя |
|
|
|
|
|
|
|
|
предложенные данные; |
На рисунке показаны скорости двух тел до |
|
2) |
3/5; |
|||||
|
|
|
||||||
(v1,v2 ) |
и после |
(u1,u2 ) |
упругого |
|
3) |
1/5; |
||
соударения. |
|
|
|
|
|
4) |
1/3. |
|
Коэффициент |
восстановления |
при ударе |
|
|||||
|
|
|
||||||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
15 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
0 Н·с; |
На рисунке показаны скорости двух тел до |
|
3) |
12 Н·с; |
|||||
(v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
4) |
9 Н·с. |
|||||
Массы |
тел: |
m1 m2 3кг. |
Импульс |
|
|
|
||
ударной силы, действующей на тело 1 за |
|
|
|
|||||
время удара равен… |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
40 Н·с; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
8 Н·с; |
На рисунке показаны скорости двух тел до |
|
3) |
16 Н·с; |
|||||
(v1,v2 ) и после (u1,u2 ) соударения. |
|
4) |
24 Н·с. |
|||||
Массы тел: m1 |
2 кг, |
m2 8 кг. Импульс |
|
|
|
|||
ударной силы, действующей на |
тело 1 за |
|
|
|
||||
время удара равен… |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1/3; |
На рисунке показаны скорости двух тел |
|
2) |
3/5; |
|||||
|
3) |
5/7; |
||||||
до (v1 |
,v2 ) и после (u1,u2 ) |
упругого |
|
|||||
соударения. |
|
|
|
|
|
4) |
невозможно вычислить, используя |
|
Коэффициент |
восстановления |
при ударе |
|
|
предложенные данные. |
|||
этих тел… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|