МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

31.

у = 3x − 2sin x

32.

у = 7 x2

+ 3 tg x

у =

1

x4

+ 3 sin x + 2 tg x

33.

у = 33

x + 2cos x -ctg x

34.

4

35. у = 2 + 45

+

3

− sin x + 7cos x − 3 log

x3

2

x

x2

	36. у = 3		−	1	+ 2cos x − 3 sin x + 4 ln x
		x2
				x3
	37. у = 2 − log3 x + 4log5 x

39. y = 2ex − ln x + 2cos x

41. y = 3x − 2ctgx + 6sin x

43.	y = 2arcsin x + 3arcctgx
45.	y = 4arctgx + 3ex							− lg x + sin x
47.	y = 3arctgx − log						3	x + 7×10x
49.	y = 3		x − 6ln x + arctgx + 8x
51.	y = xsin x
53.	y = x3 10x
55.	y =		x arctgx
57.	y = x4 ln x
59.	y = 5		x4 tgx
61.	y = x cos x ln x
63.	y = 2x tgx arcsin x

65.y = x2 −1 x2 +1

67. y = ln x +1 cos x

69. y = arccosx x

71.y = sin x x2

38. у = x-log7 x + 2 lg x

40. y = 10x − log2 x + 3tgx

42. y = 7x + lnx − cos x

44. y = 7arctgx − 4arccosx +1

46. y = arcsinx − ln x +10x − 6sin x

48. y = 2tgx − 3arctgx − 2x + lg x

50. y =		2		− 2arcsin x − 3x − 2ln x
5		x4

52. y = 3x ln x

54. y = xarccosx

56. y = x3 10x

58. y = x3 lg x

60. y = 2x ctgx

62. y = xsin x arctgx

64. y = ex ctgx (log2 x)

1+ x3

66. y = 1− x3

x

68. y =

x +1 70. y = x −1

log2 x

72. y = ctgx x

91

73.

f (x) =

1− 2x

, найти f ′(0)

1+ 2x

75.

f (x) =

( x +1)2

, найти 0,1f ′(0,1)

x

ex

77.

y =

+

x arcsin x

+ x2

1

79.

y = x cos x +

x −1

log3 x

81.

y =

x2

2x ln x

arctgx

83.

y = sin3 x

85.

y =

x3 + cos x

87.

y = ln cos x

89.

y = ln tg5x

91.

y = lnarccos2x

93.

y = (1+ tg5x)5

95.

y = arcsin

1− x

1+ x

97.

y = ln

1+ 2x

1− 2x

99.

y =

1− (arccos x)2

101. y = tg x +1

2

103. y = arcsin sin x

−x2

105.y = arccose 2

107. y = arctg(x − 1+ x2 ) 109. y = tgsincos x

111. y = eln x

113. y = 103−cos3 2x

74.

f (x) =

ln x

′

′

1

′

3

)

, найти f (e), f

,f (e

x

e

76.

y =

ln x

− x tgx

+ x2

1

78.

y =

x

+ x ex

+ x2

1

ex

80.

y =

+ 5 x lg x

sin x

82.

y = cos2 x

84.

y =

1− x2

86.

y = tg(x2 + 3)

88.

y = lnsin x

80.

y = arctg2

1

x

92.

y =

1+ sin3 3x

94.

y = (1+ lnsin x)3

96.y = lnln x

1+ x2

98.y = ln1− x2

100. y = ln(x + x2 + 5)

102. y = sin 1+ x2

104. y = arcsin(e4x )

106. y = arctgln(5x + 3)

108. y = lnarctg1+ x2

110. y = earcsin 2x

112. y = 3sin3 x

114. y = sin(2cos x )

92

115.

y = cos(ex2 +3x−2 )

117.

y = e

3 1−x4

119.

y = ln

1

x +

x2

−1

121.

y = 5

lncos

x −1

2

123.

y =

1+ sin 2x − 1− sin 2x

125.

y =

1

+

1

sin2 3x

cos2 3x

127.

y = x2 arcsin

1− x2

129.

y = (lg x)cos2x

131.

y = xe1−tgx

133.

y = 2e x (3

x2

− 23 x + 2)

135.

y = x arccos

x

x +1

137.

y =

xsin 2x

1+ tg2x

139.

y = arctg

2sin x

9cos2 x − 4

141.

y =

lnsin x

lncos x

143.

y =

cos2 x

1+ tgx

145.

y =

2cos x

cos2x

147.

y = x2arctg

+

1− ln x

x

1+ ln x

x

149.

y =

−

1− 4x2 arcsin 2x

x +1

e2x

116. y = ln

e2x +1

118.

y = lgcos tge

−x

4

120.

y =

1

arctge−2x

122.

y = arcsin x2

+ 1− x2

124.

y = sin 4 x + cos 4

x

126.

y = xarccos(ln x)

128.

y = cos x esin x

130.

y = x2

1+

x

132.

y = (2x + 3)4 arcsin

1

2x + 3

134.

y =

49x2 +1 arctg7x

136.

y = e2x

1+ e4x

138.

y =

1+ sin 2x

1− sin 2x

140.

y =

1− arctgx

1+ arctgx

142.

y =

sin2 x

1+ ctg x

144.

y =

1− tg2 x

1

+ tg2 x

− 3

146.

y =

1

x

+ xsin x2

+ 3

1

x

148.

y =

ln x −

1− cos x

x

1+ cos x

150.

y = sin2

x sin x2

+

1+ e2x

1

− e2x

93

151.

y = 4x(arcsin x)2 +

tg2x

152.

y = 3x3 arcsin x +

1−

x

1+ cos2x

1+

x

sin x

153.

y = (1+ x2 )arctgx +

154.

y = x2 ln x2 −

x

+ cos x

1

x −1

155.

y = sin x cos2x −

ex

− e−x

156.

y =

1

arctg

2x

−

1

+

1

ln

x +1

x2 − x +1

1+ ex

2 3

3

6

157. y = ln

1+ x −

1− x

+ 2arctg

1− x

1+ x

1+ x +

1+ x

158. y = ln

4

x2 + x +1

+

1

(arctg

2x +1

+ arctg

2x −1

)

x2 − x +

1 2

3

3

3

159.

y =

1+

xarctg

x

+ e−4x2

ln(x2

+1) ;

160. y =

sin x

+

3sin x

+

3

4cos4

8cos2 x

1+ x2

x

8

3. Найти производные у′ данных функций, используя правило

логарифмического дифференцирования.

161.

y = (ln x)sin x

163.

y = (1+ x)tgx

165.

y = (x2 − x)(x+1)

1

x2

167.

y =

x

169.

y = (x + x2 )sin2 x

171.

y =

(x

+1)2 3 x2 −1

(x − 3)3

173.

y = 3

x2 (x −1)

(x2 + 4)(x − 5)3

175.

y =

(1− arctgx) (x −1)3

(1+ arctgx)(x + 2)5

y =

x −1

3

x

177.

x + 2

x2

+ 4

179.

y =

tg4 x

cos5 x (7x +1)3

3

ex (x2 −1)2

162.	y = (x) x
164.	y = (sin x)cos x
166.	y = (ctgx)x

=x

168.y

1+ x

170.y = (tg2x)ctgxx

172. y =

2 x −1 3 x + 2

(x + 3)2 (x + 4)3

7x2 + 2 (x − 3)10

174.y =

3x3 +1 (x2 + 5x +1)

176.y = sin3 x 3ln x cos2 x x2 (x −1)3 (x + 5)7

178.

y =

3

x + 7 x2

x

x +1

x2 +1 (x −1)3

180.

y =

(x −1)(x + 3)3

5 x2 +1

94

181. y = (ctg3x)x − x ln x

182.

y = 3

x5 x7

x +1 +

1− x2 arcsin x

183. y =

x2 −1

− (ln x)x2

184.

y =

x 3

x2 −1 5

x

+ x7 sin x

x2 +1

(x −1)5 (x2 + 4)3

4. Найти производные у′х и х′у от функций заданных неявно.

185. х3 + у3 − 3у =1
							186.		у х2 − у2 х −				у = 0
									х4 + у4 + х2 у2			=1
187.		х + у − 4ху = 0					188.
189.	arcsin x − arcsin у = ху						190.		у еу − х2 = 0
191.	sin(ху) + tg (x − у) = 0						192.		у = sin5у + уcos x
193.	ex + eу = ех=у						194.	arctg (x + у) = у2
195. 1− уln у = х2							196.	ln(у2 + х2 ) − х у = 0
									(1+ у)2 (х +1)
												3 у
		1− у y					198.								= e	2
197.		1+ х e = e								ху(х2 + 4)5
199.	(x − у)3 (у − 2x)4 (у − 3х)5 = e						200.	(x + у)4 (x + 2у)6 (х + 3у) = e4

5. Найти производные от у по х от параметрически заданных функций.

x 201. у

x 204.

у

x 207.

у

x

210.

у

=1− t2 = t − t3

= acost

= вsint

= ln(1+ t2 )

= t − arctg t

= lnctgt

= 1 cos2 t

x = t2

x = tgt

202.

1

203.

у =

t3

− t

у = cos2 t

3

x = аcos3 t

x = 2(t − sint)

205.

206.

у = 2(1− cos t)

у = asin3 t

x =

x = еt cos t

2t − t2

209.

1

208.

у =

у = еt sint

3 (t −1)2

x = ln tgt

x = arctgt

1

211.

212.

1+ t

2

у =

у = ln

2

sin

t

t +1

95

x =

1− t2

x = ln

1− t

1− t

2

)

x = arcsin(

1+ t

213.

214.

t

215.

у = (arccost)2

у =

1− t2

у = 1− t2

x = ctg(2et )

t

x = (1+ cos

2

t)

2

2

x = arctge

cost

216.

217.

218.

у = ln(tget

)

у =

t

2

e +1

sin

t

у =

x =

1

2

x = ln(t +

t

+1)

lnt

219.

220.

1+

− t2

у = t t2 +1

1

у = ln

t

6. Найти дифференциалы функций:

y = cos3 3x

221.

222.

y = ln(sin

x)

1

−

224.

y = 10− x2

223.

sin x

y = e

y = arccos

225.

x

226.

y = arctg x2 +1

y =

x +1

227.

y = x2 cos

x

228.

x +1

229.

y = xarctg x

230.

y =

sin x

− cos x

1

231.

y = 3

x + 2

232.

y = arctg

x2

−1

x − 2

x

233.

y = x − ln(sin x + 2cos x)

234.

y =

ctgx −

tg3 x

3

1

235.

y = cos3 3x

236.

y = arccos

1+

2x

x

1

2 x−1

237.

y = cos x ln(tgx) − ln(tg

)

238.

y =

x −1

−

e

2

2

239.

y = x x2 −1 + ln(x + x2 +1)

240.

y = xarctgx − ln

1+ x2

7. Найти производные второго порядка от функций:

241. y = arccos	x	242. y = ctgx	243. y = sin2	x
2			2

96

		y = arctg	1											y =	x −1
	244.						245.	y =	1		+ x2		246.
			x												x +1
														y =	ln x
	247.	y = ln(x + 1+ x2 )					248.	y =	1		− x2	arcsin x	249.
															3
															x
	250.	y = xx

8. Найти производные третьего порядка от функций:

	251.	y = cos2 x	252.	y = (x + 2)6	253.	y = arctg		x
						2
	254.	y = x2 sin x	255.	y = x3ex	256.	y = ex cos x
	257.			y = x3 ln x		y =	sin 2x
			258.		259.
	y = e−x (sin 2x − 3cos2x)						x

260.y = (1+ x2 )arctgx

9.Найти общие выражения для производных порядка n от функций:

	261.	y = 23x				x			263.	y = sin2 x
			262.	y = e		2
	264.	y = (2x +1)n	265.	y =	4				266.	y =	x
					x						x −1
	267.	y = xex	268.	y = lg(2x + 7)					269.	y = xcos x
	270.	y = x2 ln x

10. Найти вторые производные у″хх от функций, заданных неявно:

271.	х + у + 3 = 0	272.	х	=1	273.	x2 + y2 = a2
			y
274.	x3 + y3 = a2	275.	xey +1= у		276.	y = sin(x + y)
277.	x3 + y3 + 3axy = 0	278.	xy = ex+ y		279.	arctgy = x + y
280.	у = ctg(x − y)

97

11. Найти вторые производные у″хх от функций, заданных

параметрически:

			1				2
x =					t				x = 5sint		x = acost
			2
281.			1					282.		у = 5cost	283.	у = bsint
							3
у =					t
			3
x = t2										x = а(t − sint)	x = cos3 t
								285.
284.			t	3						y = a(1− cost)	286.
у =							− t
											у = asin3 t
			3
x = t2									x = еt cos t		x = cos2 t
287.						+ t		288.			289.
у = t3									у = еt sint		у = tg2t

290.x = t − 3у = ln(t − 2)

12. Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

291.	y = 3x4		− 5x2 + 3; найти d 2 y			292.	y = 5− x2		; найти d 2 y
	y = 5− x2
293.			; найти d 2 y			294.	y =	ln2 x − 9; найти d 2 y
295.	y = cos2 x; найти d 3 y					296.	y = e3x ; найти d 4 y
							y = xln x; найти d 5 y
297.	y =	x −1; найти d 4 y				298.
299.	y = xsin x; найти d 5 y					300.	y = lg(x +1); найти d10 y
				4.3. Приложения производной.
	Возрастание и убывание функции.
	Функция y = f (x)				называется возрастающей (убывающей) на отрезке
[a,b], если		f (x2 ) > f (x1)			при a ≤ x1 < x2 ≤ b	(или соответственно f (x2 ) < f (x1)
при a ≤ x1 < x2 ≤ b ).
	Необходимый признак возрастания (убывания) функции на отрезке
[a,b].
	Если дифференцируемая функция					y = f (x)		возрастает (убывает) на
				′		′		при a ≤ x ≤ b ).
отрезке [a,b], то f (x) ≥ 0 при a ≤ x ≤ b (или						f (x) ≤ 0
	Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
	Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и внутри него
имеет положительную (отрицательную) производную											′
										f (x), то функция

y = f (x) возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

98

Направление вогнутости, выпуклости графика функции. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым (вогнутым) на отрезке [a,b], если отрезок кривой y = f (x) (a ≤ x ≤ b ) расположен ниже (соответственно выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого отрезка. Достаточным условием вогнутости

(выпуклости)

графика функции,

в

предложении существования

второй

производной

′′

′′

( f

′′

f (x) , является выполнение неравенства

f (x) > 0

(x) < 0)

при a < x < b .

Точка, в которой меняется направление вогнутости графика

функции, называется точкой перегиба. Точка

x0 , для которой f ′′(x0 ) = 0 ,

либо

f ′′(x0 )

не существует, есть точка перегиба, если

f ′′(x) меняет свой

знак при переходе через значение x0 .

Экстремум функции.

Точка

x0

называется точкой экстремума (максимум или минимум),

если функция y = f (x)

определена в двухсторонней окрестности точки x0 и

для

всех

точек

x

некоторой

области:

0 <

x − x0

< δ ,

выполнено

соответственно неравенство f (x) < f (x0 )

или

f (x) > f (x0 ) соответственно.

Необходимые условия экстремума.

В точке экстремума x0 производная функции f ′(x0 )

либо равна нулю,

либо не существует.

Достаточное условие экстремума.

Пусть

функция

y = f (x)

определена и

непрерывна в

некоторой

окрестности

x − x0

< δ

точки

x0

такой, что

f ′(x0 ) = 0 или не существует

(критическая

точка);

имеет

конечную производную

′

в области

f (x)

0 <

x − x0

′

< δ . Тогда, если при переходе через точку x0 производная f (x)

меняет знак с «+»

на «-», то точка

x0

будет точкой максимума. Если при

переходе через точку

x0 производная

′

меняет знак с «-»

на «+», то

f (x)

точка

x0 будет точкой минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Теорема. Наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции y = f (x) на данном замкнутом отрезке [a,b] достигается или в критических точках, лежащих внутри отрезка [a,b] (т.е. в точках, где производная функции f ′(x) либо равна нулю, либо не существует), или на концах отрезка [a,b].

Исследование и построение графика функции.

Построение графика функции y = f (x)может быть осуществлено после исследования, которое проводится по следующему плану:

1. Область определения функции.

99

2.Область непрерывности функции. Точки разрыва (если они имеются). Исследование поведения функции в окрестности точек разрыва 2-ого рода (вертикальные асимптоты).

3.Четность, нечетность, периодичность, непериодичность функции.

4.Монотонность функции (нахождение участков возрастания, убывания).

5.Точки экстремума.

6.Выпуклость, вогнутость.

7.Точки перегиба.

8.Наклонные асимптоты.

9.Точки пересечения с осями координат.

10.Нахождение значений функций в некоторых характерных точках.

11.Построение графика функции.

Пример 1. Найти наибольшее				и наименьшее значение функции
y =		x3	+ x2 − 3x на отрезке [-4;2].
	3
		Находим критические точки функции из уравнения y′ = 0 . Имеем
x	2 + 2x − 3 = 0. Отсюда находим x			= 1, x	2	= −3. Обе точки принадлежат
			1

отрезку [-4;2].

Далее y(1) = 13 +12 − 3 = − 5 ;

33

(−3)3

y(−3) =

+ (−3)2 − 3(−3) = −9 + 9 + 9 = 9;

3

y(−4) =

(−4)3

+ (−4)2 − 3(−4) = −

64

2

+16

+12

= 6

;

3

3

3

y(2) =

23

+ 22 − 3 2 =

8

+ 4 − 6 =

2

.

3

3

3

Сравнив эти значения, заключаем, что

ymax = 9 и достигается оно в

точке x = −3; ymin

= −

5

и достигается оно в точке x =1.

3

Пример 2. Исследовать и построить график функции y =

4x

2 +1

.

x

− 3

1.

Областью

определения

функции

является

множество

x (−∞,3) U (3,+∞) .

2. Функция непрерывна в области определения.

x = 3 - точка разрыва функции. Прямая x = 3 - вертикальная асимптота.

100