МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

Вычисление объёмов тел вращения.

1. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оx, криволинейной трапеции { 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b } определяется формулой

b

V = π ∫ f 2 (x)dx.

a

2. Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оy, криволинейной трапеции { 0 ≤ x ≤ g(y) , c ≤ y ≤ d } определяется формулой

b

V = π ∫ g2(y)dy . c

Пример 8. Найти объём тела, образованного вращения плоской фигуры, ограниченной линиями ó = 4 − õ2 , x = 0, y = 0, x ≥ 0

а) вокруг оси Ox, б) вокруг оси Oy.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox.

	2			2	2	4
	2									64		32		256
	V = π ∫(4 − õ)			dx = π ∫(16 − 8 õ +		õ )dx == π 32 −					+		=		π .
										3		5		15
	0			0
	б) Найдем объём тела вращения вокруг оси Oy.
				у = 4 − х2 находим					0 ≤ y ≤ 4 . Используя
	Из уравнения					x = ±	4 − y ,
	формулу для нахождения объема тела вращения, получаем
	4			4
	V = π ∫(±		)2 dy = π ∫(4 − y)dy = (16 − 8)π = 8π.
		4 − y
	0			0

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций

1.	y = 4x − x2 , y = 0.		6.	x = (y − 2)3 , x = 4y − 8.
2.	y = x	2 + 1, y = 2.	7.	y = arccos x, y = 0, x = 0.
3.	y = 2x2 + 1, y = 0, x = −1, x = 1.		8.	y = −x + 2, y =	x	, y = 0.
4.	y = x	2 , y = x + 2.	9.	y = sin2x, y = 1, x = 0.
5.	y = ex , y = 0, x = 2, x = 0.		10.	x = 4 − y2 , x = y2 − 2y.

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

x = 2cost,	x = cos3	t,
11.	13.
y = 3sint.	y = sin3 t.

x = t − sint,	(астроида)
12.	x = 3cost,
y = 1− cost,
y = 0,0 ≤ t ≤ 2π .	14.
	y = 8sint,

y= 4(y ≥ 4) .

x = 2cost − cos2t,

y = 2sint − sin2t.

(кардиоида)

131

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

16.	r = cos2ϕ.	19.	r = sin6ϕ.
17.	r = sinϕ.	20.	r = 2cosϕ , r = 3cosϕ .
18.	r = sinϕ ,	r = 2sinϕ .

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

		x2		ln x								ex + e		− x
21.	y =		−					,	1 ≤ x ≤ 2 .	24.	y =				+ 3, 0 ≤ x ≤ 2 .
		4		2								2
									π	25.	y = ln(x2		− 1) , 2 ≤ x ≤ 3.
22.	y = − lncosx ,								0 ≤ x ≤ 6 .
				3
23.	y = (x − 1)				2		,	1 ≤ x ≤ 2 .

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими линиями.

x = t − sint,				x = 2(cost − t sint),
26.			28.
y = 1− cost,				y	= 2(sint − t cost),
0 ≤ t ≤ 2π .			0 ≤ t ≤		π
x = 10cos3 t,					2 .
27.		3			x = t	2		,
y = 10sin		t,
							t3
	π		29.		= t −
				y
0 ≤ t ≤ .								,
								3
	2

0 ≤ t ≤ 3 .

x = et (cost + sint),

30.y = et (cost − sint),

0 ≤ t ≤ π .

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

31.	r = 1− sinϕ , − π				≤ ϕ ≤ −	π .	34.	r = 2(1− cosϕ) ,	− π ≤ ϕ ≤ −	π .
				2		6				2
		3ϕ		π2 ≤ ϕ ≤ π2 .				r = 6(1+ sinϕ) ,	− π2 ≤ ϕ ≤ 0.
32.	r = 3e	4	, −				35.
33.	r = 2sinϕ ,			0 ≤ ϕ ≤ π .
					6

Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг указанной оси.

36.	y2 = x , x = 1, Ох.	39.	y = e1−x , y = 0 , x = 0 , x = 1,Ох.
37.	y = 3sin x , y = sin x , 0 ≤ x ≤ π ,Ох.	40.	y2 = x − 2 , y = 0 , y = x3 , y = 1,Оу

38.y = x3 , y = x2 , Оу.

4.7Несобственные интегралы.

1.Интегралы с бесконечными пределами.

Если функция y = f (x) непрерывна при a ≤ x < +∞,		то по определению
+∞	b
∫ f (x)dx = blim→+∞ ∫ f (x)dx		(1)
a	a

132

Если существует конечный предел в правой части формулы (1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует или равен ∞ , то – расходящимся.

b

Аналогично определяется интеграл ∫ f (x)dx и интеграл

			−∞
	+∞	b	c
	∫ f (x)dx = blim→+∞ ∫ f (x)dx + alim→−∞∫ f (x)dx				(2)
	−∞	c	a
Имеют место следующие свойства.
1) Если	F(x)- первообразная для f (x)			и существует	конечный предел
lim F(x) = F(+∞) , то интеграл (1) сходится и равен
x→+∞
			+∞
			∫ f (x)dx = F(+∞) − F(a)
			a
Если же	lim F(x) не существует или равен ∞ , то интеграл (1) расходится.
	x→+∞
2) Если при a ≤ x < +∞ ,			f (x) > 0, g(x) > 0	и существует предел lim		f (x)	≠ 0 ,
					x→+∞ g(x)
	+∞	+∞

то интегралы ∫ f (x)dx и ∫g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

a

a

+∞

3) ∫

dx

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 (здесь a > α ).

(x −α)p

a

+∞

Пример 1. Вычислить ∫xe− x2 dx.

0

+∞

2

b

2

1

2

b

1

lim (e−b

2

−1)=

1

Имеем

∫

xe− x dx =

lim

xe− x

dx = lim

−

e− x

= −

.

b→+∞ ∫

b→+∞

2

2

b→+∞

2

0

0

0

+∞

2x +1

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл ∫

dx .

x2

+ 4x + 6

1

2x +1

1

2x2

+ x

+∞dx

Имеем

lim

:

=

lim

= 2. Но так как

∫

расходится

+ 4x + 6

x→+∞ x2

x

x→+∞ x2 + 4x + 6

x

1

+∞

2x +1

( p = 1), то интеграл

∫

dx расходится.

x2 + 4x + 6

1

2. Интегралы от неограниченных функций.

Если функция

y = f (x)

непрерывна

при

a ≤ x < b

и f (b) = ∞ , то по

определению

b

b−ε

∫ f (x)dx = limε →0 ∫ f (x)dx

(3)

a

a

Если существует конечный предел в правой части формулы (3), то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

В случае, когда c (a,b) и f (c) = ∞ :

133

b

c−ε

b

∫ f (x)dx = lim+

∫ f (x)dx + lim+

∫ f (x)dx

(4)

a

ε →0

a

δ →0

c+δ

b

dx

Эталоном для сравнения служит интеграл ∫

, который сходится при

(b − x)q

a

0 < q < 1 и расходится при q ≥ 1.

1

sin x

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл ∫

dx .

x2

0

sin x

1

1

dx

При x → 0

sin x ~ x. Поэтому

~

.

Но

∫

расходится. Отсюда

x2

x

x

0

1

sin x

заключаем, что интеграл ∫

dx расходится.

x2

0

1

arcsin xdx

Пример 2. ∫

.

1− x

2

0

1

arcsin x

1−ε

arcsin x

1−ε

arcsin

2

x

1−ε

∫

dx = lim

∫

dx = lim

∫ arcsin xd(arcsin x) = lim

=

0 1− x2

ε →0

0

1− x2

ε →0

0

ε →0

2

0

0

arcsin2 (1− ε )

arcsin2

arcsin2

1

π 2

= lim

−

=

− 0 =

2

2

2

8

ε →0

Задачи для самостоятельного решения.

Установить сходимость или расходимость несобственных интегралов и в случае сходимости вычислить их.

+∞ dx

1. ∫1 x4 .

+∞ dx

2. ∫1 x .

+∞ dx

3. ∫0 x2 + 9 .

+∞ xdx

4. ∫0 2x2 + 9 .

+∞

5. ∫ xe−xdx .

0

+∞ dx

6. ∫2 xln2 x .

	+∞								2
7.	∫				arctg						x	dx .
										2
	1					1+ x
	+∞
8.	∫ xe−x2 dx .
	0
						1				)dx
	+∞cos(
							x
9.	∫												.
						x		2
	2
		π
		+∞				dx
10.		∫									.
	2					xln x

2dx

11.∫1 x − 1 .

	1	dx									3					dx
12.	∫					.					18. ∫									.
													8 − x					3
	0		x								2
	4	ex dx									2				x3dx
13.	∫							.			19. ∫								.
		e	x	− 1										x		4	−
	0										1							1
	2					dx						π
14.	∫									.	3						dx
			2
		x		+			2x − 3				20. ∫										.
	1														tgx −
	2	x2dx										π							1
											4
15.	∫							.
		x	3	−			1
	1

4dx

16.∫1 x − 1.

edx

17.∫1 x ln2 x .

134

5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть имеются n переменных величин и каждому набору их значений

(х1 ,х2,… ,хn) из некоторого множества X соответствует вполне определенное значение переменной z , тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f(х1 ,х2, х3… хn), где х1 ,х2,…, хn – независимые переменные, Х – область определения функции, – множество значений функции, z – зависимая переменная, f – закон, соответствие.

Рассмотрим множество G, состоящее из пар вида (x;y), где х , y , с геометрической точки зрения множество G, это подмножество точек координатной плоскости оху

Функцией двух переменных на множестве G называется закон, по которому любому элементу (x;y) G соответствует единственный элемент z : z = f(x;y), где G – область определения функции, – множество значений функции, х, у –

независимые переменные (или аргументы), z – зависимая переменная.

Частной производной от функции двух переменных z = f(x;y)по независимой переменной х называется конечный предел, вычисленный при постоянном значении у:

∂z = z'	x = lim	x z	= lim	f (x +	x)− f (x; y)	.
∂x	x→0	x	x→0		x

Частной производной от функции двух переменных z = f(x;y)по независимой переменной у называется конечный предел, вычисленный при постоянном значении х:

∂z	= z′	= lim	y z	= lim	f (x; y + y)− f (x; y)
						.
∂y	y	y→0	y	y→0	y

Для вычисления частных производных можно применить обычные правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

135

Пример 1. Найти частные производные функций:

1. z = x . Используя правило дифференцирования: постоянный множитель

y

можно выносить за знак производной, получим

∂z		x	′		1		1
	={y = const}=			х =		x′x =		,
∂x		y			y		y

∂z

x ′

1

′

= {x = const}=

y= x

y = -

∂y

y

y

2.

.

x . y2

Применяя формулу производной сложной функции , полу-

чим:

=

,

=

.

Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(x;y), если ее

полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

z = z′x x + z′y y + α( x; y) x + β (			x; y)	y ,	(*)
где α и β бесконечно малые функции при			и		.
Полным дифференциалом dz дифференцируемой в т. М(х;y) функции
z = f(x;y)называется линейная относительно			x и y	часть полного приращения
этой функции, т. е.

dz = z′x x + z′y y.

Как и для функции одной переменной можно доказать, что приращение аргументов равно их дифференциалам ( x = dx; y = dy), тогда:

dz = z′x dx + z′y dy.

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из формулы (*) видно, что z ≈ dz , т. е.

ƒ(x + x; y + y)−ƒ(x; y)≈ z′x dx + z′y dy,

136

или

ƒ(x +

x; y + y)≈ ƒ(x; y)+ z′x x + z′y y.

(**)

Пример 2. Вычислить

3,022

+ 3,962 .

Рассмотрим функцию z =

x2 + y2

,

фиксируем

x=3;

y = 4; примем x = 0,02;

y = −0,04.

Найдем значение функции в точке (3;4):

z (3;4) = ƒ(3;4)= 32

+ 42 = 5 .

Вычислим частные производные функции и их значения в точке (3;4).

z′x =

1

2x =

x

,

z′y =

1

2y =

y

.

x2 + y2

2 x2 + y2

2 x2 + y2

x2 + y2

z′x

(3;4) =

3

,

z′y (3;4) =

4

.

5

5

Подставляя полученные значения в формулу (**), получим

3,022 + 3,962 ≈ 5 + 3 (0,02)+ 4 (0,04)≈ 4,98 .

55

Дифференцирование сложной и неявной функций. Пусть z = f(x; y)

функция двух переменных x и y, каждая из которых в свою очередь является функцией независимой переменной t, т.е. x = ϕ(t), y=ψ(t), тогда функция z=ƒ(ϕ(t); ψ(t)) является сложной функцией независимой переменной t.

Производная функции вычисляется по следующей формуле:

dz = ∂z dx + ∂z dy dt ∂x dt ∂y dt

Пусть x и y - аргументы функции двух переменных, т.е. z = f(x; y), а

x = ϕ(u;v), y = ψ(u; v), тогда сложная функция z = ƒ(ϕ(u; v);ψ(u; v)) также имеет частные производные:

∂z = ∂z ∂ϕ + ∂z ∂ψ , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u

∂z = ∂z ∂u + ∂z ∂ψ . ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

137

Пример 3. Найти производную dz функции если

dt

Согласно формулам находим:

,											.

Ответ запишем в виде:

Переменные x и y можно как сохранить в ответе, так и выразить их через t, в зависимости от того, что проще.

Пример 4. Определить

и

, если

,

Находим частные производные

,

,

,

,

,

.

Составляем суммы соответствующих произведений:

,

.

Функция y=y(x) называется неявной функцией, если определяется уравнением F(x,y)=0, неразрешимым относительно у.

Если уравнение F(x,y)=0 задает некоторую функцию y(x) в неявном виде и , то

.

Если F(x,y,z)=0 задает функцию двух переменных z(x,y) в неявном виде и , то справедливы формулы

138

.

Пример 5. Найти производную функции у, заданной неявно уравнением

.

, находим

и

:

1 способ. В данном случае F(x,y)=

,

.

находим

.

2 способ. Дифференцируем обе части уравнения

,

считая у функцией от х:

,

отсюда получим

.

Производная по направлению. Градиент. Если функция z = f(x; y)

имеет в точке М(x; y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки М; обозначается эта производная символом , где – вектор, задающий направле-

ние, и вычисляется по формуле:

,

и

направляющие косинусы единичного вектора .

Градиентом функции z = f(x; y) в точке М(x; y) называется вектор, коорди-

наты которого

равны соответствующим частным производным

,

вычисленным в точке М(x; y).

139

Градиент обозначается grad z(M)= .

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u = f(x; y;z) в точке М(x; y;z):

;

grad u(M)= .

Пример 6. Вычислить производную функции z = в точке М(1; -1) по направлению к точке N(2;1).

Находим частные производные функции:								,			.

Вычисляем значение этих производных в точке М(1; -1):

,

.

Имеем

;

,

.

,

Откуда следует, что

,

.

Таким образом,

Пример 7. Найти grad z(M), если z , М(3;2).

Находим частные производные

и их значения в точке М(3;2):

,

;

,

.

grad z(3;2)= .

Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть дана функция

140