МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

Аналогично выглядит алгорит получения нулей в строке.

Пример 11.

Вычислим определитель некоторой матрицы получением

нулей в первом столбце и разложением по элементам этого столбца:

3

4

(−5/2)(3/2)

2

3

4

2

5

6

7

←

=

0

− 3/2

− 3

=

− 3

2

− 5

←

0

13/2

1

= 2 A +

0 A + 0 A

= 2 (−1)1+1 M

11

=

11

21

31

= 2

− 3/2

− 3

=

− 3

− 3

= −3+ 39 = 36 .

13/2

1

13

1

Пример 12. Теперь вычислим определитель этой же матрицы получением

нулей во второй строке и разложением по элементам этой строки:

3

4

2

3+ 2 (−6/5)

4 + 2 (−7/5)

2

3/5

6/5

2

5

6

7

=

5 6 + 5 (−6/5)

7 + 5 (−7/5)

=

5

0

0

=

− 3

2

− 5

− 3 2 − 3 (−6/5)

− 5− 3 (−7/5)

− 3

28/5

− 4/5

(−6/5)

↑

(−7/5)

↑

= 5 A

+

0 A

+ 0 A

= 5 (−1)2+1

6/5

= −5(−12/25 −168/25) = 36.

3/5

21

22

23

28/5

− 4/5

Эти примеры показывают, что при использовании вышеописанного

алгоритма получения нулей в строке или столбце (даже если все элементы

исходной матрицы были целыми числами) будет получена матрица, некоторые

элементы которой будут дробными числами. В случае когда элементы

исходной матрицы целые числа можно изменить алгоритм получения нулей так

чтобы иметь дело только с целыми числами. Пусть требуется получить нули в

каком-либо ряде. Тогда сначала надо в этом ряде получить 1 или -1, а затем

применить описанный выше алгоритм.

Пример 13.

Вычислим определитель предыдущей матрицы получением

нулей в первом столбце и разложением по элементам этого столбца, при этом

все преобразования будем проводить так, чтобы иметь дело только с целыми

числами. Для этого сначала получим, например, -1 в этом столбце:

3

4

(−3)

2

3

4

2

5 6

7

← =

−1 − 3 − 5

.

− 3

2

− 5

− 3

2

− 5

Теперь получаем нули в первом столбце и применяем формулу

вычисления определителя разложением по элементам этого столбца:

3

4

←

0

− 3

− 6

2

−1

− 3

− 5

(2)(−3) =

−1

− 3

− 5

= 0 A

−1 A

+ 0 A = −1 (−1)2+1 M

21

=

11

21

31

− 3

2

− 5

←

0

11

10

11

=− 3 − 6 = −30 + 66 = 36. 11 10

Обратная матрица. Справедливы следующие утверждения.

Теорема. Пусть A квадратная матрица порядка n . Для того, чтобы существовала обратная матрица A−1 необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0. Теорема. Пусть A квадратная матрица порядка n и det A ≠ 0 . Тогда

							A		A	L A
								11	21	n1
			A	−1		1 A12			A22 L An2
					=		. .		. . . . . . . . .		.
						det A
									A2n
							A1n			L Ann
Т.е. столбцами матрицы det A A−1									являются алгебраические дополнения к
элементам соответствующей строки матрицы A .
Покажем как находится обратная матрица на следующем примере. Пусть
− 2		1	− 2
		−1						det A = (−6 − 4 −18) − (−4 − 9 −12) = −3 ≠ 0,
A =	3		2 .		Тогда
	− 2	3
			− 3

следовательно A−1 существует. Находим алгебраические дополнения:

A = (−1)1+1 M		11				=			−1						2					= −3, A = (−1)1+2 M																	12					= −						3			2								= 5,
11									3						− 3														12																			− 2			− 3
A	= (−1)1+3 M		13			=								3 −1								= 7, A								= (−1)2+1 M					21					= −				1 − 2									= −3,
13										− 2					3														21															3 − 3
A	= (−1)2+2 M				22		=							− 2 − 2											= 2, A						= (−1)2+3 M								23			= −								− 2 1					= 4 ,
22														− 2	− 3														23																					− 2	3
A = (−1)3+1 M				31			=							1 − 2								= 0, A = (−1)3+2 M														32					= −					− 2 − 2												= −2,
31											−1				2														32																	3					2
A	= (−1)3+3 M			33			=					− 2			1							= −1.
33												3			−1
Следовательно,
																													− 3		− 3			0
															A−1 = −												1					2 −
																														5				2 .
																										3
																														7		4
																																	−1
																										−			3 − 3				0		− 2								1								− 2
Действительно, A−1 A = −																								1																							−1
																													5		2	−	2									3											2 =
																								3					7		4							− 2					3								− 3
																																−1

12

					− 3(−2) − 3 3+ 0(−2) − 3 1− 3(−1) + 0 3				− 3(−2) − 3 2 + 0(−3)
		1
	= −				5(−2) + 2 3− 2(−2)			5 1+ 2(−1) − 2 3	5(−2) + 2 2 − 2(−3) =
		3
					7(−2) + 4 3−1(−2)			7 1+ 4(−1) −1 3
									7(−2) + 4 2 −1(−3)
					− 3	0	0
		1			0 − 3
	= −						0 = I .
		3
					0	0
							− 3

Ранг матрицы. Пусть A = (aij ) - матрица размерности m × n . Выделим в

этой матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k , определитель которой будем называть минором k -ого порядка. Очевидно, что матрица A обладает минорами любого пордка от 1 до наименьшего из чисел m и n . Если матрица A не является нулевой, то среди всех отличных от нуля миноров этой матрицы найдется хотя бы один, порядок которого будет наибольшим.

Рангом ненулевой матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы. Ранг нулевой матрицы равен нулю по

определению.
Ранг матрицы A обозначается				через r(A). Очевидно, что выполнены
неравенства 0 ≤ r(A) ≤ min(m,n) .
Пример 14.		0	1	3		1		= −2	≠ 0, следовательно
					0
	Пусть	A =		, так как
			0		2	0
		2		1

r(A) = 2 .
Пример 15.	2		0	0	2
	Пусть B =					, так как все миноры второго порядка
		3	0	0	3

этой матрицы равны нулю, а, например, b11 = 2 ≠ 0, то есть имеется ненулевой минор первого порядка, следовательно r(B) =1.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Даны матрицы А, В, С и число q. Вычислить

(

1) B A ; 2) det(B A) ; 3) A B ; 4) A B + q C ; 5) det C ; 6) A ; 7) A−1 , если

1

а) q = −3, A = 27

−2

б) q = 2 , A = 14

−1

−3 , −2

−3 2 ,

−2

−2		2		−3		3	−2
	1
B =	−3		,	C =	−2 3		3			;
−4		−1			7	−7	4
−4		−6		8		3	5
	3
B =		,		C = −5 4			−5		;
−5	1	−3			8	−7	8

13

			−5		−3				−4		3			7		9		−7
в)	q = −2 ,			6	1			,		1					−5	−4			8				;
		A =							B =				, C =
				−2	4				3	−2 2					−2	−7 −4
		−3			4				7	1 −3			−3			2	7
г)			2		3							,		−6		5	2				;
	q = 3, A =					,		B =					C =
			1		−6				−4	3	2			3		−2	−4
			−4		−5				3		−1			4		5		3
д)	q = −1,			3	2			,		2			, C =		−4	−5		2			;
		A =							B =	−3
				2	−3				7		4				−3	−4		2
			3		−5				6	−2	1		−7			−5	6
е)	q = −4 ,			−1	6			,				,		9		2 6
		A =							B =	−4			C =					.
				1	−2				5		4			−7		−6	9

2. Вычислить определитель матрицы А двумя способами: 1) получением нулей в i-ой строке и разложением по элементам этой строки; 2) получением нулей в j-ом столбце и разложением по элементам этого столбца, если

−2 −4			−3 3							−3 −1				−1 4
	−4 −3		2 −2								−1	−2		−1	1
а) i = 2 , j = 3, A =							; б) i = 3,		j =1, A =								;
	2 1		2 −2								−4 −2			4 4
	−3 −1		4 −2								−2 1
														2 3
4		2	4	4					−1 3				3	−2
в) i = 4 , j = 2 , A =	3	4	1	1	; г) i = 2 ,			j = 3, A = −3 3 −2						−2		;
	3	−2	4	−2						4 −1 4				2
2		2	2	3					3			1	2	1
3 2			−1 −1						3			3 2		−3
	−2 2		−2	2						4		−1 1		1
д) i = 3, j =1, A =					; е) i = 1,			j = 4 , A =							.
	−4 3		−4 3							4 −2 4				−2
										−1		−4 2		−2
3 1			4	4

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений.

Система уравнений вида

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = d1

x1

+ a22 x2

+... + a2n xn = d2

a21

...

a

m1

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= d

m

1

называется системой m линейных алгебраических уравнений неизвестными.

Если m < n , то система называется недоопределенной. Если m > n , то система называется переопределенной.

(1)

сn

14

Если d1 = d2 = ... = dm = 0 , то система (1) называется однородной.

Числа aij (i =1;m, j =1;n) называются коэффициентами системы, а матрица A = (aij ) - m × n называется основной матрицей системы (1).

	a	a	L a	d
−	11	12	1n		1
	a21	a22	L a2n	d2
Матрицу A = L							будем называть расширенной
	am1	am2	L amn dm

матрицей системы (1).

Числа di , i =1;m называются свободными членами системы, а матрица

d1

D = ... − m 1 - матрицей свободных членов системы. x1,..., xn - неизвестные.

dm

Решить систему это значит найти все такие наборы чисел z1,..., zn , подстановка которых во все уравнения системы вместо соответствующих неизвестных x1,..., xn превращает эти уравнения в верные равенства.

Система (1) может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений и не иметь ни одного решения.

Однородная система уравнений всегда имеет хотя бы одно решение.

	x
		1
Если	x2			− n 1 ,	то систему уравнений	(1) можно	записать в
	X =	...
	xn
матричном виде следующим образом:
					A X = D.		(2)
Таким образом уравнение (2) представляет собой матричную запись
системы (1).
Теорема.			(Теорема		Кронекера-Капелли)	Система	линейных

алгебраических уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Матричный способ решения системы. Пусть m = n и A−1 существует,

тогда умножаем обе части равенства (2) слева на A−1:

A−1 A X = A−1 D I X = A−1 D X = A−1 D.

Полученная формула X = A−1 D позволяет найти решение системы. Пример 1. Решим следующую систему линейных алгебраических

уравнений матричным методом

15

2x1

+

6x2

−

5x3

=

− 20,

6x1

+

5x2

−

2x3

=

5,

(3)

− 4x

+

2x

2

+

3x

3

=

−16.

1

Систему (3) запишем в матричном виде:

A X = B,

(4)

где

2 6

− 5

x

− 20

1

A = 6 5

− 2 ; X = x2 ; B =

5 .

− 4 2

3

x3

−16

Вычислим определитель основной матрицы системы (3) методом

треугольников:

6

− 5

2

detA =

6

5

− 2

= (2 5 3+ 6 (−2) (−4) + (−5) 6 2) −

− 4

2

3

− (−5 5 (−4) + 6 6 3+ 2 (−2) 2) = (30 + 48 − 60) − (100 +108 − 8) = −182 . Так как detA = −182 ≠ 0, то существует матрица A−1, следовательно можно

применить матричный метод.
																									A						A		A
																		1									11				21			31
				X = A−1 B; A−1 =																						A A A ; A = (−1)i+ j M																						.
																																															ij
																	detA										12				22			32					ij
																										A13					A23
																																	A33
A	=				− 2			=19;			A			= −							6				− 2					= −10;			A	=					6		5			= 32;
			5
11			2		3						12									− 4							3						13					− 4 2
					− 5																		2					− 5													2			6
A	= −			6						= −28;				A			=														= −14;			A			= −									= −28;
21				2				3						22								− 4								3				23						− 4 2
A	=				− 5				=13;		A			= −						2				− 5				= −26;				A		=		2			6			= −26;
			6
31			5 − 2								32									6 − 2												33				6 5
																							19							− 28			13						− 20
																1
										X = −											−10									−14 −			26									5 =
														182									32							− 28		−
																																	26						−16
																				19 (−20) − 28 5													+13 (−16)
										= −			1
																	−10 (−20) −14 5																− 26 (−16) =
											182									32 (−20) − 28 5
																																	− 26 (−16)

16

det A

− 380 −140 − 208

− 728

4

1

1

= −

200 − 70

+ 416

= −

546

=

− 3 .

182

− 640 −140

+ 416

182

− 364

2

Ответ: x1 = 4;

x2 = −3; x3 = 2.

Метод Крамера. Рассмотрим систему уравнений (1), в которой количество уравнений равно количеству неизвестных, т.е. m = n , и пусть det A ≠ 0 .

Каждому неизвестному xi ставим в соответствие матрицу Axi , которая получается из матрицы A заменой i -ого столбца матрицы Aстолбцом свободных членов системы (1), т.е.

	a		...	a	d		a	...	a
		11		1(i−1)		1	1(i+1)		1n
Axi	def a21 ...			a2(i−1)	d2		a2(i+1)	...	a2n
	=	.. ...		...	...		...	... ...
	an1 ...			an(i−1)	dn		an(i+1)	...	ann

Тогда, используя свойства определителей, можно показать, что xi = det Axi , i =1;n.

Пример 2. Решим систему (4) методом Крамера. Так как detA = −182 ≠ 0, то для решения системы уравнений можно применить метод Крамера. Для этого вначале вычисляем три вспомогательных определителя:

		− 20		6	− 5
detA1 =			5	5	− 2	= (−300 +192 − 50) − (400 + 90 + 80) = −728 ;
		−16		2	3
				− 20		− 5
			2
detA2	=		6		5	− 2				= (30 −160 + 480) − (100 − 360 + 64) = 546 ;
			− 4	−16		3
				6	− 20
			2
detA3	=		6	5		5		= (−160 −120 − 240) − (400 − 576 + 20) = −364 .
			− 4	2	−16

Теперь вычисляем неизвестные:

x

=

detA1

= − 728 = 4;

x

=

detA2

=

546

= −3;

x

=

detA3

=

− 364 = 2.

1

detA

−182

2

detA

−182

3

detA

−182

Ответ:

x1 = 4; x2 = −3;

x3 = 2.

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и

17

состоит из двух частей. Первую часть будем назывть прямым ходом метода Гаусса. Здесь, с помощью алгебраических преобразований, получают систему, равносильную исходной, основная матрица которой является верхней треугольной матрицей. Вторую часть будем называть обратным ходом метода Гаусса. На этом этапе уже вычисляются значения неизвестных величин. Рассмотрим одну из модификаций метода Гаусса на примере решения следующей системы линейных уравнений:

Пример 3.

− 2x1		+	6x2		+	4x3		= − 24
	5x1	− 4x2			− 7x3
								=	35	(5)
	3x	+	8x	2	+	6x	3	=	−10
	1

Прямой ход метода Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы (5), т.е. матрицу, первый столбец которой образуют коэффициенты системы (5) при первом неизвестном (в рассматриваемом примере - коэффициенты при x1 ), второй столбец - это коэффициенты системы (5) при втором неизвестном (в рассматриваемом примере - коэффициенты при x2 ), и т.д. ... , последний столбец - это столбец свободных членов системы (5):

− 2		6	4	|	− 24
B = 5		− 4	− 7	|	35 .
	3	8	6	|	−10
Над строками расширенной матрицы можно производить только
следующие действия: разрешается			1) изменять порядок строк (это
соответствует изменению порядка уравнений),					2) умножать все элементы

строки на любое отличное от нуля число (это соответствует умножению уравнения на это число) и 3) прибавлять к элементам любой строки расширенной матрицы соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные на какое-нибудь число (это соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на это число). С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной. Над

столбцами расширенной матрицы выполнять какие-либо действия запрещено. Отметим, что имеет смысл все элементы строки расширенной матрицы делить на наибольший общий делитель (НОД) элементов этой строки.

Выделим каким-либо способом (подчеркнём или выделим полужирным шрифтом) какую-нибудь строку матрицы B = (bij ), в которой элемент bi1 ≠ 0,

(т.е. коэффициент при первом неизвестном (при x1 ) отличен от нуля). Заметим, что путем изменения порядка строк, если это необходимо, всегда можно добиться выполнения неравенства b11 ≠ 0. Т.к. в рассматриваемом случае b11 = −2 ≠ 0, то выделим полужирным шрифтом (или подчеркнём) первую строку:

18

− 2		6	4	|	− 24
		− 4	− 7
	5			|	35	(6)
	3	8	6	|
					−10
Теперь с помощью эквивалентных					преобразований	будем изменять

матрицу (6) таким образом, чтобы у новой матрицы выделенная строка осталась без изменения а в остальных строках в первом столбце новой матрицы были бы нули.

Чтобы получить нули надо проделать следующее:

1. Элементы выделенной строки матрицы (6) умножим на − b21 = −5 и прибавим к соответствующим элементам второй строки, предварительно умноженным на b11 = −2. Таким образом получим новую вторую строку.

2. Элементы выделенной строки матрицы (6) умножим на − b31 = −3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки, предварительно умноженным на b11 = −2. Таким образом получим новую третью строку.

Описанные выше действия коротко будем записывать так:

− 2

6

4

|

− 24 − 5

− 3

− 4

− 7

− 2

5

|

35

3

8

6

|

− 2

−10

Итак, новая матрица получается из (6) следующим образом:

−2

6

4

|

−24

(−2)+(−2) (5)

(−5)

(6)+(−2)

(−4)

(−5) (4)+(−2) (−7)

|

(−5) (−24)+

(−5)

(−2) (35)

(−3) (−2)+(−2) (3)

(−3) (6)+(−2) (8)

(−3) (4)+(−2) (6)

|

(−3) (−24)+(−2) (−10)

Таким образом, получили следующую матрицу:

− 2

6

4

|

− 24

− 22

− 6

0

|

50

0

− 34

− 24

|

92

Вторую и третью строки полученной матрицы поделим на 2:

− 2

6

4

| − 24

−11

− 3

C = (cij ) =

0

|

25

(7)

0

−17

−12

|

46

В матрице

C рассматриваем только не выделенные строки (т.е. 2 и 3

строки). Из оставшихся строк выбираем такую, в которой элемент ci2 ≠ 0. Так как c22 = −11≠ 0, то выделим вторую строку и преобразуем матрицу C таким образом, чтобы первые две строки остались без изменения, а в третьей строке первые два элемента новой матрицы стали бы равными нулю. Для этого все элементы второй строки умножим на − c32 =17 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки, предварительно умноженным на c22 = −11. Таким образом получим новую третью строку.

Описанные выше действия коротко запишем так:

19

− 2		6	4	|	− 24
	0 − 11		− 3 |			25	17
	0	−17	−12	|			−11
						46
Таким образом, получим следующую матрицу:
− 2		6	4	|	− 24
		−11	− 3
	0			|		25		(8)
	0	0	81	|
					− 81
Матрица (8) является расширенной матрицей следующей системы
уравнений:
− 2x1	+ 6x2		+ 4x3			= − 24
	−	11x2	−	3x3
						=	25	(9)
			+	81x3		=	− 81

Основная матрица системы (9) является верхней треугольной матрицей, поэтому цель первой части метода Гаусса достигнута, а следовательно, прямой ход метода Гаусса закончен.

Обратный ход метода Гаусса. Теперь решаем полученную систему (9) последовательно "снизу вверх", начиная с последнего уравнения системы:

81x3 = −81. Отсюда находим x3 = −1.

Подставляем полученное значение x3 в предыдущее уравнение системы

(9) и находим x2 : −11x2 − 3 (−1) = 25. x2 = −2.

Найденные значения x2 и x3 подставляем в первое уравнение системы (9)

и находим x1 : − 2x1 + 6 (−2) + 4 (−1) = −24. x1 = 4.

Все неизвестные найдены, тем самым обратный ход метода Гаусса закончен.

Замечание. Отметим следующее обстоятельство, присущее данной модификации метода Гаусса. После того как в первом столбце расширенной матрицы получены нули (т.е. все элементы этого столбца, кроме одного, равны нулю), первая строка матрицы потребуется только на втором этапе метода Гаусса, поэтому её можно далее опустить. После этого получится новая система уравнений, содержащяя на одно неизвестное и на одно уравнение меньше, чем первоначальная система (первый столбец расширенной матрицы этой системы состоит из нулей). Теперь аналогично предыдущему получаем нули во втором столбце новой матрицы. После того как во втором столбце расширенной матрицы получены нули (т.е. все элементы этого столбца, кроме одного, равны нулю), первая строка этой матрицы потребуется только на втором этапе метода Гаусса, поэтому её можно далее опустить. И т.д.

Покажем, как будет выглядеть решение системы (5) при применении системы записи, вытекающей из этого замечания.

Задача. Найти все решения следующей системы уравнений:

20