МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

длиной 2а и 2в. Величины а и в называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение с , где с - половина

а

расстояния между фокусами эллипса, а - большая полуось эллипса.

Эксцентриситет эллипса принимает значения от 0 до 1 и характеризует форму эллипса. Чем меньше эксцентриситет, тем больше эллипс похож на окружность, чем больше эсцентриситет, тем больше эллипс вытянут вдоль своей большей оси.

Если а = в , то каноническое уравнение эллипса примет вид x2 + y2 = a2 . Это уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат. Эксцентриситет окружности равен 0.

Оси симметрии гиперболы называют осями гиперболы. Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. Одна из осей гиперболы пересекает ее в двух точках, которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось гиперболы не имеет с ней общих точек и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2в, параллельными осям гиперболы и проходящими через ее вершины, называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. В системе координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, уравне-

ния асимптот имеют вид у = ± в х . Величины а и в называют, соответственно

а

действительными и мнимыми полуосями гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение с , где с - поло-

а

вина расстояния между фокусами гиперболы, а – действительная полуось гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы больше 1 и характеризует форму гиперболы. Чем эксцентриситет ближе к 1, тем более вытянута гипербола вдоль действительной оси.

	Кривая, определяющаяся уравнением	−	x2	+	y2	=1, также есть ги-
			a2		b2
	пербола, действительная ось которой 2b,	а мнимая 2a. Гиперболы

61

	−	x2	+	y2	= 1 и	x2	−	y2	=1 имеют общие асимптоты и называются сопряжен-
		a2		b2		a2		b2

ными.

Парабола симметрична относительно прямой, проходящей через фокус параболы, перпендикулярно ее директрисе. Эта прямая называется осью параболы. Вершина параболы лежит на оси параболы и делит расстояние р между фокусом и директрисой пополам. Число р, параметр параболы, влияет на форму параболы, парабола тем шире, чем больше р.

Уравнения y2 = −2px , х2 = 2pу , х2 = −2pу также определяют параболы. Они изображены на рисунке.

y2 = −2px х2 = 2pу х2 = −2pу

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости зада-

~~

ны две декартовы прямоугольные системы координат: Оxy («старая») и О1xy

(«новая»), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены.

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой параллельным переносом.

Пусть начало О1 «новой» системы координат имеет в «старой» системе координат координаты (х1; у1 ). Связь между «старыми» и «новыми» коорди-

натами точки при параллельном переносе		~	= x − x1 ;
		осей координат: x
~	= y − y1 .
y
	Пусть некоторая кривая задана уравнением	f (x − x1; y − y1 ) = 0. Тогда в

~~
системе координат Оxy , полученной параллельным переносом системы Оxy ,
с началом в точкеО1 (х1; у1 ), уравнение кривой будет иметь вид	~ ~
	f (x; y) = 0.

62

Уравнение второй степени вида ах2 + bу2 + сх + dy + f = 0 (не содержащее члена ху с произведением координат) приводится к каноническому виду методом выделения полных квадратов. Суть этого метода рассмотрим на примерах.

Примеры решения задач.

Пример1. Привести к каноническому виду кривую второго порядка x2 + 9y2 − 4x +18y + 4 = 0. Найти эксцентриситет, координаты фокусов, сделать чертеж.

Решение. Сгруппируем слагаемые с х и слагаемые с у. Коэффициенты перед x2 и y2 вынесем за скобку.

(x2 − 4x) + 9(y2 + 2y) + 4 = 0

Дополним выражения, стоящие в скобках до полного квадрата.

(x2 − 4x + 4) − 4 + 9(y2 + 2y +1) − 9 + 4 = 0

(x − )2 + 9(y +1)2 = 9

Разделим обе части уравнения на 9.

(x − )2 + (y +1)2 =1

91

Введем новую систему координат с центром О1 (2;-1), полученную из

~	= x − 2 ;	~	= y +1. В новой системе ко-
старой параллельным переносом x		y
		~2		~2
ординат уравнение примет канонический вид		x		+	y	=1. Это каноническое
		9		1

уравнение эллипса с полуосями a = 3, b =1.

c =

a2 − b2 =

9 −1

= 2

2

. Координаты фокусов в системе координат

~~

F2 (2

;0 ) и F1(−2 ;0) . Координаты фокусов в системе координат Оxy

O1xy

~

= x − 2 ;

~

находим

по

формулам

F1(−2 2 + ;−1) ,

x

y = y +1.

3

F (2

2 + ;−1) .Эксцентриситет ε =

. Чертеж представлен на рисунке.

2

2

2

63

Пример 2. Привести к каноническому виду кривую второго порядка x2 + 2y − 6x +13 = 0. Найти координаты фокуса, сделать чертеж.

Решение. x2 + 2y − 6x +13 = 0. Сгруппируем слагаемые, содержащие

переменную х и дополним выражение, стоящее в скобках, до полного квадрата. (x2 − 6x + 9) − 9 + 2y +13 = 0, (x − 3)2 + 2y + 4 = 0.

Запишем уравнение в виде (x − 3)2 = − (y + ) . Это уравнение парабо-

~2	~		~~
лы, имеющей вид x	= −2y	в системе координат О1 xy , полученной из Оху
	~	~	= y + 2. Эта парабола симметрична от-
параллельным переносом x		= x − 3, y

~

носительно оси Оy и ее ветви направлены вниз.

Фокус параболы в «новой» системе координат (-0,5;0). Уравнение ди-

~ =

ректрисы y 0,5. В «старой» системе координат фокус имеет координаты

~ = −

(3;-2,5), уравнение директрисы y 1,5.

64

Задачи для самостоятельного решения.

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии, найти эксцентриситет, координаты фокусов(а). Изобразить эту линию.

1.4x2 + 25y2 + 32x −150y +189 = 0.

2.4x2 +16y2 + 8x −160y + 340 = 0.

3.x2 − 2x + 6y + 7 = 0 .

4.x2 − 8x + 8y − 8 = 0.

5.36x2 + 9y2 + 288x +18y + 261= 0.

6.16x2 − 25y2 − 64x +100y − 436 = 0.

7.25x2 − 9y2 + 200x − 36y +139 = 0.

8.9x2 − 9y2 − 90x + 72y = 0.

9.9x2 + 36y2 −18x + 216y + 9 = 0.

10.4x2 − 36y2 − 24x − 288y − 684 = 0 .

11.y2 − 4y − 6x + 28 = 0.

12.y2 + 8y + 8x + 8 = 0.

3.4. Поверхности второго порядка.

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени.

Каноническое

Поверхность

уравнение

Чертеж

1.

эллипсоид

x

2

y

2

z

2

+

+

=1

a2

b2

c2

65

	2. Однополостный ги-	x	2		y	2		z	2
				+			−			=1
	перболоид	a	2		b	2		c2

3. Двуполостный гипер-	x2		y2		z2
болоид		+		−		= −1
	a2		b2		c2

	4. Эллиптический пара-	x	2		y	2
				+			= z
	болоид	a	2		b	2

	5. Гиперболический па-	x	2		y	2
				−			= z
	раболоид	a	2		b	2

66

6. Конус	x	2		y	2		z	2
			+			−			= 0
	a	2		b	2		c	2

7.

Цилиндры

Уравнение цилин-

дра, образующая

которого парал-

лельна оси Оz,

имеет вид

f (x; y) = 0.

а)

Эллиптический ци-

x2

y2

линдр.

+

=1

a2

b2

б) Гиперболический ци-	x2		y2
линдр		−		=1
	a2		b2

67

в)

Параболический ци-

y2 = 2px

линдр

Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Уравнение сферы с центром в точке О с координатами (a;b;c) радиуса r имеет вид (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 .

Если в каноническом уравнении эллипсоида считать, что a=b=c, то получим уравнение сферы с центром в начале координат радиуса а.

Примеры решения задач.

Пример 1. Составить уравнение сферы

а) с центром в точке (-3;2;-4) радиуса 4;

б) с центром в начале координат , касающейся плоскости 2x − 3y + 5z + 2 = 0 .

Решение.

а) Уравнение сферы (x + 3)2 + (y − )2 + (z + 4)2 =16.

68

Ax + By + Cz + D = 0

б) Найдем радиус кулярна радиусу сферы, ры равен расстоянию от ние от точки (x0 ; y0 ;z0 )

сферы. Касательная плоскость к сфере перпендипроведенному к точке касания. Тогда радиус сфецентра сферы до касательной плоскости. Расстоя-

до плоскости можно

найти

по

формуле

d =

Ax0

+ By0 + Cz0 + D

.

A2 + B2 + C2

r =

2

=

2

=

2

.

+ (−3)2 + 52

42

50

5

Уравнение сферы: x2 + y2+z2 =

2

.

25

Пример 2.

Определить координаты

центра

и

радиус сферы

x2 + y2 + z2 −12x + 5z − 3 = 0.

Решение.Преобразуем уравнение сферы следующим образом

(x2 −12x) + y2 + (z2 − 5z) − 3 = 0,

(x − 6)2

+ y2 + (z +

,5)2

− 36 − 6,25 − 3 = 0, (x − 6)2 + y2

+ (z + ,5)2 = 45,25.

Таким образом, координаты центра сферы (6;0;-2,5), r = 45,25 .

Задачи для самостоятельного решения.

1.определить координаты центра и найти радиус каждой из следующих сфер

а) x2 + y2 + z2 −12x + 4y − 6z = 0; б) x2 + y2 + z2 + 8x = 0;

в) x2 + y2 + z2 − 6z − 7 = 0;

г) x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 22 = 0.

2.Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев: а) сфера имеет центр O(−3;2;5) и радиус r = 5;

б) сфера имеет центр O(0;0;0) и радиус r = 2 ;

в) сфера проходит через точку A(−2;5;3) и имеет центр O(4;−2;3) ;

69

г) точки A(3;4;−6) и B(5;−6;4) являются концами одного из диаметров сферы;

д) центром сферы является начало координат и плоскость 16x −15y −12z + 75 = 0 является касательной к сфере;

е) сфера имеет радиус r = 3 и касается плоскости x + 2y + 2z + 3 = 0 в точке A(1;1;−3).

3.Установить как расположена точка A(2;−1;3) относительно каждой из

следующих сфер – внутри, вне или на поверхности: а) (x − 3)2 + (y +1)2 + (z −1)2 = 4;

б) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 2z − 3 = 0; в) (x − 6)2 + (y −1)2 + (z − 2)2 = 25.

4.Привести уравнение поверхности к каноническому виду, определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координат. Сделать чертеж.

а) x2 + 4y2 + 9z2 − 6x + 8y − 36z = 0 ; б) 4x2 − y2 − z2 + 32x −12z + 44 = 0;

в) 3x2 − y2 + 3z2 −18x +10y +12z +14 = 0; г) 6y2 + 6z2 + 5x + 6y + 30z −11 = 0 .

5.Найти точки пересечения поверхности и прямой:

а)

x2

+

y2

+

z2

=1 и

x − 3

=

y − 4

=

z + 2

;

− 6

81

36

9

3

4

б)		x2	+		y2
	16		9
в)		x2		+	y2
	5		3

г) x2 − y2

94

−	z2	=1 и	x	=	y	=	z + 2	;
4		4			− 3		4

= z и

x +1

=

y − 2

=

z + 3

;

2

−1

− 2

= z и

x

=

y − 2

=

z +1

.

3

− 2

2

6. Найти линии пересечения поверхностей второго порядка и координатных плоскостей. Определить вид линии и поверхности. Сделать чертеж.

70