МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

38.	∫			ex dx					;
				2ex	− 4
39.	∫	(5tgx − 3)						7 dx		;
				cos		2	x
40.	∫	ln xdx			;
				x

dx

41. ∫ x(2ln x − 5)3 ;

42. ∫sin x(4 − 5cosx)8 dx ;

43.

∫

x3

+ 4x5 ln(9x)dx

;

9x

6

+ 2x log

44.

∫

3

8x7

9

(6x)dx

;

3x

2

∫ x3

45.

x2 − 3dx ;

46.

∫

dx

;

x

x2

− 1

47.

∫

dx

;

x +

x3

48.

∫

dx

;

sin2x ln(3tgx)

49.

∫tgx ln(cosx) dx ;

50.

∫

dx

cosx(2sin x − 5cos x)

51.

∫

− 2x + 7

dx .

− x

2

+ 4x − 8

52.

∫

x − 5

dx .

2x

2

+ 12x + 10

53.

∫

− 6x − 4

dx .

− x

2

− 6x

54.

∫

7x + 5

dx .

x

2

+ 4x +

8

55.

∫

5x + 5

dx .

− 3x

2

+ 18x − 39

56.

∫

− 4x + 5

dx .

− 2x

2

− 4x +

16

57.

∫

− 2x + 2

dx .

x2

− 6x + 58

58.

∫

− 6x − 11

dx .

− x2

− 6x +

7

59.

∫

x − 4

dx .

x2

− 6x − 5

60.

∫

− 4x + 6

dx .

− x2 + 6x

61.

∫

−

7x + 14

dx .

x2 − 2x

62.∫

− 3x + 13

dx .

− x2 + 4x + 12

63.∫

2x − 20

dx ;

(2x + 4)(x − 4)

64.

∫

6x + 2

dx ;

(4x − 3)(2x +

5)

65.

∫

− 8x + 22

dx ;

(2x − 7)(2x −

4)

66.

∫

− 14x − 2

dx ;

(3x + 6)(4x − 5)

67.

∫

4x − 18

dx ;

(3x − 6)(4x −

3)

68.

∫

− 22x − 19

dx ;

(4x + 4)(2x +

1)

69.

∫

− 8x + 20

dx ;

(x − 1)(3x − 7)

70.

∫

− 27x2 − 63x + 18 dx ;

(3x − 2)(3x + 7)

71.

∫

6x3 + 31x2

− 68x − 5

dx ;

(x + 7)(2x − 3)

72.

∫

8x3 + 26x2

− 12

dx ;

(4x + 1)(2x + 4)

73.

∫

− 16x3 − 32x2 − 8x + 2 dx

;

(x + 2)(4x − 1)

74.

∫

− 16x3 − 16x2

+ 36x + 16 dx ;

(2x − 2)(4x + 6)

75.

∫

18x3 − 42x2 − 14x + 56

dx ;

(3x − 5)(2x − 4)

76.

∫

− 2x3 + 7x + 21dx ;

(2x − 6)(x + 1)

77.

∫

12x3 + 18x2 − 42x − 4

dx .

(4x − 6)(x + 2)

−7x2 − 3x − 5

78.∫ (x + 2)(x − 1)2 dx ;

79.∫	14x2	+ 52x + 46
				dx ;
	(x − 1)(x + 3)		2

121

−2x2 − 4x + 24

80.∫ (x − 4)(x − 2)2 dx ;

−x2 − 30x + 40

81.∫ (x + 2)(x − 2)2 dx ;

82.

∫

4x2

− 20x + 4

dx ;

2

(x + 1)(x − 1)

83.

∫

8x2

− 47x + 54

dx ;

2

(x + 2)(x − 4)

84.

∫

3x2

− 16x + 17

dx ;

2

(x − 2)(x − 1)

85.

∫

x2

+ 6x + 58

dx ;

2

(x − 4)(x + 3)

86.

∫

x2

− 16x + 21

dx ;

2

(x − 1)(x − 2)

87.

∫

3x2

− 27x − 90

dx ;

2

(x − 3)(x + 3)

88.

∫

12x2 − 16x −

3

dx ;

(x − 4)(x + 1)

2

89.

∫

10x2 − 69x + 74

dx

(x + 2)(x − 4)

2

90.

∫

5x + 53

dx ;

(3x

− 2)(x

2

+ 2x + 17)

91.

∫

6x2

+ 23x + 40

dx ;

(3x

− 2)(9x

2

+

18x +

13)

92.

∫

31x2

+ 64x + 105

dx ;

(x − 1)(16x

2

+ 32x +

52)

93.

∫

− 10x2

− 40x + 70

dx ;

(3x

+ 3)(x

2

−

8x + 41)

94.

∫

4x2 + 29x + 71

dx ;

(x + 3)(x

2

+ 8x + 25)

∫

− 35x2 − 50x − 18

95.

dx ;

(2x

− 3)(9x

2

+

18x +

10)

96.

∫

− 6x2

+ 12x − 26

dx ;

(2x

− 4)(x

2

− 8x + 25)

97.

∫

5x2 − 3x − 46

dx ;

(3x

+ 1)(x

2

+

6x + 13)

98.

∫

2x2

+ 14x − 45

dx ;

(3x

+ 2)(4x

2

−

16x +

41)

99.

∫

10x2

+ 2x + 53

dx ;

(2x

+ 1)(x

2

−

2x + 26)

∫

− 62x2

+ 137x − 70

100.

dx .

(x + 2)(16x

2

− 32x

+

20)

101.

∫

63x3 + 198x2

+ 310x + 106

dx ;

(9x

2

+ 36x + 37)

2

102.

∫

− 12x3 + 8x2 − 31x + 26

;

(4x

2

− 8x + 5)

2

dx

103.

∫

− 2x3

+ 15x2

− 90x + 237

(x

2

− 6x + 25)

2

dx ;

104.

∫

27x3 − 105x2

+ 90

dx ;

(9x

2

− 18x +

13)

2

105.

∫

− 48x3 − 48x2 + 100x − 28

dx ;

(16x

2

− 32x + 20)

2

∫

4x3 + 20x2 + 24x + 24

106.

dx .

(4x

2

+ 8x + 8)

2

107.

∫

− 8x2

+ 28x −

2 dx ;

− 4x2

+ 16x

108.

∫

16x2

− 92x + 78

dx ;

− 4x2

+ 32x − 48

109.

∫

− 2x2

− 10x − 12 dx ;

x2

+ 6x + 10

110.

∫

54x2

− 135x + 37

dx ;

− 9x2

+ 36x − 32

111.

∫

− 16x2

+ 56x − 3

dx ;

− 4x2

+ 24x − 27

112.

∫

− 36x2

− 72x − 53dx ;

9x2

+ 18x + 18

113.

∫

18x2

− 18x − 31

dx ;

− 9x2

+ 36x − 35

114.

∫

− 36x2

− 90x − 34 dx ;

9x2

+ 36x + 37

115.

∫

− 54x2

− 180x − 97

dx ;

− 9x2

− 36x − 20

116.

∫

6x

2 + 24x + 17

dx ;

x2

+ 6x + 8

117.

∫

54x3 − 162x2

+ 35x

dx ;

− 9x2

+ 36x − 20

118.

∫

− 3x3

− x2 − 28x − 42 dx ;

x2

− 2x + 17

119.

∫

− 54x3

+ 234x2 − 202x − 49 dx ;

9x2

− 54x + 82

122

120.	∫	− 6x3 + 14x2				+ 3x		+ 2 dx ;
			− x2 + 4x − 3
121.	∫	− 54x3			+ 306x2 − 468x				+ 191dx ;
					− 9x2	+ 54x − 72
122.	∫	− 9x3 + 47x2				− 86		x + 5 dx .
				x2 − 6x + 13

123.∫sin x cos4 xdx .

124.∫sin2 xdx .

125.∫tg3 xdx .

126.∫sin2 x cos3 xdx .

127.∫sin4 x cos2 xdx .

128.∫ctg4 xdx .

129.∫ sindx3 x .

130.∫ cosdx4 x .

cos3 x

131. ∫ sin4 x dx .

cos2 x

132. ∫ sin4 x dx .

cos2 x

133. ∫ sin3 x dx .

134. ∫1+dxctgx .

135.

∫

ctgx

dx .

1

+ tg

2

x

136.

∫

2ctgx + 1

dx .

(2sin x + cosx)

2

137.

∫

dx

(tgx + 1)sin2x

138.

∫

dx

.

x + 3 x2

3

139.

∫

x

dx .

3

x( x +

x)

dx .

140.

∫

x + 1

− 1

x + 1 + 1

141.

∫

(4

x

+ 1)dx

.

(

x + 4)4

x3

dx

142. ∫1+ 3x + 1 .

143.

∫

dx

.

x +

4

x +

1

144.

∫

dx

.

− 2

4

+ 2)

x( x

x

145.

∫

1− x

dx

.

1+ x

x

146.

∫

1+ x

dx

.

x

2

x

147.

∫

1+ x

dx

.

x

(x + 1)

2

148.

∫

3dx

;

− 6sin x − 8cosx +

10

149.

∫

dx

;

6sin x + 8cosx + 10

150.

∫

dx

;

12sin x

+ 51cosx +

53

151.

∫

dx

;

6sin x + 12cosx + 14

152.

∫

dx

;

16sin x

− 28cosx + 4

153.

∫

dx

;

10sin x

+ 15cos x +

17

154.

∫

dx

;

2sin x + 5cosx + 5

155.

∫

dx

;

sin x − 3cosx − 3

156.

∫

− 5sin x − 15cosxdx ;

3sin x + cosx + 1

157.

∫

− sin x − 8cosx − 3

sin x −

dx ;

2cosx − 2

158.

∫

− 18sin x + cosx − 14dx ;

3sin x + 2cosx + 2

159.

∫

− 90sin x − 32cosx + 86

(3sin x + 7cosx −

7)

2

dx ;

160.

∫

− 35sin x − 38cosx + 50

(sin x

+ 3cosx − 3)

2

dx ;

161.

∫

− 16sin x + 122cosx − 58

(4sin x − 6cosx + 6)

2

dx .

162.∫9 − x2 dx .

163.∫ x2 4 − x2 dx .

123

164.

∫

x2dx

.

16 − x2

165.

∫

x2 − 1

dx .

x

2

166.

∫

x2

− 16

dx .

x

4

167.

∫

dx

.

x2

x2

−

9

168.

∫

dx

.

3

(9 + x2 )

2

169.

∫

1+ x2

dx .

x

4

170.

∫

dx

.

x

2

x2

+ 4

171.∫ xcosxdx ;

172.∫ x2 sin xdx ;

173.∫(4x − 2)cos2xdx ;

174.∫(x + 1)2 sin3xdx ;

xdx

175. ∫ sin2 x ;

176. ∫(4 − 3x)e−2x dx ;

177.

∫ x2x dx ;

178.

∫(x2 + 2)e3x dx ;

179.

∫sin x ex dx ;

180.

∫arcsin xdx ;

181.

∫arctgdx ;

182.

∫ x2 ln xdx ;

183.

∫ xln(3x − 1)dx ;

184.

∫ xln2 xdx ;

185.

∫ xarccosxdx ;

186.

∫ x2arctgxdx ;

∫arctg

187.

2x − 1

dx ;

∫arctg

188.

x2 − 1dx ;

∫arcsin

x

189.

dx ;

x + 1

190.

∫

arccos

x

dx

x

4.5 Определенный интеграл

Пусть функция у = f (x) определена на отрезке[a,b], a < b. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков точками

a = x0 < x1 < x2 < .... < xn = b . В каждом из полученных частичных отрезков [xi−1 , xi ] выберем произвольную точку ξi (xi−1 ≤ ξi ≤ xi )

n	) xi - называется интегральной суммой для функции f (x)
Сумма S = ∑ f (ξi
i=1

на отрезке [a,b]. Предел интегральной суммы S при max xi → 0, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки,

ни от выбора точек в них, называется определенным интегралом

от функции f (x)	на отрезке [a,b] и обозначается
b	(x)dx = lim	n
∫ f		∑ f (ξi ) xi .
a	max xi →0	i=1

Свойства определённого интеграла.

124

	à
1.	∫ f (õ)dx = 0 ,
	à
	b		a
2.	∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx ,
	a		b
	b	c	b
3.	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx,
	a	a	c
	b		b	b
4.	∫[ f (x)± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx ,
	a		a	a

b b

5.∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx ,

aa

b

6. если x [a,b] m ≤ f (x) ≤ M , то m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

Формула НьютонаЛейбница.

Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула НьютонаЛейбница

										b														b
										∫ f (õ)dx = F(b)− F(a)								= F(x)
																								.
									à															a
															1							π
	Пример 1. Вычислить интегралы ∫ õ3dx , ∫ sin xdx .
															0			0
	1			1				1	1
	а) ∫ õ3dx =					x4		=		;
				4					4
	0							0
	π												π
	б) ∫ sin xdx = −cos x
													= −cosπ + cos0 = 2.
	0								0
															8						+ 3
	Пример 2. Вычислить интеграл ∫(																	2x							x	)dx.
															0
	8		+ 3						8													2		3				8		3		4		8		64		1
	. ∫(						)dx = ∫																x2						+		x3				=		+12 = 33		.
													2xdx + ∫ 3						2
		2x			x											xdx =
	0								0									3										0		4				0	3		3
	Замена переменной.
														b			β
														∫	f (x)dx = ∫			f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt ,
														a			α
																																					′
	где x = ϕ(t) - функция непрерывная вместе со своей производной ϕ (t)на
	отрезке α ≤ t ≤ β , a = ϕ(α),														b = ϕ(β ),						f [ϕ(t)]- функция непрерывная на
	[α,β ].

125

1	2)5dx.
Пример 3. Вычислить интеграл ∫ x(2 − x
0

1																				t = 2 − x2 ,											1																				1
∫ x(2 − x2 )5 dx =																		dt = −2xdx,												= −			1			∫t5dt = −					1		1			t6						= 5					3				.
0																		−				dt			= xdx,						2 2									2			6								2					12
																				2
																		a = 0,b =1,
																		α = 2,β =1.
	Интегрирование по частям.
Если u = u(x),																		v = v(x) - непрерывно дифференцируемые функции на
																									b					= uv					b		b
отрезке [a,b], то																									∫udv												− ∫vdu.
																									a										a		a
Пример 4. Вычислить интеграл																																					1
																																					∫ xe−x dx .
																																					0
1												u = x, dv = e																− x	dx			= −xe−x							1	1																								1	= −2e−1 +1 = e − 2
∫ xe− x dx =																														− x										+ ∫e−x dx = −e−1 − e−x
												du = dx,													v = −e
0																																							0	0																								0		e
.
																					Задачи для самостоятельного решения.
Вычислить интегралы:
	1													1																													π
	∫(
1.						x −														− sinπx)dx .																							4
																																											∫ctg								2	2xdx .
													4 − x2																											6.
	0
	1																								4																		π
								+ 3cosπx +
2.	∫(2					x																					)dx .																8
																																											e2
																									+ x	2
	0																			1																				7.			∫								dx								.
	2								3							2																														x
3. ∫(x					4			−			+										)dx .																						1								1+ ln x
														1		+ x				2																							1
	1								x
																																									8. ∫( 1+ x + (2x + 1)2 )dx .
	3												1
4. ∫(31−x + (														)2x−1 )dx .																													0
																																											1																				πx
	0											3																																							3
		π																																						9.			∫		(											+ tg(									))dx.
																																																			− 2x
																																													4											3
	3							dx																																			0
5.	∫						2							2 .																																						1
																																											16
		π sin xcos x
																																									10. ∫																					dx .
	4																																										0							x + 9 − x

__________________

126

		π
	2
11.	∫ xcosxdx .
	0
	1
12.	∫ xex dx .
	0
		e
13.	∫ln xdx .
	1
		π
14.	∫ x2 sin xdx .
	0
	2					dx
21.	∫										.
					x	+ x			2
	1
	3							dx
22.	∫												.
				2x			2	+ 3x −				2
	2
		−1							xdx
23.		∫												.
	−2				(x − 1)(x − 2)
	3				x3 + 1
24.	∫									dx .
					x	2
	2						− x
	1					x3 + 2x2						+ 3
25.		∫													dx .
					(x − 4)(x − 2)x
	0,5

π

2dx

31.∫

−π 1+ cosx

2

0tg(x + 1)

32.−∫1 cos2 (x + 1)dx .

π

2

33.∫cos5 xsin2xdx .

0

−π

4 cos3 x

34.∫π 3sin xdx .

−

	2
	1		dx
	41. ∫				.
			8 + 2x − x2
	−0,5

10

15. ∫ xln xdx .

1

2

16. ∫ xln2 xdx .

1

1

17. ∫arctgxdx .

0

0,5

18. ∫arcsin xdx .

0

__________________

π

2

19. ∫e2x cosxdx .

0

2

20. ∫4 − x2 dx .

0

04x2 − 19x + 19

26.−∫1 (x − 1)(x − 2)(x − 3)dx .

2 dx

27.∫1 x3 + x .

0x2 + 3x − 1

28.∫ .

−1 dxx3

−2

1x2 − x − 1

29.∫0 (x + 1)(x2 + 2x + 2)dx .

2x + 1

30.∫1 x3 + x2 + xdx .

__________________

		π
	4
35.	∫ctg4 xdx .
		π
	6
		π
36.	∫sin2 x cos4 xdx .
	0
		π
	2						cosx
37.	∫										dx .
			2
	0						+ cos x
	2arctg2										dx
38.				∫								.
								sin	2	x(1− cosx)
					π
			2

_______________

4dx

42.∫1 x + x .

π

2cosxdx

39.∫π 1+ sin x − cosx .

3

π

40. ∫	4 − 7tgx	dx .
0	2 + 3tgx

4

1xdx

43.∫0 3x + 1.

127

641− 6x + 23x

44.∫1 x + 2x3 + 3x4 dx .

64(2 + 3x)

45.∫1 (6x + 23x + x)xdx .

1

46. ∫ x2 1− x2 dx .

0

	2				x2		− 1							2			dx
															50. ∫
47.	∫								dx .													.
							4
						x											(16 − x	2	)	3
	1													0
	3						dx
48.	∫											.
	1			(1			+ x2 )3
	2			x +
								3x − 2					− 10
49.	∫														dx .
							3x − 2 +							7
	1

4.6 Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями у = f (x),

x = a, x = b, y = 0, расположенной выше оси Ох ( f (x) ≥ 0 ), равна :
b	(x)dx .
S = ∫ f
a

Пример 1. Найти площадь плоской фигуры ограниченной параболой y = 2x − x2 и осью Ох.

Парабола пересекает ось Ох в точках О(0;0) и М(2;0), следовательно

2							1			3	2		8		4
будем иметь S = ∫(2x − x	2	)dx =		x	2	−			x			= 4 −		=		.
							3						3		3
0
										0

2. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох ( f (x) ≤ 0 ), то ее площадь может быть найдена по формуле

b	(x)dx .
S = − ∫ f
a

3. Пусть на отрезке [а;b] заданны и непрерывны функции у = f1 (x); y = f2 (x) такие, что f2 (x) ≥ f1 (x) . Площадь фигуры S , ограниченной кривыми f1 (x), f2 (x), и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:

b		b	(x)dx .
S = ∫ f	2	(x)dx − ∫ f1
а		a

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

у = 1 и прямыми y = x; x = 2.

х

Гипербола пересекает прямую y = x в точке М(1;1) и x [1;2]

выполняется неравенство 1 ≤ x , поэтому площадь фигуры, образованной

x

линиями будет равна

128

2	2	1		1			2 − lnx		2		4		1		3
S = ∫ xdx − ∫			dx,=		x2					=		−		− ln2 + 0 =		− ln2.
1	1	x		2			1		1	2		2			2

4. Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

x = ϕ(t),

=ψ

y (t), α ≤ t ≤ β , вычисляется по формуле:

β

S = ∫ψ (t)ϕ′(t)dt .

α

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acost, y = bsin t. Найдем сначала площадь верхней половины фигуры, ограниченной эллипсом. При возрастании x от -a до a параметр t убывает от π до 0.

Находим

0

0

0

t −

0

= πab .

0,5S = ∫ bsin t (−asin t)dt = −ab ∫ sin2 tdt = −

ab

∫

(1− cos2t)dt = −

ab

sin 2t

2 π

2

π

π

2

2 π

Таким образом 0,5 S =

πab

. Значит,

S = πab .

2

5. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β , вычисляется по формуле:

1 β

S = ∫ ρ 2 (ϕ)dϕ. 2 α

Пример 4.

	Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой																						ρ = a (1+ cosϕ) .
				a		2	2π					a	2	2π			2π		a	2	2π	1+ cos 2ϕ			a	2		2π + a2 sinϕ		2π +
S =							∫ (1+ cosϕ)2 dϕ =							∫ dϕ + a2 ∫ cosϕdϕ +							∫			dϕ =			ϕ
			2				0				2			0			0	2			0	2	2					0		0
		a	2				2π		a2		2π				πa	2	3πa2
+					ϕ			+		sin 2ϕ	= πa2			+		=		.
	4								8						2		2
							0				0

Формулы длин дуг плоских кривых.

1. Длина L кривой, заданной уравнением у = f (x), a ≤ x ≤ b вычисляется по формуле:

b

L = ∫ 1+ f ′2 (x)dx.

a

129

Пример 5.

Найти длину дуги кривой ó2 = x3 от x = 0 до x = 4.

Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви

												3																1
	кривой. Из уравнения у = x																находим у′ =											3			x			. По формуле вычисления
														2																			2
																												2
	длины дуги						получим
																							3
				4				4															9x						4						8
	1											9x						8								2
																																				(10 10		−1).
			L	= ∫ 1+ f ′2 (x)dx = ∫ 1+											dx =				1+										=
	2			0			0					4						27					4						0						27
	Тогда длина всей кривой будет																	L =		16		(10								−1).
																									10
																			27
	2. Длина L кривой заданной параметрическими уравнениями
										x = ϕ(t),
										y =ψ (t),
	α ≤ t ≤ β , вычисляется по формуле:
									β
								L = ∫			ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t)										dt
									α
	Пример 6.
		Найти длину дуги окружности																	x = acost,												y = asint от t=0 до t=T.
		Из параметрических уравнений окружности находим
	x′ = −asint,						y′ = acost . По формуле вычисления длины дуги получим
			T							T																										T			T = aT.
	L = ∫				x′2 (t) + y′2 (t)				dt = ∫				(−asin t)2 + (acost)2 dt = ∫ adt = at
	0						0																													0			0
	30 Длина L кривой заданной в полярных координатах уравнением
													ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β,

вычисляется по формуле:

b

L = ∫

ρ(ϕ) + ρ′2 (ϕ)

dϕ .

a

Пример 7.

Найти длину кардиоиды

ρ = a (1+ cosϕ) .

Из уравнения кардиоиды находим ρ′ = −a sinϕ . Кардиоида симметрична

полярной оси. Найдем половину длины этой линии

1

π

π

π

L = ∫

ρ 2 (ϕ) + ρ′2 (ϕ)

dϕ = ∫

(a(1+ cosϕ))2 (−asinϕ)2 dϕ = a ∫

dϕ =

2 + 2cosϕ

2

0

0

0

ϕ

ϕ π

π

ϕ

π

= a ∫ 2 2cos2

2

dϕ = 2a∫

cos

dϕ = 4asin

0

= 4a.

0

0

2

2

Таким образом

1

L = 4a . Отсюда находим длину кардиоиды

L = 8a .

2

130