МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

z = f (x;y), определенная на множестве G,							называются частными

производными I порядка.

Частными производными II порядка функции z = f(x; y) называется частные производные от частных производных первого порядка:

∂2 z	=		∂			∂z				= z′′ xx,
∂x2
		∂x				∂x
∂2 z			∂				∂z			= z′′yx,
	=
∂y∂x
			∂x				∂y

∂2 z

=

∂

∂z

= z′′x

∂x∂y

∂y

∂x

∂2 z

∂

∂z

= z′′

2

=

yy

∂y

∂y

∂y

∂2 z	;	∂2 z	– называются смешанными производными.
∂x∂y		∂y∂x

Пример 8. Найти все частные производные первого и второго порядка для функции z = cos(x;y):

∂z						∂z
	= −sin(x y) (x y)′x = − ysin(xy),						= −sin(xy) (xy)′y = − xsin(xy),
∂x						∂y
∂2 z	= (− ysin(xy))′x = − y2 cos(xy),		∂2 z		= (− ysin(xy))′ y =−1 sin(xy)− ycos(xy)x
∂x2			∂x∂y
∂2 z	= (− xsin(xy))′ y = − x2 cos(xy),		∂2 z		= (− xsin(xy))′ x = −1 sin(xy)− xcos(xy)у ,
∂y2		∂y∂x

∂2 z = ∂2 z . ∂x∂y ∂y∂x

Имеет место утверждение: если производные ∂2 z и ∂2 z существуют и не-

∂x∂y ∂y∂x

прерывны в некоторой окрестности т. М и непрерывны в самой т. М, то они равны.

Дифференцируя частные производные II порядка по x и по y , получим частные производные III порядка.

Полный дифференциал II порядка некоторой функции – это полный дифференциал от ее полного дифференциала.

d 2 z = d(dz):	d 2 z =	∂2 z dx2	+ 2	∂2 z	dxdy +	∂2 z dy2
		∂x2		∂x∂y		∂y2

141

Полным дифференциалом n-го порядка функции z = f(x; y) называется пол-

ный дифференциал от полного дифференциала (n-1)-го порядка.

Пример 9. Найти дифференциал

II порядка

функции

.

Находим частные производные первого и второго порядка:

,

,

,

,

,

Подставляя в формулу, получим:

.

Экстремумы функций двух переменных. Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки M0(xo, yo). Точка M0(xo;yo) называется

точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует такая

окрестность т.	M0, в которой для любой	т. M(x;y) выполняется условие
f(x;y)≤ f(xo;yo)	[f(x;y)≥ f(xo;yo)].
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция z =
f(x; y) имеет в т. M0(xo; yo) экстремум,		то частные производные первого
порядка в этой точке равны нулю.

Также экстремум функции 2-х переменных может быть в точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, или не существуют.

Такие точки называются стационарными.

Пример 10. Найти стационарные точки функции z = x3 − y3 − 3xy . Находим частные производные первого порядка:

142

dz	= 3x2 − 3y,	dz	= −3y2 − 3x .
dx		dy

Находим стационарные точки, используя необходимые условия:

Получаем		и		стационарные точки.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Пусть M0(xo;yo) стационарная точка функции z = f(x; y). Обозначим

,

.

Cоставим выражение

тогда достаточные условия экстрему-

ма функции двух переменных z = f(x; y) в точке M0(xo;yo) запишутся в следующем виде:

				и	, то M0(xo;yo) – точка максимума.
				и	, то M0(xo;yo) – точка минимума.
				, то M0(xo;yo) не является точкой экстремума.
				, то точка M0(xo;yo) может как быть, так и не быть точкой
				экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.
Пример11. Исследовать на экстремум функцию z = x3 − y3 − 3xy .
В предыдущем					примере найдены стационарные точки			и

Найдем частные производные второго порядка и составим выражение :

143

	A =		∂2 z = (3x2 − 3y)′		= 6x,	C =	∂2 z = (−3y2 − 3x)′		= −6y,
			∂x2	x			∂y2	y
B =	∂2 z	= (3x2 − 3y)′y = −3
	∂x∂y

.

Вычислим значения

в точках

и

:

экстремума нет.

в точке

экстремум

есть, т.к.

то

- точка максимума.

Найдем .

Условный экстремум функции двух переменных. Рассмотрим задачу о нахождении экстремума функции z = f(x y) при условии, что переменные x,y связаны соотношением ϕ(x, y)= 0. Такой экстремум называется условным в

отличие от рассмотренного ранее.

Возможны два случая:

1) уравнение ϕ(x, y)= 0 определяет функцию y=y(x) (т.е. разрешимо относительно переменной y), тогда функция z = f(x; y(x)) – будет функцией одной переменной и задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

2) уравнение ϕ(x, y)= 0 не разрешимо относительно переменной y.

В этом случае применяется метод множителей Лагранжа. Составляется функция Лагранжа: L(x, y,λ)= f (x; y)+ λϕ(x; y), где λ – параметр, называемый множителем Лагранжа, и исследуется на обычный экстремум.

Необходимые условие экстремума. Стационарные точки находим решая систему уравнений:

L	x	' (x, y,λ)= 0,
L'y (x, y,λ)= 0,
L′		(x, y,λ)= 0.
	λ

144

Пусть - решения системы, т.е. значению соответствует ста-

ционарная точка M0(xo;yo).

Достаточное условие экстремума. Составляем определитель

0ϕ ' x (M 0λ0 )

= − ϕ ' x (M			0		λ		0		)	L′′	(M	0	λ	0	)
										xx
ϕ′	(M	0		λ		0		)		L" xy (M		0	λ	0	)
y

ϕ ' y (M 0λ0 )

L′xy′ (M0λ0 ) .

L" yy (M 0λ0 )

Если	< 0 , то функция z = f(x; y) имеет в т. М0	условный			максимум.
Если	> 0, то функция z = f(x; y) имеет в т. М0	условный			минимум.
Пример 12. Найти условный экстремум функции					при усло-

вии

Запишем уравнение связи в виде и составим функцию Лагранжа:

.

Находим частные производные функции:

, . Составляем и решаем систему:

145

Т.е. значению

соответствует стационарная точка

, а

значению

- точка

.

Проверяем достаточные условия: для этого найдем частные производные

первого и второго порядка функций

и

,

,

Составляем определитель :

.

Найдем значение определителя для каждой из стационарных точек.

Для

и

.

Это значит, что в точке

функция имеет условный минимум и

Для

.

и

.

Это значит, что в точке

функция имеет условный максимум и

.

Геометрические приложения частных производных. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид

,

то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

146

.

Уравнения нормали:

.

Если поверхность задана в явной форме z = f(x y), то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали -

Пример 13. найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке

.

Обозначив через

левую часть уравнения поверхности, найдем

частные производные и их значения в точке М.

,

;

,

;

,

.

Подставляя в формулы, получим

или

-	уравнение касательной плоскости,
								, или
-	уравнения нормали.
	147

Задачи для самостоятельного решения.

1.Выразить объем конуса V как функцию его образующей x и радиуса основания у.

2.Выразить площадь S боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты x и бокового ребра у.

3.	Найти, f (−11;)				если f (x, y) = xy +			x		.
								y
4.	Найти область существования функции:
	z =			1
а)						; б) z = 1− x2 − y2 ; в) z = x + arccos y .
				− x2 − y2
	4
5.	Найти пределы функций:

а) lim

x→o y→2

sin xy				+	y x			x
	;	б)	lim 1				; в) lim		.
x								x + y
			x→∞		x		x→o
			y→k				y→0

6.

Найти частные производные функций:

а) z = x3 + y3 − 3x2 y + 5xy2 − 6x + 1;

б) z =

x − y

;

в) z =

y

;

x + y

x

д) z = esin

y

y

y

г) z = x y ;

;

е) z = arctg

;

ж) z = x

+

;

x

y

x

x

и) z = arctg

x + y

к)z = sin2 (xcos2 y + ysin2 x) ;

з) z = ln(x +

x2

+ y2 );

;

1− xy

x3

x − y

л) z = arctg

м) z = e

−

2

+ y

2

z = cos

о)u = (xy)z ;

п) u = zxy .

;

x

; н)

;

x2

+ y2

y

7.

Найти zx ′ (2;1) и zy ′ (2;1) , если z =

xy +

x

.

y

8. Найти ux ′ (1;2;0) , uy ′ (12;;0) , uz′ (1;2;0) , если u = ln(xy + z) .

∂z

∂z

9. Проверить справедливость равенства

x ∂x

+ y ∂y

= 2 , если

z = ln(x2 + xy + y2 ) .

∂u

∂u

∂u

= 1 , если u = x +

x − y

10. Проверить справедливость равенства ∂x

+

∂y +

.

∂z

y − z

11. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) z = x3 + y3 − 3xy ;

б)

z = x3 y2 ;

в) z =

x2

− y

2

;

г)

z = ln(x2

+ y2 ) .

x2

+ y2

12. Вычислить приближенно:

а) (102,)3 (0,97)2 ;

в) sin32o cos59o .

б)

(4,05)2 + (2,93)2 ;

13. Найти

dz

, если z =

x

, где x = et , y = lnt .

dt

y

du

, если u = lnsin

x

14. Найти

, где x = 3t2 , y =

t2 + 1 .

dt

y

148

15.

Найти

dz

, если z = uv , где u = sin x,v = cosx .

dx

16.

Найти

∂z

, и

∂z

если z = arctg

x

, где x = usinv, y = ucosv .

∂u

∂v

y

17. Найти

∂u

, и

∂u

если u = v3w3 +

w2

, где v = cos y,w = sin x .

∂x

∂y

v2

18.

Найти производную функции z = x2

− xy − 2y2

в точке P(12;) в направле-

нии, составляющем с осью Ох угол в 60o .

19.

Найти производную функции z = x2

− 2x2 y + xy2 + 1 в точке M(12;) по на-

правлению к точке N(4;6) .

20. Найти производную функции z = ln

x2 + y2

в точке P(11;) в направлении

биссектрисы первого координатного угла.

21.Найти производную функции u = xy + yz + zx в точке M(2;13;) по направлению к точке N(5515;;) .

22.Найти градиенты следующих функций в заданных точках:

	а) z = x3 + y3 − 3xy , (2;1); б) z = x2 − y2 , (5;3); в) u = xyz , (12;;3) .
	23. Найти угол между градиентами функции z = ln	y	в точках A(	1	;	1	) и
		x		2		4
	B(11;) .

24. Найти частные производные второго порядка следующих функций:

x − y

.

а)z = (x2

+ y2 )2 ; б)z = ln x2

+ y2 ; в)z =

2xy + y2 ; г)z = x y ; д)z = arcsin

x

25. Показать, что функция

z = arctg

x

удовлетворяет уравнению

y

∂ 2 z

∂ 2 z

∂x2 +

∂y2

= 0 .

26. Показать, что функция u =

1

удовлетворяет уравнению

x2

+ y2

+ z2

∂ 2u

∂ 2u

∂ 2u

∂x2 +

∂y2

+ ∂z2 = 0 .

27. Для следующих функций найти дифференциалы второго и третьего порядков:

	а) z = x2 y3 ; б) z = x cos y + y sin x .
28.	Найти производные неявных функций:
	а) ex sin y − ey cosx = 0; б) (x2 + y2 )2 − a2 (x2 − y2 ) = 0 ; в)			x2e2y − y2e2x = 0 .
29.	Найти первую и вторую производную неявных функций:
				y	= 0 .
	а) x + y = ex− y ; б) x − y + arctgy = 0; в) ln x2 + y2 − arctg
				x
30.	Найти частные производные неявных функций:

149

		y		z		x
	а) 3x2 + 4y2 + 5z2 − 60 = 0; б)		− tg		= 0; в) z − ye	z	= 0.
		x		c

31.Составить уравнение нормали и касательной плоскости к каждой из следующих поверхностей в указанной точке:

а)	2x2 + 3y2 + 4z2	= 9, M0 (1;−11;) ;	б)	x2 + y2 − z2 = 0, M0 (3;4;5) ;
в)	z = 4x2 − 9y2 ,	M0 (11; ;−5) ;	г)	x = 2y2 + 3z2 , M0 (5;11; ) .

32. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) z = (x − 1)2 + 2y2 ; б) z = (x − 1)2 − 2y2 ; в) z = x2 + xy + y2 − 2x − y ; г) z = x3 + y3 − 3xy ; д) z = x2 + xy + y2 − 3x − 6y .

33. Найти наибольшие и наименьшие значения функций в областях, ограниченных заданными линиями:

а) z = x − 2y + 5, x = 0, y = 0, x + y = 1;	б) z = x − 2y + 5, x = 0, y = 0, y − x = 1;
в) z = x2 y(4 − x − y) , x = 0, y = 0, x + y = 6;
г) z = x2 + y2 − xy − x − y , x = 0, y = 0, x + y = 3;
д) z = x3 + y3 − 3xy , x = 0, x = 2, y = −1, y = 2;		е) z = xy , x2 + y2 = 1;
ж) z = x2 + y2 − xy + x + y , x = 0, y = 0, x + y = −3.

150