МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

Условие коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора a =ax i + ay j + az k и b =bxi + by j + bz k коллинеарны тогда и только тогда, когда для координат этих векторов справедливы равенства

ax = ay = az . bx by bz

Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть даны точки M1(X1,Y1,Z1) и M2(X2,Y2,Z2). Координаты точки M(X,Y,Z),

лежащей на отрезке M1 M2

и делящей его в отношении λ =

М1

M

равны

MM2

X =

X1 + λX 2

,

Y =

Y1 + λY 2

,

Z =

Z1 + λZ 2

.

1+ λ

1+ λ

1+ λ

Если точка M(X,Y,Z) делит отрезок M1 M2 пополам, то λ = 1 и её координаты

определятся по формулам

X =

X1 +X 2

, Y =

Y1 +Y 2

,

Z =

Z1 +Z 2

.

2

2

2

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними

a b = |a |·|b |·cosφ.

Обозначения скалярного произведения: a b , (a ,b ), a ·b . Скалярное произведение векторов связаны с их проекциями

a b = |a | прa b = |b | прb a .

Свойства скалярного произведения:

1.a b = b a .

2.(ka )b = k(a ,b ).

3.(a + b )c = a c + b c .

4.a 2 = a a = |a |2 , где a 2 называется скалярным квадратом вектора a .

Приложения скалярного произведения:

1. Если векторы a и b определены своими декартовыми координатами a ={X1, Y1, Z1}, b ={X2, Y2, Z2}, то:

1.a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .

2.	cosφ =							X	1 X 2 + Y1Y2				+ Z1Z2						.
						X	2	+ Y 2		+ Z 2	X 2				+ Y	2	+ Z 2
							1		1	1		2			2		2
3.	прa		=			X1 X2 +Y1Y2 + Z1Z2								,			прb				=	X1 X2 +Y1Y2 + Z1Z2							.
		b																		a
								X 2	+Y 2 + Z 2														X	2	+Y 2	+ Z	2
								1		1	1													2	2		2

31

Условие перпендикулярности векторов: Для того чтобы векторы были перпендикулярными необходимо и достаточно чтобы a b = 0.

Векторное произведение векторов.

Векторы a ,b ,c , для которых определен порядок следования называются упорядоченной тройкой векторов.

Тройка некомпланарных векторов a ,b ,c называется правой (левой), если после приведения к общему началу кратчайший поворот от вектора a к вектору b , наблюдаемый с конца вектора c , виден совершающимся против (по) часовой стрелке.

c

c

b

a

a

b

,

,

– правая тройка

,

,

– левая тройка

a

b

c

a

b

c

Вектор c называется векторным произведением векторов a и b , если: 1. |c | = |a ||b |sinφ, где φ – угол между a и b .

2.c a и c b .

3.Тройка векторов a ,b ,c является правой.

Обозначения векторного произведения: c = [a ,b ], c = a × b .

Свойства векторного произведения.

1. [b ,a ] = - [a ,b ].

2. Если [a ,b ] = 0 , то векторы a и b коллинеарны.

3.[(ka ),b ] = k[a ,b ].

4.[(a + b ),c ] = [a ,c ] + [b ,c ].

5.Модуль векторного произведения |[a ,b ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b .

6.Если в декартовой системе координатa ={Xa, Ya, Za}, b ={Xb, Yb, Zb}, то

Y

Z

,−

X

Z

X

Y

=

i

j

k

[a ,b ] =

a

a

a

a

,

a

a

Xa

Ya

Za

.

Yb

Zb

Xb

Zb

Xb

Yb

X

Y

Z

b

b

b

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов

,

a

b и c называется результат

скалярного произведения векторного произведения [a ,b ] на вектор c .

Обозначение: a b c = [a ,b ]c .

32

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение [a ,b ]c равно +V- объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a ,b ,c , если они образуют правую тройку или –V, если a ,b ,c – левая тройка.

Если a ,b и c компланарны, то [a ,b ]c = 0.

2.a b c =b c a =c a b .

3.

a

b

c

= -

b

a

c

.

4.

Если a = {Xa, Ya, Za}, b = {Xb, Yb, Zb}, c = {Xc, Yc, Zc}, то

Xa

Ya

Za

a b c =

Xb

Yb

Zb

.

Xc

Yc

Zc

Пример 1. Даны вершины А (0,2), В (4,1), С (-2,-3), треугольника АВС. Найти: а) длину медианы АE; б) внутренний угол С.

а) Для нахождения длинны медианы АЕ используем формулу расстояния между двумя точками:

AE = (xE − xA )2 + (yE − yA)2 .

Координаты точки Е найдем по формулам координат середины отрезков:

x

=

1

(x

+ x

), x

=

1

(4 − 2) = 1; y

=

1

(y

+ y

), y

=

1

(1− 3) = −1; Е (1; -1), тогда

Е

В

Е

Е

В

С

Е

2

С

2

2

2

= (1− 0)2 + (−1− 2)2 =

.

AE

10

б) Внутренний угол С треугольника АВС образован

векторами

и

.

СА

СВ

Используя формулу косинуса угла между векторами cos C =

CACB

, определим

CA

CB

угол С.

Найдем координаты и длины векторов

и

:

СА

СВ

= {0 − (−2);2 − (−3)}= {2;1},

=

22 +12 =

CA

CA

5,

= {4 − (−2);1− (−3)}= {6;4},

=

62 + 42 =

= 4

52

CB

CB

13.

Скалярное произведение векторов

равно:

= 2 6 + 1 4 = 16,

тогда

СА

и

СВ

СА

СВ

cos C =

16

=

4

,

C = arccos

4

.

5 4

13

65

65

Пример 2. Даны векторы

={ -2; 2; -1} и

={ 3; -5; 0}.

a

={ 0; -5; -1},

b

c

Вычислите:

а) скалярное произведение b , c ;

33

б) модуль векторного произведения векторов a , b ;

в) смешанное произведение векторов a , b и

c . Проверьте: г) будут ли

коллинеарны или ортогональны какие-либо два из трех заданных векторов;

д) будут ли компланарны три заданных вектора.

а)

Найдем

скалярное

произведение

векторов

b

и

c :

bc = −2 3 + 2 (−5) + (−1) 0 = −16 .

, найдем координаты векторного произведения

б) Чтобы вычислить

,

а

b

,

а

b :

=

i

j

k

−5 −1

0 −1

0 −5

,

0

−5

−1

= i

−

+

=

а

b

j

k

−2

2

−1

2 −1

−2 −1

−2 2

= (5 − (−2))i − (0 − 2) j + (0 −10)k = 7i + 2 j −10k = {7; 2; −10}

Тогда а,b = 72+22+(−10)2 = 153 .

в) Смешанное произведение векторов a ,b и c найдем по формуле:

0

−5

−1

,

аbс =

−2

2

−1

3

−5

0

вычислив определитель третьего порядка, получим a b c = 11.

г) Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны или

векторное произведение равно нулевому вектору. Из б) следует, что

,

,

а

b ≠ 0

следовательно векторы a и b не коллинеарны.

Проверим коллинеарность векторов

и

,

и

:

0

≠

−5

≠

−1

, следовательно

a

c

b

c

3

−5 0

−2

2

−1

векторы

a

и

c

не коллинеарны.

≠

≠

, следовательно векторы b и

c

не

−5

3

0

коллинеарны.

и

не ортогональны, т.к.

скалярное

Из а)

следует, что векторы b

c

произведение этих векторов не равно нулю. Найдем скалярные произведения векторов a c и a b :

ac = 0 3 + (−5) (−5) + (−1) 0 = 25 ≠ 0 , ab = 0 (−2) + (−5) 2 + (−1) (−1) = −9 ≠ 0 .

Это значит что векторы a и c , a и b не ортогональны.

д) Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Из в) следует, что a b c ≠ 0, это значит, что векторы a , b и c не компланарны.

Пример 3. Доказать, что векторы a ={ 1; 3; -1}, b ={ 1; 0; 1} и c ={ 0; 1; 1} образуют базис, и найти координаты вектора d ={ 5; -3; 2} в этом базисе.

Три вектора образуют базис, если они не компланарны, т.е. смешанное произведение a b c ≠0.

34

Найдем смешанное произведение векторов a ,b и c :

		1	3	−1
аbс =		1	0	1	= −5 ≠ 0 , следовательно векторы a ,b ,c образуют базис.
		0	1	1

Обозначим координаты вектора d в базисе a b c через х, у и z. Тогда

d = xа + yb + zс ,

или переходя к координатной форме

1		1		0		5
x	3	+ y	0	+ z	1	=	−3	, получим
	−1		1		1		2

x + y	= 5,
3x +	z = -3,
	+ z = 2.
−x + y

Решая систему методом Крамера, найдем:

														1	1	0				5		1		0
							x =				x	,	=	3 0 1			= −5, x =			−3		0		1				= 0, x = 0 ;
														−1	1	1				2		1		1
		y										5	0														1				1		5
								1
y =				,	y		=	3				−3	1	= −25, y = 5;				z =	z		,		z	=			3				0		−3	= 15, z = 15.
								−1				2	1															−1			1		2

Таким образом, d = 5b - 3c или d ={ 0; 5; -3} в базисе a b c .

Пример 4. Вершины пирамиды находятся в точках A ( 2; -1;1), B (-2;3;1), C ( 1;2;3) и D ( 1; -2; 2). Вычислите:

а) площадь грани ABC;

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра AB и вершины C и D пирамиды;

в) объем пирамиды ABCD.

а) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма построенного на тех же векторах, т.е.

=

1

,

.

S

ABC

AB

AC

2

Найдем координаты векторов

AB

и

AC

:

= {− 2 − 2;3 − (−1);1−1}={−4;4;0},

= {1− 2;2 − (−1);3 −1}= {−1;3;2}.

AB

AC

Векторное произведение

,

равно:

AB

AC

i

j

k

4

0

−4

0

−4

4

,

=

−4

= i

−

+

= 8i + 8

− 8

= (8;8; −8)

АВ

АС

4

0

j

k

j

k

−1

3

2

3

2

−1

2

−1

3

=

1

8

= 82

+ 82 + (−8)2

АВ

,

АС

= 192 = 8

3,

S

ABC

3 = 4

3.

2

б) Найдем координаты точки М – середины ребра АВ:

xM =

1

(2 + (−2)) = 0; yM

=

1

(−1+ 3) = 1; zM

=

1

(1+1) = 1,

получим М (0; 1; 1).

2

2

2

Площадь треугольника МСD определяется по формуле: S

=

1

,

.

MCD

MC

MD

2

Найдем координаты векторов MC и

MD и

,

MC

MD :

35

= {1− 0;2 −1;3 −1}= {1;1;2},

= {1− 0;−2 −1;2 −1}= {−1;−3;1}.

MC

MD

[

]=

i

j

k

=

1

2

i −

1

2

+

1

1

= {7;1− 4},

,

1

2

MC

MD

1

j

k

1

− 3

1

− 3

1

1

1

1

− 3

[

]

1

,

=

72 +12 + (−4)2

=

=

MC

MD

66,

SMCD

66.

2

1

в) Объем пирамиды АВСD вычисляется по формуле: V =

АВАС АD

.

Координаты векторов

6

= {−4;4;0},

= {−1;3;2},

= {1− 2;−2 − (−1);2 −1}= {−1;−1;1}.

AB

AC

AD

Найдем смешанное произведение векторов

−4

4

0

1

= −24, , тогда V =

−24

= 4.

ABAC AD =

−1

3

2

6

−1 −1 1

1. По данным векторам

и

построить следующие векторы: 1) 2

;

a

b

a

2) –0,5b ;

3) 3a +0,25b ;

4) 0,5a -3b .

Даны: |

|=13,

и |

+

|=24. Вычислить

2.

a

|b |=19

a

b

|a -b |.

3.

Даны: |

|=11,

и |

-

|=30. Вычислить

a

|b |=23

a

b

|a +b |.

4.Даны вершины А(3,2,-5), В(1,4,3) и С(-3,0,1) треугольника. Найти координаты середин его сторон.

5.Даны вершины А(2,-1,4), В(3,2,-6) и С(-5,0,2) треугольника. Вычислить длину медианы, проведенной из вершины А.

6.Даны три вершины А(3,-1,2), В(1,2,-4) и С(-1,1,2) параллелограмма. Найти его четвертую вершину D.

7.Отрезок прямой, ограниченный точками А(-1,8,3) и В(9,-7,2) разделен точками на пять равных частей. Найти координаты этих точек.

8.Определить при каких значениях α и β векторы a ={-2,3, β } и b ={α ,-6,2} коллинеарны.

9.Проверить, что четыре точки А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,3) и D(3.-5.3) служат вершинами трапеции.

10.Даны два вектора a ={3,-2,6} и b ={-2,1,0}. Определить координаты следующих векторов: 1) a +b ; 2) a –b ; 3) 2a ; 4)2a +3b ; 5) 0,5a -b .

11.Даны два вектора a ={2,4,3} и b ={-1,5,8}. Определить координаты следующих векторов: 1) a +b ; 2) a –b ; 3) 3a ; 4) a +2b ; 5) 0,5a -3b .

12.Найти разложение вектора x в базисе векторов p,q,r, если а) x = {−2,4,7}, p = {0,1,2},q = {1,0,1},r = {−1,2,4};

б) x = {6,12,−1}, p = {1,3,0},q = {2,−1,1},r = {0,−1,2};

в) x = {1,−4,4}, p = {2,1,−1},q = {0,3,2},r = {1,−1,1};

г) x = {−9,5,5}, p = {4,1,1},q = {2,0,−3},r = {−1,2,1}.

13.Выяснить, будут ли векторы а1={1,1,1,1}, а2={1,2,1,2}, а3={3,1,3,1}, а4={0,1,0,1} линейно зависимыми или линейно независимыми.

36

14.Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

15.Найти все значения λ , при которых вектор b={7,-2,λ } линейно выражается через векторы а1={2,3,5}, а2={3,7,8}, а3={1,-6,1}.

16.Векторы a и b образуют угол ϕ = π ; зная, что |a |=3 и |b |=4, вычислить: 1)

3

a b ; 2) a 2; 3) b 2; 4) (a +b )2; 5) (3a +2b )( a -b ); 6) (a -b )2.

17.Векторы a и b образуют угол ϕ = 2π ; зная, что |a |=5 и |b |=3, вычислить: 1)

3

; 2)

2; 3)

2; 4) (

+

)2; 5) (3

+2

)(

-

); 6) (

-

)2.

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

18.Даны векторы

={4,-2,-4} и

={6,-3,2}. Вычислить: 1)

; 2)

2 ; 3)

2 ;

a

b

a

b

a

b

4) (2

–3

)(

+

); 5) (

+

)2.

a

b

a

b

a

b

19.Даны векторы

={2,4,4} и

={2,-6,3}. Вычислить: 1)

; 2)

2 ; 3)

2

a

b

a

b

a

b

4) (3a +2b )( a -b ); 5) (a -b )2.

20. Даны вершины четырехугольника А(1,-2,2), В(1,4,0), С(-4,1,1) и D(-5,-5,3). Доказать, что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны.

21.Вычислить проекцию вектора a ={5,2,5} на ось вектора b ={2,-1,2} и найти косинус угла между этими векторами.

22.Вычислить проекцию вектора a ={6,3,2} на ось вектора b ={2,2,1} и найти косинус угла между этими векторами.

23.Даны вершины А(-1,-2,4), В(-4,-2,0) и С(3,-2,1) треугольника. Определить его внутренний угол при вершине В.

24.Даны три вектора a ={2,-1,-3}, b ={1,-3,2} и c ={3,-4,12}. Найти вектор x ,

удовлетворяющий условиям: x a =-5, x b =-11, x c =20.

25.Определить и построить вектор c =a × b , если 1) a =3i , b =2k ; 2) a =i + j , b =i - j ; 3) a =2i +3 j , b =3 j +2k .

26. Раскрыть скобки и упростить выражения: 1) i × ( j +k ) – j × (i +k ) + k × (i + j +k );

2)(a +b +c ) × c + (a +b +c ) × b + (b -c ) × a ;

3)(2a +b ) × (c -a ) + (b +c ) × (a +b );

4) 2i (

j

×

k

)+ 3

j

( i ×

k

)+ 4

k

( i ×

j

).

27.

Векторы

и

образуют угол ϕ =

2π

; зная, что |

|=1 и |

|=2, вычислить: 1)

a

b

a

b

3

|

×

|2; 2) |(3

+2

) × (

-

)|2; 3) |(

+3

) × (3

-

)|2.

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

28.

Даны векторы

={3,-1,-2} и

={1,-2,-1}. Вычислить: 1)

×

; 2) (2

+

) ×

a

b

a

b

a

b

; 3) (3

+2

) × (

-

).

b

a

b

a

b

29.

Даны векторы

={1,1,-3} и

={3,2,0}. Вычислить: 1)

×

;

2) (

+3

) ×

;

a

b

a

b

a

b

b

3) (

+2

) × (

-3

).

a

b

a

b

30.

Построить параллелограмм на векторах

=2

+

и

=i +2

и вычислить

a

j

k

b

k

его площадь и высоту.

31.

Даны вершины А(1,-2,8), В(0,0,4) и С(6,2,0) треугольника. Вычислить его

площадь и длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

37

32.Даны вершины А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1) треугольника. Вычислить его площадь и длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

33.С помощью векторного произведения выяснить, коллинеарны ли векторы

a ={1,0,3} и b ={2,0,6}.

34.

Векторы

,

и

, образующую правую тройку, взаимно

a

b

c

перпендикулярны. Зная, что |

|=4, |

|=2 и |

|=3, вычислить

.

a

b

c

a

b

c

35.

Вектор с перпендикулярен к векторам

и

, угол между векторами

и

a

b

a

равен 300. Зная, что |

|=6, |

|=3 и |

|=3, вычислить

.

b

a

b

c

a

b

c

36.Даны три вектора a ={0,1,-3}, b ={3,2,1}, c ={1,3,2} . Вычислить a b c .

37.Установить, компланарны ли векторы:

1)a ={2,3,-1}, b ={1,-1,3}, c ={1,9,-11};

2)a ={1,1,-3}, b ={0,1,0}, c ={1,1,1};

3)a ={2,-1,2}, b ={1,2,-3}, c ={3,-4,7}.

38.Доказать, что четыре точки А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1), D(2,1,3) лежат в одной плоскости.

39.Выяснить, будут ли векторы а1={1,0,1}, а2={1,1,2}, а3={2,1,2} линейно зависимыми или линейно независимыми.

40.Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4), D(0,0,0).

41. Даны вершины пирамиды: А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7), D(-5,-4,8). Найти длину её высоты , опущенной из вершины D.

38

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1 Прямая на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости можно записать в разных видах.
Общее уравнение прямой:
Ax + By + C = 0;	(1)
Уравнение прямой, проходящей через точку (x0 ; y0 ) с данным нормаль-
ным вектором N = {A;B}:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 ;	(2)

Нормальный вектор – ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Каноническое уравнение прямой (проходящей через точку (x0 ; y0 ) , с данным направляющим вектором s = {m;n}):

x − x0	=	y − y0	;	(3)

mn

Направляющий вектор – ненулевой вектор, параллельный прямой или лежащий на прямой.

Уравнение прямой через две данные точки (x1; y1) и (x2; y2 ) :
	x − x1			=	y − y1			;	(4)
			− x
	x	2			y	2	− y
			1				1
Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом:
	y = kx + b ,								(5)

где k угловой коэффициент, k = tgα , α- угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Уравнение прямой, проходящей через точку (x0 ; y0 ) , с данным угловым коэффициентом k :

39

y − y0 = k(x − x0 ) .

(6)

Условия перпендикулярности и параллельности прямых. Если прямые параллельны, то их нормальные, также как и направляющие, векторы коллинеарны.

Если прямые перпендикулярны, то их нормальные, также как и направляющие, векторы перпендикулярны.

Условие параллельности двух прямых можно записать и через угловые коэффициенты. Пусть даны две прямые l1 : y = k1x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда k1 = k2 , b1 ≠ b2 .

Условие перпендикулярности двух прямых k1 k2 = −1, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Угол между прямыми. Угол между прямыми может быть найден как угол между направляющими или нормальными векторами. Например, если прямые имеют нормальные векторы N1 = {A1;B1} и N 2 = {A2 ;B2 }, то косинус

угла α между прямыми будет равен сosα =

N

N

r 1

r2

. Если известны угловые

N1

N2

k2 − k1

коэффициенты прямых, то tgα =

.

1+ k k

2

1

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки (x0 ; y0 ) до пря-

мой Ax + By + C = 0 находится по формуле:

d =

Ax0 + By0 + C

.

A2 + B2

Ниже приведены примеры решения некоторых задач..

Пример1. В треугольнике АВС с вершинами А(2;-2), В(3,1); С(-4;-2) составить

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение медианы АМ треугольника АВС, проведенной из верши-

ны А;

в) уравнение высоты ВН треугольника АВС, проведенной из вершины

В;

40