МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

1

∫(6sin x +1)

2 / 7 d(sin x 6 +

1

(6sin x +

1)9 / 7

+ C .

=

1)=

9 /7

6

6

x

2

x

3

6. ∫

dx=∫x2 (7x3 − 4)−7 / 4 dx= ∫ x2dx

=

=

4 (7x3 − 4)7

3

=

1

∫(7x3 − 4)−7 / 4 d(

x3

21− 4)=[t = 7x3 − 4]=

1

∫t−7 / 4dt =

21

3

21

=− 4 (7x3 − 4)−3/ 4 + C .

1 t−3/ 4 + C =

21 − 3/ 4

63 Вместо внесения под знак дифференциала можно применять метод замены

переменной, который также называют методом подстановки:

x = ϕ(t)
′		'	(t)dt.
∫u(x)dx = dx = ϕ (t)dt		= ∫u(ϕ(t))ϕ
t = ϕ −1(x)

Используя замену переменной задачи 5 и 6 будут решаться так:

t = 6sin x +1

t

−1

2

5a. ∫cos x7 (6sin x +1)

dx = x = arcsin

=

6

1

dx =

dt

2

36 − (t −1)

t −1

2

1

2

2

Т.к. cos x = 1− sin

x

= 1−

=

36

− (t −1)

, то

6

6

1

(t)2 / 7

1

= ∫

36 − (t −1)2

dt =

36 − (t −1)2

6

1

∫t2 / 7dt =

1 t9 / 7

1

(6sin x +1)9 / 7

+ C .

=

=

6

6 9/ 7

9 /7

6

= 7x3 − 4

t

2

x

t + 4

6a. ∫

dx=

x

= 3

=

4 (7x3 − 4)7

7

1

t

+

4

−2 / 3

dx =

dt

21

7

111

, где Pn (x)- многочлен степени n, n ≥1. Можно показать, что

t +

4

2 / 3

−7 / 4

1 t +

4 −2 / 3

1

∫t

−7 / 4

1

t

−3/ 4

= ∫

t

dt =

dt =

+ C =

7

21

7

21

21 − 3/ 4

=− 4 (7x3 − 4)−3/ 4 + C . 63

Метод интегрирования по частям ( ∫udv = uv − ∫vdu) − еще один

важный метод интегрирования, который продемонстрируем на следующем

примере:

−x	u = x;			du = dx				−x	−x	−x −x
		− x					=− xe		+ ∫e dx =− xe	− e + C .
7. ∫ xe dx=			dx;	v = −e	− x
	dv = e

Интегрирование по частям применяется для следующих, часто

встречающихся случаев (Pn (x) − многочлен степени			n ): ∫Pn (x)sin kxdx,
∫Pn (x)coskxdx,	∫Pn (x)ekxdx (здесь	через u следует	обозначить Pn (x));
∫Pn (x)lnk xdx,	∫Pn (x)arcsin kxdx,	∫Pn (x)arccoskxdx,	∫Pn (x)arctgkxdx ,

∫Pn (x)arcctgkxdx (в этих случаях через dv следует обозначить Pn (x)dx ). Отметим, что по заданному дифференциалу dv, функция v определяется неоднозначно (v = ∫dv ), поэтому следует выбирать в качестве v наиболее

простую формулу.

Далее при нахождении неопределенного интеграла надо изучить методы интегрирования некоторых классов функций. В примере 8 используется

Ax + B

правило интегрирования выражений вида ax2 + bx + c − в частности, надо выделить полный квадрат, чтобы узнать какую замену переменной следует

сделать (аналогично интегрируются выражения вида

Ax + B

):

ax2 + bx + c

t = x +

4

x + 6

x + 6

t + 2

8.

dx =

dx = x = t −

4 =

dt =

∫ x2

+ 8x +15

∫

(x + 4)2 −1

= dt

∫ t2 −1

dx

2

1

1

t2

t −1

= ∫t

1

dt + 2∫

1

dt = ∫tdt =

t

=

∫

d(

2 −1) + ln

=

2

2

−1

2

t +1

2

2

t

−1

t

−

1

2

t

1

t −1

+ C =

1

ln

x2 + 8x +15

+ ln

x + 3

+ C .

=

ln

t2 −1

+ ln

t +1

x + 5

2

2

В следуюшем примере применяем метод интегрирования выражений вида

Pn (x)

ax2 + bx + c

интеграл от этой дроби можно представить в виде суммы двух слагаемых:

112

Pn (x)

dx

(1)

∫

dx = Qn−1(x) ax2 + bx + c +α ∫

,

ax2 + bx + c

ax2 + bx + c

где Qn−1(x) — многочлен с неопределенными коэффициентами степени n −1. Чтобы найти коэффициенты этого многочлена, а также постоянную

αнадо:

1.продифференцировать обе части равенства (1),

2.затем умножить обе части полученного равенства на ax2 + bx + c (после чего получим равенство двух многочленов)

3.приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x

4.решить полученную систему линейных уравнений.

2

x2 − 7x +18

dx=(Ax + B)

+ α ∫

dx

9. ∫

x2 − 4x + 20

x2 − 4x + 20

x2

− 4x + 20

Сначала находим A,B,α . Для этого дифференцируем левую и правую

часть предыдущего равенства:

2x

2 − 7x +18

=

x2 − 4x + 20

2x − 4

+

α

A x2 − 4x + 20 + (Ax + B)

2 x2 − 4x + 20

x2 − 4x + 20

Отсюда получаем

2x2 − 7x +18= A(x2 − 4x + 20) + (Ax + B)(x − 2) + α .

Теперь приравниваем коэффициенты при x2 , x1, x0 :

x2 : 2 = A+ A A = 1

x1 : − 7 = −4A − 2A+ B = −6 + B B = −1

x0 : 18 = 20A− 2B + α = 22 + α α = −4

И, наконец, находим интеграл

dx

d(x − 2)

∫

= ∫

= ln

x − 2 + x2 − 4x + 20

x2 − 4x + 20

(x − 2)2 +16

Следовательно,

∫ 2x2 − 7x +18 dx=(x −1)x2 − 4x + 20 − 4ln x − 2 + x2 − 4x + 20 + C . x2 − 4x + 20

Теперь можно показать применение интегрирования по частям на более сложном (по сравнению с примером 7) примере:

− dx

u = arccos x, du =

10. ∫(10x − 4)arccos xdx =

1− x2

=

2

−

dv = (10x − 4)dx, v = 5x

4x

=(5x2 −

4x) arccos x + ∫

5x2

− 4x

dx =

1

− x2

113

Получившийся интеграл находим так (см. предыдущий пример):

5x2

− 4x

1

∫

dx

= (Ax + B) 1− x2 +α ∫

dx

1

− x2

1− x2

Дифференцируем обе части этого равенства:

5x2 − 4x

− 2x

+

α

= A 1− x2 + (Ax + B)

1− x2

2 1− x2

1− x2

Умножаем обе части полученного равенства на 1− x2 : 5x2 − 4x = A(1− x2 ) − x(Ax + B) + α

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , находим значения неизвестных величин A,B,α :

x2 : 5 = −A − A A = − 5 2

x1 : − 4 = −B B = 4

x0 : 0 = A+ α = − 5 + α α = 5

22

Теперь продолжаем решать исходную задачу:
			5	x + 4)					+	5				1
=(5x2 − 4x) arccos x + (−							1− x2				∫					dx =
														− x2
2				2							1
	5				5
=(5x2 − 4x −		) arccos x + (−				x + 4) 1− x2					+ C .
2				2
В примерах 11 и				12 продемонстрировано применение теории

интегрирования рациональных дробей. Напомним, что дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены, называется рациональной дробью. Пусть Pn (x)− многочлен степени n , Qm (x)− многочлен степени

m, тогда R(x) = Pn (x) − рациональная дробь. Если n < m , то рациональная

Qm (x)

дробь называется правильной, а в противном случае (т.е. если выполнено неравенство n ≥ m ) неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух слагаемых: многочлена и

правильной рациональной дроби. Поэтому		надо	уметь интегрировать
		A		и	Mx + N
правильные рациональные дроби. Дроби вида						,
		(x − a)α			(x2 + px + q)β
где a, p,q, A,M , N − вещественные числа,	α,β −			натуральные числа,

p2 − 4q < 0 (т.е. уравнение x2 + px + q = 0 не имеет вещественных корней), называются элементарными рациональными дробями. Справедливо утверждение:

Теорема о разложении правильной рациональной дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы

114

элементарных рациональных дробей.

При практическом применении этой теоремы полезны следующие утверждения ( R(x) = P(x) − правильная рациональная дробь):

	Q(x)
1. Пусть	Q(x) = (x − a)k Q	(x),	Q	(a) ≠ 0, k ≥1. Тогда правильная дробь
	1		1

R(x) = P(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей

Q(x)
следующим образом:	P(x)	=	A	+	P1(x)
						.
	Q(x)		(x − a)k		(x − a)k −1Q (x)
					1
2. Пусть Q(x) = (x2 + px + q)k Q (x),				p2 − 4q < 0, k ≥1, и многочлен Q (x)
			1		1

не делится на многочлен x2 + px + q . Тогда правильная дробь R(x) = P(x)

Q(x) может быть представлена в виде суммы правильных дробей следующим

образом:

P(x)

=

Mx + N

+

P1(x)

.

Q(x)

(x2 + px + q)k

(x2 + px + q)k −1Q (x)

1

P(x)

Из этих утверждений следует, в частности, что если

- правильная

(x − a)k

рациональная

дробь, то существуют такие

числа

A1,L, Ak , что

справедливо

равенство

P(x)

=

Ak

+

Ak −1

+L+

A1

, а

(x − a)k

(x − a)k

(x − a)k −1

x − a

правильную рациональную дробь

P(x)

можно представить так

(x2 + px + q)k

P(x)

=

Mk x + Nk

+L +

M1x + N1

.

(x2 + px + q)k

(x2 + px + q)k

x2 + px + q

11. ∫

− 6x2 − 36x − 38

(x −1)(x

+ 3)

2 dx

Для того, чтобы найти этот интеграл, применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших

	дробей:
	− 6x2 − 36x − 38	=	A		+	B		+	C		.
	(x −1)(x + 3)2		x −1			(x + 3)	2		x + 3

Находим A,B,C из следующего равенства:

− 6x2 − 36x − 38 = A(x + 3)2 + B(x −1) + C(x −1)(x + 3) Подставляем x = 1 в обе части предыдущего равенства и находим

− 80 = 16A, откуда A = −5. Подставляем x = −3 в обе части предыдущего равенства и находим − 6 9 − 36 (−3) − 38 = −4B , откуда B = −4.

Приравнивая коэффициенты при x2 , получаем равенство

115

− 6 = A+ C = −5+ C , откуда следует, что C = −1. Итак, используя теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей, получили

∫

− 6x2 − 36x − 38

∫

− 5

− 4

2

−1

2

dx=

+

+

dx =

(x −1)(x + 3)

x −1

(x + 3)

x + 3

=− 5ln

x −1

+

4

− ln

x + 3

+ C .

x + 3

12. ∫

4x2 + 7x

+ 7

dx=

(x + 2)(x

2

+

2x + 3)

Для того, чтобы найти этот интеграл, применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших

дробей:
	4x2 + 7x + 7	=	A		+	Bx + C	.
	(x + 2)(x2 + 2x + 3)		x +	2		(x2 + 2x + 3)

Находим A,B,C из следующего равенства:

4x2 + 7x + 7 = A(x2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x + 2)

Подставляем x = −2 в обе части предыдущего равенства и находим 9 = 3A, откуда A = 3. Приравниваем коэффициенты при x2 : 4 = A + B = 3+ B . Отсюда следует, что B =1. Приравниваем коэффициенты при x0 :

7 = 3A + 2C = 9 + 2C . Отсюда следует, что C = −1 . Теперь можем найти интеграл

3

+

x

−1

d(x + 2)

+ ∫

(x +1) − 2

= ∫

dx =3∫

dx=

2

+

x + 2

(x +1)

2

+

1

x + 2 x

2x + 3

= 3ln

x +

2

+

1

∫

d((x +1)2 +1)

− 2∫

d(x +1)

=

2

(x +1)

2

+1

(x +1)

2

+

1

= 3ln

x + 2

+

1

ln((x +1)2 +1) − 2arctg(x +1) + C .

2

Рассмотрим некоторые приемы интегрирования функций, содержащих

m αx + β

радикалы. Пусть требуется найти ∫R x,

γx + δ

dx , где R − рациональная

функция

от

двух

аргументов,

m −

натуральное число, α,β,γ ,δ −

константы, удовлетворяющие условию αδ − βγ ≠ 0. В этом случае делаем следующую замену переменной:

				δtm − β	m(αδ − βγ )tm−1
	αx + β
t = m γx + δ , отсюда находим			x =	α − γtm , dx =	(α −γtm )	dt, после
				116

m(αδ −

βγ )t

m−1

αx + β

δt

m

− β

m

dt , т.е.

m

m

этого получаем ∫R x,

γx + δ

dx =∫R

α

− γt

,t

(α − γt

)

получили

интеграл

от

рациональной

дроби.

Если

надо

найти

∫R(x,m

,n

)dx, m,n

xk

xl

− натуральные числа, то вначале находим

наименьшее общее кратное чисел m и n . Пусть это будет p . Тогда

p

= m

m

1

иp = n1 натуральные числа, следовательно замена переменной x = t p n

позволяет избавится от иррациональностей. Действительно, в этом случае

∫R(x,m

,n

)dx = ∫ R(t p ,tm1k ,tn1l ) pt p−1dt ,

xk

xl

т.е.

получили

интеграл от

рациональной дроби.

x = t6

−106

−10t − 27

x

− 27

13. ∫

dx = dx = 6t5dt =

∫

6t5dt =

5

2

+ 6t − 27)

66 x5 (3 x

+ 66

x

− 27)

6t

(t

t = 6 x

z = t + 3

2

−10t − 27

−10z + 3dz =

− 5

d(z − 36)

dz

=

∫

dt =

t

= z − 3 =

∫

+ 3

=

(t + 3)2 − 36

z2 −

62

∫ z2 − 36

z2 − 36

∫

dt = dz

3

z − 6

+ C =− 5ln

1

6

x

− 3

+ C .

=− 5ln

z2 − 36

+

ln

3 x

+ 66

x −

27

+

ln

12

z + 6

4

6

+

x

9

При интегрировании выражений вида sinn x cosm x, где n,m - целые

числа, следует различать случаи:

1. n = 2k +1, т.е. n - нечетное число. Тогда

∫sinn x cosm xdx =

= ∫sin2k +1 x cosm xdx = ∫sin x (sin2 x)k cosm xdx=(∫sin xdx = −cos x) =

= −∫(1− cos2 x)k x cosm x d cos x = (t = cos x) = −∫(1− t2 )k tm dt = L

Т.е. в этом случае вносим

sin x под знак дифференциала и получаем

интеграл от многочлена.

2. m = 2l +1, т.е. m - нечетное число. Действуем аналогично предыдущему, но под знак дифференциала вносим cos x: ∫sinn x cosm xdx =

= ∫sinn	x cos2l+1 xdx = ∫sinn x (cos2 x)i cos xdx = (∫cos xdx = sin x) =
= ∫sinn	x (1− sin2 x)l d sin x = (t = sin x) = ∫tn (1− t2 )l dt = L
3. Если	n и m - четные числа, т.е.если n = 2k, m = 2l , тогда следует

применить формулы ”удвоения аргумента”:

2cos2 α =1+ cos2α, 2sin2 α =1− cos2α. В этом случае получаем

117

n

cos

m

xdx =

2k

x cos

2l

xdx =

1− cos2x k

1

+ cos2x l

∫sin

x

∫sin

∫

dx.

2

2

После чего выполняем алгебраические преобразования и вновь, если

необходимо, применяем вышеописанную процедуру.

В примерах 14-15 показано как можно интегрировать произведение

функций sin x и cos x:

14. ∫sin2 (5x + 2)cos4 (5x + 2)dx=

=

1

∫sin2 (5x + 2)cos4 (5x + 2)d(x 5+ 2)=[t = 5x + 2]=

5

1

∫sin

1

1− cos2t

1

+ cos2t

2

1

∫(1− cos

2

+ cos2t)dt =

=

2 t cos4 tdt =

∫

dt=

2t)(1

5

5

2

2

40

=	1	∫sin2 2t (1+ cos2t)dt =								1	∫(1− cos4t)dt +					1	∫sin2 2td(sin 2t)=
	40
									80						80
	1		1		1		3					x		1				1		3
=		t −		sin4t +		sin		2t	+ C =				−		sin(20x + 8) +				sin		(10x + 4)	+ C .
	80		4		3						1 16			320				240

sin3 (4x

−1)

t

= 4x −1

sin2 t

1

15. ∫

cos8 (4x

dx = x

= (t +1)/ 4 =

∫sint

dt =

−1)

4

cos8 t

dx = dt / 4

1

1

− cos2 t

1

−8

−6

1

1

=−

∫

d(cost)=[z = cost]=−

∫(z

− z

)dz =

−

+ C =

28z7

20z5

4

cos8 t

4

=

1

−

1

+ C .

28cos7 (4x −1)

20cos5(4x −1)

Если подинтегральное выражение является рациональной дробью от

tgx (или от

ctgx ), то замена переменной вида

t = tgx

(соответственно

t = ctgx) приведет к интегралу от рациональной дроби аргумента

t :

tg

2

+1

t = tgx

t

2

+1

dt

1

d(2t − 3)

16. ∫

dx = x = arctgt

= ∫

=

∫

=

2

2tgx − 3

2t − 3 1

+ t

2

2t − 3

dx = dt /(1+ t2 )

=

1

ln | 2t − 3| +C =

1

ln | 2tgx − 3| +C .

2

2

Если требуется найти интеграл от рациональных дробей, аргументами которых являются тригонометрические функции sin x и cos x, то часто применяется универсальная тригонометрическая подстановка:

118

x

t = tg

2

17. ∫

−11sin x − 3cos x −12 dx = x = 2arctg t =

3sin x + 2cos x + 2

2dt

dx

=

2 +1

t

2t

1− t2

−12

−11

− 3

2dt

− 9t2 − 22t −15

= ∫

t2 +1

t2 +1

= ∫

2dt =

2t

1− t

2

t

2

(6t + 4) (t

2

+1)

3

+ 2

+

2

+1

t

2 +

1

t2 +

1

A

+

Bt + C

= ∫

dt =

t

2

3t + 2

+1

Находим

A,B,C из равенства

− 9t2 − 22t −15 = A(t2 +1) + (Bt + C) (3t + 2).

Сначала

в

обе

части

этого

равенства

подставляем t = −

2

:

3

− 9

4

+ 22

2

−15 = −

13

= A

13

9

3

3

9

A = − 3 . Затем приравниваем коэффициенты при t2 и при t0 :

t2 : − 9 = A + 3B = −3+ 3B B = −2 .

t0 : −15 = A+ 2C = −3+ 2C C = −6.

Теперь продолжаем:

=

− 3

∫

d(3t + 2)

+

− 2

∫

d(t2 +1)

− 6∫

dt

=

− ln

3t + 2

− ln

t2 +1

− 6arctg t + C =

3

3t

+ 2

2

2

+

2

+

t

1

t

1

=− ln 3tg x + 2 − ln tg2 x +1 − 3x + C .

22

При интегрировании выражений вида R(x,a2 − x2 ) , R(x,a2 + x2 ) ,

R(x,

x2

− a2 )

можно

применять

тригонометрические подстановки,

позволяющие избавиться от квадратного корня. Для выражений вида

x =

1

R(x,

x2

− a2 )

делаем

замену

переменной

,

для

выражений

asint

R(x,

a2

+ x2 )

осуществляем замену

x = a tgt

, и, наконец для выражений

x = asint ,

R(x,

a2

− x2 )

применяем подстановку

как

это

показано в

следующем примере

x = sint

2

− 4x

2

t − 4sint

18. ∫

5x

dx = dx = costdt = ∫

5sin

costdt =

1− x2

cost

t = arcsin x

119

=	5	∫(1− cos2t)dt − 4∫sintdt =	5	t −	5	sin2t + 4cost + C =
2		2		4

=5 arcsin x − 5 sin(2arcsin x) + 4cos(arcsin x) + C . 2 4

Задачи для самостоятельного решения.

Найти неопределенные интегралы:

1.∫(4x3 − x)dx ;

2.∫(x2 + 3x2 )2 dx ;

3.

∫

3x − 4x2

dx ;

x

3

− 3x5

∫

24

x3

4.

dx ;

x

2

∫

3

x

+ 4x2

5.

dx ;

x

3

6.

∫

3x sin x − 4x3

dx ;

2x

7.

∫(2x + x2 )dx ;

8.

∫

8x

+ 3x x3

dx ;

3

x

9.

∫(2cosx − 3ex )

dx ;

10.

∫(tg2 x +

1

)dx ;

tg

2

x

11.

∫(3sin x − 10)

dx ;

12.

∫

cos2x

dx ;

sin

2

x

13.

∫

dx

;

4 − 4x2

14.

∫

dx

;

4 + 4x2

15.

∫

dx

;

4

+ 4x

2

16.

∫

dx

;

4

− 4x

2

17.

∫

dx

;

4 − 9x2

18.

∫

dx

;

8 + 3x2

19.

∫

dx

;

3

+ 2x

2

20.

∫

dx

;

4x

2

−

25

21.

∫(3x − 2)11 dx ;

22.

∫

dx

;

5x

+

7

23.

∫

dx

;

(2x +

3)

5

24.

∫

dx

;

3

(8 − 5x)4

∫4

25.

(7x − 2)3 dx ;

26.

∫sin(3x − 4)dx ;

27.

∫cos(4 − x)dx ;

28.

∫e−7x+12dx ;

29.

∫

dx

;

sin

2

(5x)

30.

∫

xdx

;

x

2

+ 5

31.

∫ x(x2 + 7)21 dx ;

32.

∫

x

dx ;

8x2

− 4

33.

∫ xsin(2x2

+ 3)dx ;

34.

∫ x2 2− x3

dx ;

35.

∫

x2dx

;

x

6

+ 9

36.

∫

x3dx

;

x

8

− 16

∫cos x

37.

9sin x − 2

dx ;

120