МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

,

,

Приравниваем коэффициенты при неизвестных при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства:

:	,
:	,
:	.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:

решая которую находим		,		.
Таким образом

. Общее решение уравнения запишется так:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

dx

1. (xy + x) dy = 1.

2. (xy2 + x)dx + (x2 y − y)dy = 0. 3. (y − x2 y)dy + (x + xy2 )dx = 0.

4. (1+ x2 )dy − (xy + x)dx = 0.

5. x2 y′ − 2xy = 3y .

6.(sin x)y′ = y ln y .

7.ey (1+ x2 )dy − 2x(1+ ey )dx = 0 .

8.cosx sin ydy − 2x(1+ ey )dx = 0.

9.1 − x 2 y ′ + xy = 0 .

10.y′ = x2ex .

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям:

11.

dy

− dx = 0 ;

y(0) = 3.

12.

dy

+ dx =

dx

; y(0) = 1.

2y

y

x

13.

tgx y′ = 1+ y

;

y(π ) = −

1

.

14. (1− x2 )

dy

+ xy = 0 ; y(0) = 4 .

2

dx

6

dx

π ) = π .

15.

y′ 1− x2 = xy ;

y(1) = 0.

16.

+ ctgx sin ydy = 0 ; y(

cos2 xcos y

3

Уравнения с разделяющимися переменными.

17. (1+ x2 )dy − 2x(y + 3)dx = 0 ;

y(0) = −1.

18.

x(y6 + 1)dx + y2 (x4 + 1)dy = 0

; y(0) = 1.

171

19.

1+ cos2x

+ y′ = 0 ;

π

= 0.

y( 4 )

1+ sin y

20.

y′ + sin(x − y) = sin(x + y) ;

y(π) =

π .

2

Однородные уравнения.

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

21. (x + y)dx + xdy = 0 .

27.

dy

=

y2

−

y

+ 1.

2

2

dx

x

2

x

22.

y′ =

x

+ y

.

xy − y2

xy

28.

y′ =

.

23.

x2 y′ = y2 − xy + x2 .

x2 − 2xy

24. (x − y)ydx = x2dy .

29.

xy′ = y(ln y − ln x) .

xy′ = y + xcos2

y

.

25.

xy′ − y =

x2 + y2 .

30.

26.

xy2dy = (x3 + y3 )dx .

x

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

31.

y′ = 2x + y ;

y(1) = 0.

37.

xy′ = xe x + y ;

y(1) = 0.

y

2x

y

xy + y

2

38.

(xy′ − y)arctg

= x ;

y(1) = 0.

32.

y′ =

;

y(1) = 1.

x

2

x

y

y

π .

33.

(x − y)dx + xdy = 0 ; y(1) = 0.

39.

y′ =

+ sin

;

y(1) =

x

34.

y2dx + (x2 − xy)dy = 0 ;

y(1) = 1.

x

2

y′ =

y2 − 2xy − x2

35.

y′(x2 + xy) = y2 ;

y(2) = 2 .

40.

; y(1) = −1.

y

2

+ 2xy − x

2

y

π

36.

xy′ − y = xtg

;

y(1)

=

2

.

x

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

41.	y′ + xy = 4x .									51.	(1+ x2 )y′ + y = arctgx .
					y					52.	y′xln x − y = 3x3 ln2 x .
42.		y′ =				− 1.
					x					53.	y′ + xex y = e(1−x)ex .
43.		dy	+ y = e−x .							54.	y = xy′ + y′ ln y .
		dx												y
44.		y′ − 2xy = (x − x3 )ex2 .								55.	y′ =					.
45.		x2 y′ = 2xy − 3.										2y ln y + y − x
										56.	y′ + 2xy = 2xy2 .
46.	(1+ x2 )y′ − 2xy = (1+ x2 )2 .									57.	3xy2 y′ − 2y3				= x3 .
47.		x(y′ − y) = (1+ x2 )ex .											y	= y−1 cosx .
					2y					58.	2y′ ln x +
48.		y′ −					= (x + 1)	3	.				x
				x + 1						59.	y′ − ycosx = y2 cosx .
49.		y′ + 2xy = 2x3 .								60.	(x2 ln y − x)y′ = y .
50.		y′ − y sin x = sin xcos x .

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

172

61.	xy′ + y = 3; y(1) = 0.								67.	y′ −			y							= x ln x ;							y(e) =			e2		.
62.	y′ − 2y + 3 = 0;							y(0) = 1.
												x ln x																			2
63.	xy′ − 2y = x3ex ;							y(1) = 0.											x									9
									68.	y′ + y = e														; y(0) =					.
																		2					y
				1																							4
64.	y′ − ytgx =							; y(0) = 0.		y′ +		3x2 y
						cosx			69.													= y2 (x3 + 1)sin x ;										y(0) = 1.
								y(2) = 3.
65.	xy′ + y = x + 1;											x3 + 1
									70. (y2 + 2y + x2 )y′ + 2x = 0; y(1) = 0.
66.	y′ 1− x2 + y = arcsin x ; y(0) = 0 .
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
71.	yIV = x .								80.	y′′ − 2ctgx y′ = sin3 x .
72.	y′′′ = x + cosx .
									81.	y′′ =				1+ (y′)2 .
73.	y′′′ sin		4	x = sin2x .					82.	2yy′′ − 3(y′)													2	= 4y		2	.
74.	y′′ = 2xln x .								83.	y(1− ln y)y′′ + (1+ ln y)(y′)																					2	= 0.
75.	y(n) = eax .								84.	y′′ =			y′				.
76.	xy′′ + y′ = 0 .
															y
77.	xln x y′′ = y′ .								85.	yy′′ − (y′)2												= y2 y′ .

78.xy′′ = y′(ln y′ − ln x) .

79.2xy′′′ y′′ = (y′′)2 − a2 .

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

86.y′′(x + 2)5 = 1; y(−1) = 121 , y′(−1) = − 41 .

87.y′′ = xex ; y(0) = y′(0) = 0.

88. y′′′ = xsin x ; y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 2 .

89.	y′′ =		1				; y(0) = 1, y′(0) =							3	.
			2		x
		cos										5
90.	y′′(x2		+ 1) = 2xy′ ;						y(0) = 1, y′(0) = 3.
			y′				x2
	2y′′ =				+				2								2
91.								; y(1) =					, y′(1)			=			.
			x				y′			5							2
92.	y′′′(x − 1) − y′′ = 0;								y(2) = 2, y′(2) = 1, y′′(2) = 1.
93.	y′′ = 2yy′ ;						y(0) = y′(0) = 1.

y′

94.y′′ − x − 1 = x(x − 1) ; y(2) = 1, y′(2) = −1.

95. yy′′ − (y′)2 = y2 ln y ; y(0) = 1, y′(0) = 1.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

	96.	y′′ − y = 0 .		1
			101.	y′′ − y′ +		y = 0 .
	97.	y′′ − 4y′ + 3y = 0 .			4
	98.	y′′ + y′ − 2y = 0.	102.	y′′ − 6y′ + 9y = 0 .
			103.	y′′ + y = 0 .
	99.	y′′ − 5y′ + 4y = 0.
			104.	y′′ − 2y′ + 2y = 0.
	100. y′′ − 2y′ + y = 0.

173

105. y′′ + 6y′ + 13y = 0 .

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

106.	y′′ − 9y = 0 ; y(0) = 2, y′(0) = 6.
107. 107. y′′ + 3y′ + 2y = 0 ;				y(0) = −1, y′(0) = 3 .
108.	y′′ − 4y′ + 3y = 0	;	y(0)	= 6, y′(0) = 10 .
109.	y′′ + 6y′ + 9y = 0 ;		y(0) = 2, y′(0) = 3.
110.	y′′ − 2y′ + 2y = 0;		y(0)	= 1, y′(0) = 3.

Найти общие решения дифференциальных уравнений:

	111.	y′′ + 2y′ − 3y = 1.			130.	y′′ − 3y′ + 2y = 3cos x + 19sin x .
	112.	y′′ + 3y′ = 3.			131.	y′′ − 2y′ − 8y = 12sin2x − 36cos2x .
	113.	y′′ + 4y′ − 5y = 2 .			132.	y′′ + 6y′ + 13y = e−3x cos2x .
	114.	2y′′ + y′ − y = 2ex .			133.	y′′ − 4y′ + 8y = e2x (sin2x − cos2x) .
	115.	y′′ + 3y′ = ex .			134.	y′′ + y = 4xcosx .
	116.	y′′ + 2y′ + y = 6e− x .			135.	y′′ + y = x2 sin x .
	117.	y′′ − 8y′ + 17y = 10e2x .			136.	y′′ − 3y′ + 2y = 3x + 5sin2x .
	118.	y′′ + 2y′ − 3y = x .			137.	y′′ − 4y′ + 4y = 2sin2x + 2x .
	119.	y′′ − 6y′ + 9y = 2x2 − x + 3.			138.	y′′ − 3y′ + 2y = e−2x + 1.
	120.	y′′ + y′ = 2x − 1.			139.	y′′ − y′ − 2y = ex + e−2x .
	121.	y′′ − 7y′ = (x − 1)2 .			140.	y′′ + y′ = x2			− e− x .
	122. y′′ + y′ − 6y = (6x + 1)e3x .				141.	y′′ − 3y′ = 1+ ex + cosx + sin x .
	123.	y′′ − 2y′ = (4x + 4)e2x .			142.	y′′ + y =		1		.
	124.	y′′ − 4y′ = xe4x .						sin x				1
		3			143.	y′′ + 5y′ + 6y =									.
	125.	4y′′ − 3y′ = xe	4	x .									1+ e2x
	126.	y′′ + y = 4sin x .			144.	y′′ + y =		1				.
	127.	y′′ + 25y = cos5x .						cos	3	x
													ex
	128.	y′′ + 16y = 8cos4x .
					145.	y′′ − 2y′ + y =						x2 + 1 .
	129.	y′′ + 6y′ + 13y = −75sin2x .

Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

146.y′′ − y′ − 6y = 2 ; y(0) = 1, y′(0) = 0.

147.y′′ − 9y = 2 − x ; y(0) = 0, y′(0) = 1.

148.	y′′ + 2y′ + 2y = 2x2 + 8x + 6 ; y(0) = 1, y′(0) = 4.
149.	y′′ + 2y′ = 6x2 + 2x + 1; y(0) = 2, y′(0) = 2 .
150.	y′′ − y′ = 2 − 2x ; y(0) = 1, y′(0) = 1.
151.	y′′ − 4y′ + 3y = e5x ; y(0) = 3, y′(0) = 9.
152.	y′′ + 2y′ + y = (18x + 8)e− x ; y(0) = 2, y′(0) = 0 .
153.	y′′ − 4y′ + 20y = 16xe2x ; y(0) = 1, y′(0) = 2.
154.	y′′ + 4y = 2cos2t ; y(0) = 0, y′(0) = 4 .
155.	y′′ − 3y′ + 2y = − sin x − 7cosx ; y(0) = 2, y′(0) = 7.

174

n=0

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией и его n- ая частичная сумма Sn совпадает с суммой n первых членов геометрической

прогрессии, поэтому S = a + aq + aq2 +K + aqn−1 = a 1− qn ) .

n 1− q

175

a ≠ 0.

Пример 1.

Исследовать сходимость ряда

∞

∑aqn = a + aq + aq2 +K + aqn−1 +K,

Из необходимого признака следует , что если

8. РЯДЫ

∞

Числовым рядом называется выражение ∑un = u1 + u2 + u3 +K + un +K,

n=1

а числа u1 ,u2 ,u3 Kun K членами ряда. Эти числа образуют бесконечную числовую последовательность. Чтобы задать ряд, надо задать формулу n-го (общего) члена ряда un =f(n). Сумма n первых членов ряда называется n-ой

∞

частичной суммой ряда и обозначается Sn = ∑un = u1 + u2 + u3 +K + un .

n=1

Если существует предел S бесконечной последовательности {Sn} час-

тичных сумм, то есть lim Sn = S , то этот предел называется суммой ряда , а

n→∞

сам ряд в этом случае называют сходящимся. Если же предел lim Sn не су-

n→∞

ществует, то ряд называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Необходимый признак сходимости.

∞

Если ряд ∑un

n=1

т.е. limun = 0 .

n→∞

сходится, то его общий член стремится к нулю при n → ∞ ,

limun ≠ 0 , то ряд расходится.

n→∞

= lim

a 1− qn )

=

a

− a lim

qn

Найдем предел этой суммы lim S

n

. В зависимо-

n→∞

n→∞ 1− q

1− q

n→∞ 1

− q

сти от величины q возможны случаи:

1. Если

q

< 1, то qn → 0

при n → ∞ . Поэтому lim S

n

=

a

, исходный

ряд схо-

a

n→∞

1− q

дится и его сумма равна

.

1− q

2. . Если

q

> 1, то qn → ∞ при n → ∞ . Поэтому lim Sn

= ∞ , исходный

ряд рас-

ходится.

n→∞

3. . Если

q

= 1, то при q = 1 ряд приобретает вид

a+a+a+…+a+…, для него

Sn = na и

lim Sn = ∞ , т.е. ряд расходится. При

q = −1

ряд приобретает вид a-

n→∞

a+a-a+…, для него Sn = 0 при четном n и Sn = a при нечетном n. Следователь-

но lim Sn

не существует и исходный ряд расходится.

n→∞

Таким образом,

ряд геометрической прогрессии сходится при

q

< 1 и рас-

ходится при

q

≥1.

∞

n

2

Пример 2. Выяснить, сходится ряд или расходится

∑

.

1+ n

2

n=0

Общий

член

этого

ряда

u

=

n2

и

n

+ n2

1

limu

= lim

n2

= lim

1

= 1.

Так как limu

≠ 0 , то на основании необхо-

n

+ n2

1

n

n→∞

n→∞ 1

n→∞

n→∞

1

+

n2

димого признака ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами

176

∞	∞
∑un (1) и	∑vn (2).
n=1	n=1
Первый признак сравнения.

Если, начиная с некоторого N для всех членов рядов (1), (2) при n > N выполняется неравенство un <vn , то

1)ряд (1) сходится, если сходится ряд (2);

2)ряд (2) расходится, если расходится ряд (1).

Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел

то ряды (1) и (2) или оба сходятся или оба расходятся.

lim un = A ≠ 0 ,

n→∞ vn

При использовании признаков сравнения исследуемый ряд часто срав-

нивают или с бесконечной геометрической прогрессией или с расходящимся

		∞
гармоническим рядом ∑			1	. Можно сравнивать и с другими известными ря-
		n=1 n
дами.
Признак Даламбера.
Пусть	для	ряда			(1)			с	положительными	членами
существует конечный предел					lim	un+1		= q .	Тогда:
					n→∞ u		n

1)ряд (1) сходится, если q<1;

2)ряд (1) расходится, если q>1;

3)в случае q=1 ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Радикальныйпризнак Коши.

Пусть для ряда (1) с положительными членами существует конечный пре-

дел lim n un = q .

n→∞

Тогда: 1) ряд (1) сходится, если q<1;

177

2)ряд (1) расходится, если q>1;

3)в случае q=1 ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Интегральный признак Коши.

Если f(x) неотрицательная невозрастающая функция при x>0, причём f(n) = un, то ряд (1) сходится или расходится одновременно с интегралом

∞

∫ f (x)dx .

1

Пример 3. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда

∞		1
∑				.
	1+ 3		n
n=1

Сравним данный ряд с рядом бесконечной геометрической прогрессии

∞	1		1			1			1
∑		, который сходится так как q =		< 1. Имеем				<		. Следовательно,
	n				1+ 3		n		n
n=1	3	3						3

по первому признаку сравнения ряд сходится.

Пример 4. Используя признак сравнения, исследовать сходимость ряда

∑∞ sin 1 .

n=1 n

∞

Сравним данный ряд с гармоническим рядом ∑

1

, который является

n=1 n

un

sin

1

= t

sin t

1

расходящимся. Имеем lim

= lim

n

=

= lim

= 1. По второму при-

n

1

n→∞ vn n→∞

t → 0

t→0

t

n

знаку сравнения гармонический ряд и данный ряд ведут себя одинаково, поэтому из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера

∑∞ n +1 .

n=1 2n n!

178

n +1

(n +1) +1

n + 2

Имеем

un =

,

un+1 =

=

,

тогда

2n n!

2n+1(n +1)!

2n+1(n +1)!

1

2

un+1

(n + 2)2n n!

1

n + 2

1

+

q = lim

= lim

=

lim

=

lim

n

n2

= 0. Так как q<1, то

n→∞ u

n→∞ (n +1)2n+1(n +1)!

2 n→∞ 1+ n)2

2 n→∞

1

2

n

1+ n2 )

согласно признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака

∑∞ 3n +1 n

Коши .

n=1 2n − 3

3n +1 n

3n +1 n

3n +1

3

Имеем u

n

=

, тогда q = lim n u

n

= lim n

= lim

=

.

2n − 3

n→∞

n→∞

2n − 3

n→∞ 2n − 3 2

Так как q>1, то согласно признаку Коши ряд расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального призна-

ка Коши ∑∞ ln2 n .

n=1 n

Используя

общий

член

ряда

un

=

ln2 n

,

составим

функцию

n

f

( x ) =

ln 2

x

.

Вычислим

интеграл

x

∞

ln

2

x

∞

ln

3

x

∞ = lim

ln

3

x

3

∫

dx =∫ln2 xdl(ln x) =

− lim

ln

1

= ∞ .

Интеграл

расходится,

x

3

x→∞ 3

x→∞

3

1

1

1

следовательно данный ряд расходится.

Знакопеременные ряды.

∞

Числовой ряд ∑un (3), содержащий как положительные так и отрицатель-

n=1

ные члены, называется знакопеременны.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда

179

Пусть ряд (3)является знакопеременным. Рассмотрим ряд, составленный

∞

из абсолютных величин членов данного ряда:∑ un (4).

n=1

Если ряд (4) сходится, то и ряд (3) тоже сходится. Ряд (3) при этом называется абсолютно сходящимся. Если ряд (3) сходится, а (4) расходится, то ряд (3) называется условно (не абсолютно) сходящимся.

Знакочередующиесяряды.

∞

Знакопеременный ряд вида ∑(−1)n un , (un >0) называется знакочередующим-

n=1

ся.

Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда, начиная с некоторого номера N,

1) монотонно убывают по абсолютной величине

uN. > uN+1 > uN+2 > ... и

2) стремятся к нулю limun = 0 ,

n→∞

то ряд сходится и его сумма не превышает первого члена ряда.

	∞	1
	Пример 8. Исследовать сходимость ряда Лейбница ∑(−1)n+1		.
	n=1	n

Данный ряд сходится по признаку Лейбница так как 1 >	1	>	1	> ... >	1	> .... и
2		3			n

lim 1 = 0 . В то же время, ряд, составленный из абсолютных величин его чле-

n→∞ n

	∞	1
	нов, ∑		расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница -
	n=1	n

условно (не абсолютно) сходящийся ряд.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

180