4.2.Методические указания и план решения расчетной работы № 1

Случай регулярной прецессии это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис.4.2) во все время движения остаются постоянными:

угол нутации

угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость

угловое ускорение

1. Найти неподвижную точку вращающегося тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной и связанной координатных систем. Выбрать оси прецессии -, ротации -, нутации -(или).

2. Определить угловые скорости прецессии , нутации, ротации, мгновенную угловую скоростьи мгновенную ось вращения.

В зависимости от задания движения твердого тела вектор можно найти двумя способами:

Рис.4.2

─1) определить по ее составляющим

=++;

─2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать. По известной скоростикакой-либо точкиМ твердого тела и положении осинаходят величину:, где─ перпендикуляр, опущенный из точкиМ на ось.

3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессиии является закрепленным в точкеОвектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле , величина скорости равна.

5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела. Ускорение любой точки твердого тела следует определить по формуле

+,

где =─ осестремительное ускорение, величина его

=,

=─ вращательное ускорение, величина которого=.

Так как всегда направлено от точки пок оси, можно не пользоваться векторной формой для. Что же касается, то его следует находить только по векторной форме.

Поскольку, при вращении около полюса вектор не коллинеарен, тои, вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение+должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

.

Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

и+,

где ─ нормальное ускорение;─ касательное ускорение, при регулярной прецессии= 0.

Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.

4.3. Пример 4.1решения расчетной работы № 1 (рис.4.3). Тема: вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 

случай регулярной прецессии.

Конус 1 с углом 2=60при вершине катится по неподвижному конусу 2 с углом 2=120при вершине без скольжения, при этом вершинаОконуса 1остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью,в данный момент времени (рис.4.3).,ОА=ОВ=2м.

Определить:1. Угол нутации, угловую скорость нутации, прецессии, ротациии мгновенную угловую скорость.

2. Угловое ускорение конуса .

3. Скорости точек АиВ ,.

4. Ускорения точек А,В, С,,(найти осе стремительноеи вращательноеускорения точкиС).

Рис.4.3

Решение. Введем неподвижную систему координатOXYZ с началом в точкеОконуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующейОА,равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1совпадает с образующейОА.

1. Угол нутации :

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращенияи центр которой лежит на, с другой стороны,  окружность, плоскость которой перпендикулярна осиОY оси прецессии и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

, (4.1)

где кратчайшее расстояние от точкиСдо мгновенной оси 

, то

1/с =const. (4.2)

Учитывая заданное направление вектора ,, отложим от точкиО вдоль мгновенной оси=ОА вектортак, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой осив направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (см. рис.4.3).

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

, (4.3)

где кратчайшее расстояние от точкиСдо осиОY равно

.

3.Отсюда находим модуль угловой скорости прецессии:

1/с (4.4)

Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случаепо ходу часовой стрелки, поэтому

OY( оси прецессии).

3.Векторное равенство , где линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно : (); линией действия вектораявляется мгновенная ось вращения; линией действия вектора OY является ось прецессииOY, линией действия вектораявляется ось ротацииO y(см. рис.4.3). Таким образом, модуль угловой скорости ротации равен

=const . (4.5)

4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением, т.е. вектор OZ,так как с конца осиOZ поворот векторак векторукажется по ходу часовой стрелки; модуль углового ускорения определяется как

рад/с² . (4.6)

5. Скорости точек конуса 1:

Скорость точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1.

Скорость точки В

, где,

м/с и вектор.

6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А конуса 1

где .

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторыи, т.е. перпендикулярноОА в сторону .

Таким образом,

Для точки В конуса1

Вектор направлен от точкиBк мгновенной оси вращения конуса 1 (см. рис.4 3).

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи, принадлежит плоскостиОXY, т.е. направлен перпендикулярноОB в сторону .

где.

Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах,:

.

Для точки С конуса1

а) EMBED Equation.DSMT4

Вектор направлен от точкиСк мгновенной оси вращения

кoнуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи, принадлежит плоскостиОXY, т.е. направлен перпендикулярноОС в сторону (см. рис.4.3).

б)

Таким образом =м/с²

Ответ: 1. Угол нутации=/2; угловая скорость нутации=0;

прецессии =1/с; ротации= 31/с; мгновенная угловая скорость= 21/с.

2. Угловое ускорение конуса =31/с².

3. Скорости точек АиВ = 0;=6[ м/с ].

4. Ускорения точек А,В, С=6;=18;= 3[ м/c²];

осестремительное ускорение точки С= 6м/с²;

вращательное ускорение точки С= 9 м/с².