5.2. Пример 5.1 выполнения второй расчетной работы №2
на тему: динамика несвободной механической системы
с двумя степенями свободы
Дано:
Центры однородных дисков, способных
катиться по горизонтальной плоскости
без скольжения, связаны пружиной,
коэффициент жесткости которой равен
C.
Массы дисков m1
и m2.
К диску 1 приложен момент сил
сопротивления качению M1Z =
–
ω1Z,
а к диску 2 — M2Z = –
ω2Z
,
пропорциональные соответствующим
угловым скоростям. К центру диска 2
приложена постоянная по величине сила
F–,
составляющая угол Ψ
с горизонтом. Угол Ψ
линейно зависит от времени: Ψ = ω
t.
Составить дифференциальные уравнения движения системы и рассчитать конкретное движение на ЭВМ.
Схема системы приведена на рис. 5.2..
Рис. 5.2
В соответствии с главой 2 составим дифференциальные уравнения, описывающие движение системы (рис.5.2).
1. Выберем обобщенные координаты. Для этого введем горизонтальные оси O1X1 и O2X2, неизменно связанные с плоскостью, по которой катятся диски. Начала отсчета O1 и O2 на этих осях выберем так, чтобы расстояние O1O2 равнялось длине недеформируемой пружины. В качестве обобщенных координат выберем координату центра A диска 1 на оси OX1 и координату центра B диска 2 на оси OX2:
q1 = x1A, q2 = x2B.
2. Представим
кинетическую энергию системы в виде
T = T(t,
q1,
q2,
q.
1,
q.
2).
Она складывается из кинетических энергий
дисков, каждый из которых совершает
плоскопараллельное движение. При этом
T = T1 + T2,
где
,
.
В итоге,
переходя к обозначениям q.1 = x.1A,
q.2 = x.2B,
получим
.
(5.1)
3. Определим обобщенные силы. Для этого рассмотрим систему сил, приложенных к системе материальных точек и состоящую из сил, не зависящих от ограничивающих тел и сил трения. В эту систему сил войдут сила F–, силы тяжести P–1 и P–2, реакции пружины R–1, R–2, моменты сил сопротивления M–1 и M–2. Введем в рассмотрение оси AZ1 и BZ2 (см. рис. 5.2). Алгебраические величины указанных сил и моментов на соответствующих осях могут быть записаны в виде
(5.2)
При записи выражений для сил реакций пружины учтем, что в силу выбора обобщенных координат разница между текущей длиной пружины l и длиной недеформированной пружины l0 равна разности координат центров дисков:
l – l0 = x2B + l0 – x1A – l0 = x2B – x1A,
поэтому
(5.3)
Рассмотрим виртуальное перемещение системы, при котором обобщенная координата q1 = x1A получает приращение δq1 = δx1A, а обобщенная координата q2 = x2B не меняется. Сосчитаем виртуальную работу:
δAq1 = R1X1 δx1A + M1Zδφ1,
где
—
приращение угла поворота, соответствующее
приращению δx1A
координаты центра диска 1. Тогда
(5.4)
Отсюда с учетом (5.3), (5.4), получим выражение для первой обобщенной силы:
(5.5)
Рассмотрим виртуальное перемещение системы, при котором обобщенная координата q1 = x1A не меняется, а обобщенная координата q2 = x2B получает приращение δq2 = δx2B. Аналогично (5.3)—(5.5) сосчитаем виртуальную работу и получим выражение для обобщенной силы:
4. Дифференцируя выражение для кинетической энергии (5.1), составим уравнения Лагранжа II рода. Они запишутся в виде
(5.6)
или
Г л а в а 6