Пример 6.2 выполнения расчетной работы по динамике несвободной механической системы с тремя степенями свободы (рис.6.3.1)

Рис.6. 3.1 Рекомендуемые значения физических величин (рис.6.3.1): m₁ = 3 700 кг – масса тела; J₁ = 10 300 кг·м² –

момент инерции относительно оси О₁Z₁; l₁ = 3,8 м – расстояние от точки С до точки К ;

Координаты центра масс тела О₁ в системе координат

СX₁Y₁Z₁: х₁₀ = 3,8 м , y₁₀ = 0,8 м, y₂₀ = 1,0 м – расстояние

Рис.6.3.1

от линии действия силы до осиСХ₁ ;

С₁ = 2,0·10⁶ Н/м – жесткость пружины КМ ;

С₂ = 2,0·10⁷ Н/м – жесткость пружины CD ;

С₃ = 2,0·10⁷ Н/м – жесткость пружины СЕ ;

С_ц = 2,0·10⁶ Нм/рад – жесткость спиральной пружины;

ц₀ = 6°, 30° – угол начального положения.

За обобщённые координаты приняты следующие параметры: q₁ = x_C , q₂ = y_C , q₃ = ц.

q₁ = x_C – перемещение шарнира С по горизонтальной оси, отсчитанное от положения статического равновесия пружины CD ;

q2 = yC – перемещение шарнира С вдоль вертикальной оси, отсчитанное от положения статического равновесия пружины CЕ ;

q3 =  – угол поворота тела, отсчитанный от горизонтали СХ1.

2 Кинетическая энергия рассматриваемого тела, совершающего плоско-параллельное движение относительно неподвижной системы отсчета и связанной с ней системой координат XOYZ:

.

Формулы преобразования координат от СX₁Y₁Z₁ к XOYZ и поворотная матрица относительно оси СZ в соответствии с формулами (3.18) и 3.19 главы 3 имеют вид:

 для центра масс тела 1

Матрица скоростей:

Квадрат абсолютной скорости центра масс тела в обобщённых координатах:

Кинетическую энергию тела представим как функцию времени t, обобщенных координат ₁ = x_C , q₂ = y_C , q₃ = ц и обобщенных скоростей , а именно:

T = T (q₁=x_C, q₂ = y_C ,q₃ = ц, , t).

3 Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид

;

Частные производные по обобщённым координатам

; ;

Частные производные по обобщённым скоростям

Полные производные по времени

Запишем окончательно левые части уравнений Лагранжа, второго рода, оставив только слагаемые со вторыми производными от обобщенных координат. Все остальные слагаемые перенесем в правую часть уравнения, обозначив их как.

где

где ;

где

Для нахождения обобщенных сил рассмотрим приложенные к системе силы.

Определим первоначальные сжатия пружин КМ и СЕ в положении статического равновесия.

Уравнение равенства моментов при t=0 относительно оси CZ₁

где момент силы тяжести в момент времени t=0;

–момент силы упругости пружины КМ .

Отсюда

первоначальное сжатие пружины КМ.

Уравнение равенства сил по оси OY

где  сила упругости пружины КМ ;

 сила упругости пружины СЕ .

Отсюда

первоначальное сжатие пружины СЕ

Силы, действующие на тело в текущий момент времени t :

сила тяжести;

переменная нагрузка, прикладываемая к телу;

где Р₁ = 2,37·10⁶ Н  максимальная нагрузка;

а₁ = 6,68·10¹⁰ Н/с²  коэффициент;

t₁ = 0,005 с  временной параметр.

где  координата точки К в момент времени t ;

 координата точки К в начальный момент времени;

 константа;

сила упругости пружины CD ;

сила упругости пружины СЕ .

Моменты, действующие на тело, относительно оси CZ₁

–момент силы тяжести;

момент переменной нагрузки;

момент силы упругости пружины КМ ;

момент спиральной пружины.

Виртуальная работа

(_*)

Так как обобщённые координаты независимые друг от друга параметры, то и их вариации тоже независимые. Поэтому, используя принцип замораживания, находим виртуальные работы, соответствующие виртуальным перемещениям поочередно.

1) ,

,

2), (**)

,

3),

,

Сравнивая множители в соответствующих формулах виртуальных работ (**) перед вариациями соответствующих обобщённых координат и в формуле (*), находим обобщённые силы, соответствующие обобщённым координатам.