2.4 Обобщенные координаты. Число степеней свободы механической системы

Пусть механическая система состоит из n материальных точек.

Положение такой системы в пространстве определяется 3n декартовыми координатами. Если на систему наложеноh голономных удерживающих связей, то независимыми между собой будут не3n,а

s =3n – hвариаций координат, а остальныеh– зависимые.

Число независимых изохронных вариаций координат – число независимых виртуальных перемещений – называется числом степеней свободы системы.

Выбрав s =3n – h декартовых координат системы в качестве независимых, остальные h координат можно найти при помощи уравнений связей. Выбор декартовых координат в качестве независимых для ряда задач механики оказываются нерациональным, так как приводит к громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно использовать и другие независимые координаты.

Обобщенными (лагранжевыми) координатами называютсянезависимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение несвободной механической системы в пространстве, в любой момент времени; обозначаются q_i (t), где i=1,2,…,s;

число их равно числу степеней свободы (i= s); они имеют начало отсчета и направление; для системы, состоящей изnматериальных точек, на которые наложеноhголономных удерживающих связей, через обобщенные координаты должны быть выраженыs =3n – h независимых декартовых координат. Остальные декартовы координаты выражаются через те же обобщенные координаты с помощьюhуравнений связей. Следовательно, и радиус векторы всех точек системы выражаются через обобщенные координаты:

(2.11)

Таким образом, обобщенные координаты q₁, q₂,…,q_i ,…,q_s

обладают следующими свойствами: они

1. вещественны, т.е. не могут принимать комплексных значений;

2. независимы друг от друга;

3. имеют самостоятельный геометрический смысл –это значит, что эти переменные определяют положение системы, т.е. значения декартовых координат ее точек до написания (и тем более до интегрирования) уравнений движения.

Производные от обобщенных координат по времени называютсяобобщенными скоростями.

На практике при выборе обобщенных координат q_i, как правило, нет необходимости в выписывании явных выражений для функцийq_k (t, X_j).

Например, если точка находится на поверхности сферы с радиусом

r=r(t), то в качестве обобщенных координатq_i (i= 1,2,3), можно принять углы Эйлера:- угол прецессии,- угол нутации,- угол ротации (или собственного вращения) сферической системы координат.

Обобщенные координаты могут быть выбраны удачно – решение конкретной задачи благодаря такому выбору может быть получено проще и форма его может быть более наглядной. В иных случаях выбор координат q_i не будет таким удачным. Общего правила, как выбирать обобщенные координаты, не существует. Можно высказать лишь некоторые наводящие соображения, связанные со структурой системы и с характером силовых полей. Главное здесь – это личный опыт, приобретаемый при решении задач.

В качестве обобщенных координатмогут приниматься не только линейные (отрезки прямых), но и угловые (дуги, углы) перемещения, а также любые другие параметры, удовлетворяющие определению обобщенных координат. Отметим, что для одной и той же механической системы может быть несколько вариантов обобщенных координат. Конкретный выбор обобщенных координат определяется поставленной задачей.

Пример 2.8, Все декартовы координаты точек выразить через обобщенные координаты. Так, положение кривошипно-ползунного механизма, показанного на рис.2.6, определяется двумя его точкамиА и В.Из четырех декартовых координат

Рис.2.6 (x_А ,y_А , x_В , y_В) независимой будет только одна, так как числоh голономных удерживающих связей равно трем (h = 3):

длина кривошипа ОА = l₁=const,

длина шатуна АВ =l₂ =const,

 координата y_B =0.

Если за независимую декартову координату принять x_А, а за обобщеннуюугол (q = ) поворота кривошипа (1) против часовой стрелки, тоx_А= l₁ cos. Другие декартовы координаты точек системы определим с помощью уравнений связей. Из уравнения

x_А ²+y_А ²– l₁ ²= 0 находимy_А =l₁ sin. Ордината y_B =0.

Из условия (x_В x_А ) ² + y_А²  l₂ ²= 0 получаем

x_В ²=2 l₁ x_В cos + l₂ ²– l₁². Еслиl₂= l₁,то x_В=2 l₁ cos.

Таким образом, все декартовы координаты точек системы выражены через угол , принятый за обобщенную координатуq =.

Пример 2.9. Выразить виртуальные перемещения точекАи В стержня (рис.2.7) через его обобщенную координату.

Решение.Положение стержня в плоскостиxOy определяется четырьмя декартовыми координатами точекАи В.Уравнения голономных стационарных удерживающих связей, наложенных на стержень, имеют видx_В=0; ,y_А=0; x_А ²  y_В² – l ²= 0,

Рис. 2.7 гдеl = АВ.

Число степеней свободы s= 1, и в качестве обобщенной

координаты можно выбрать угол q = , который стержень образует с осьюOx.

Радиус-вектор точки Аравен Так какx_А= lcos, то

Аналогично радиус-вектор точки В равен y_А= lsin, то

Примеры определения числа степеней свободы