2.8. Уравнения Лагранжа второго рода
(без вывода)(
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, составленные в обобщенных координатах. Рассматривается движение системы, состоящей изnматериальных точек относительно инерциальной системы отсчета. Наложенные на системуhсвязейголономные, удерживающие, нестационарные. Если связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.
Пусть система имеет s
= 3n – h
степеней свободы и ее положение
определяетсяq1,
q2,…, qi,…,
qs
обобщенными координатами и
радиус-вектор любой точки этой системы
определяется формулой (2.11), а именно
.
Виртуальное перемещениеk-й точки согласно (2.14)
Тогдауравнение Лагранжа второго рода представляет следующий алгоритм действий:
(2.34))
Здесь T кинетическая энергия механической системы.
Формулировка уравнения (2.34) :
Полная производная по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости минус частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе, соответствующей обобщенной координате.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
В уравнения Лагранжа не входят заранее неизвестные реакции идеальных связей.
Как уже говорилось выше (2.33), если силы, действующие на систему потенциальные, то
В таком случае уравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:
(2.35)
Функция, равная разности кинетической и потенциальных энергий механической системы, называется функцией Лагранжа:
L = T – П.
Так как потенциальная энергия системы является функцией только обобщенных координат, то
При использовании функции Лагранжа
уравнения (2.35) принимают вид
(2.36)
Кинетическая энергия механической системы, состоящей из n материальных точек, как известно, определяется по формуле
(2.37
Если данная система с голономными
нестационарными связями имеет s
степеней свободы, то
и скоростьk –й
точки
(2.38)
Принимая во внимание выражение (2.38), кинетическую энергию системы можно записать в виде:
=
(2.39)
где
Если наложенные на систему связи
стационарные, то
и тогда Bi= 0,C= 0. В этом случае кинетическая энергия системы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей:
(2.40)
Производные от кинетической энергии
(2.40) по обобщенной скорости
и времени , соответствующие левой части
уравнений Лагранжа второго рода (2.34),
равны
Так как 
то 
Подставляя эти выражения в уравнение Лагранжа, получаем
(2.41)
Как говорилось выше, обобщенные силы являются функциями обобщенных координат, времени и, возможно, обобщенных скоростей, каждое из уравнений имеет второй порядок. Порядок уравнений не изменится и при нестационарных связях, так как в этом случае в выражения (2.41) войдут слагаемые, зависящие только от обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.
Таким образом, уравнения Лагранжа второго родадля механической системы сголономными связями представляют собойсистему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n относительно обобщенных координат.
Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики систем и широко используются для решения многих задач динамики многопараметрических систем. Следует отметить, что для понимания существа и особенностей метода Лагранжа недостаточно изучения одной теории : необходимо рассматривать много примеров и задач. Изучение уравнений Лагранжа должно быть предметным.