2.7. Обобщенные силы

В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определенияобобщенной силырассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.

(2.24)

Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих hсвязях имеетs =3n-h степеней свободы,то положение этой системы определяется (i=s)

обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещениеk – й точки

(2.13)

(2.14)

Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил

(2.24), получаем

(2.25)

Скалярную величину =(2.26)

называют обобщенной силой, соответствующейi-й обобщенной координате.

Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.

Виртуальная работаопределяется от

 задаваемых активных сил, независящих от ограничений и

 реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T_jот N_j, (T_jэто, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).

В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, чтообобщенная силаскалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся иобобщенные силы.

Пример 2.10.Для диска радиусомr и массойm , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:

 либо q = s перемещение центра масс диска,

либо q=угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то :

в первом случае обобщенной силой будет

Рис. 2.9Q_s =mgsin, а

во втором случае Q_ =mgrcos.

Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)

(2.27)

следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.

Если в качестве обобщенной координаты qпринятьq = s перемещение какой-либо точки, то единица измеренияобобщенной силы Q_s будет [ньютон],

Если же в качестве q=будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измеренияобобщенной силы Q_ будет [ньютон  метр].

Существуют различные способы вычисления обобщенных сил.

1. Согласно определению ( 2.26) , обобщенная сила

Принимая во внимание, что , получаем

(2.28)

Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.

Пример 2.11. Найти обобщенную силуQ_q=, если в кривошипно-ползунном механизме (рис.2.10)OA=AB= l, вертикальная, а горизонтальная силы.

Решение.Так какF_1x=0 и F_2y=0,то обобщенная сила согласно (2.28)

Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как

F_1y= F₁; F_2x= F₂;

Рис.2.10 y_A = l sin  ; x_B = 2 l cos .

Следовательно, Q_q= = F₁ lcos+ 2F₂ l sin .

2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной

силы, полезный при решении задач.

Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k  1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит и их вариации независимы между собой.Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.27)

. получаем

(2.29)

откуда (2.30)

Индекс q_i в (2.30) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только однойi–й обобщенной координаты.

Пример 2.12Найти обобщенные силыидля системы, показанной на рис. 2.11. Масса груза (1) равна m₁ ,масса цилиндра (2) равнаm₂, а его радиус r. Нить по блоку (3) и цилиндру (2) не скользит. Центр масс цилиндра (2) движется вдоль вертикали.

Решение. Для определения обобщенной силызададим приращениеs  0 координате груза (1), а для угла поворота цилиндра (2) ,будем считать

 =0. При этом центр масс цилиндра (2)

будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,

Рис.2.11

где P₁ =m₁ g; P₂ =m₂ g .

Определяя , будем полагать, чтоs=0, а   0. Тогда

3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных сил можно использовать силовую функциюU или потенциальную энергиюПсистемы.

Потенциальная сила

(2.31)

Подставляя проекции силы в (2.30) , получаем

(2.32

Так как U = П + const, то

(2.33)

Пример 2.13. В системе, показанной на рис. 2.12 , массы груза (1) и цилиндра (2) равныm₁ и m₂ соответственно, радиус цилиндра (2)r, а коэффициент жесткости пружиныс_{1 .}

Полагая, что трение между грузом (1) и наклонной плоскостью отсутствует, а траектория точкиС –центра масс цилиндра вертикаль, найти обобщенные силыи,

если при s =0 пружина не деформирована.

Рис. 2.12

Решение. Потенциальная энергия системы

Обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам: