Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

1

за 1 ч, равна x + 5 . Согласно условию они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Часть работы,

выполненная за 6 ч первым мастером, есть 6 , а часть x

работы, выполненная за 6 ч вторым мастером, есть

6

x + 5 . Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, то получаем урав-

нение	6	+	6	= 1, решив которое найдем õ = 10.
	x		x + 5

Итак, первый мастер может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч. n

П р и м е р 2. Из сосуда вместимостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

q Пусть в первый раз было вылито õ л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 – õ) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 – õ) л кислоты. Значит, в 1 л смеси со-

держится 54 - x л кислоты (концентрация раство- 54

ра). Во второй раз из сосуда вылили õ л смеси, в

этом количестве смеси содержалось 54 - x × x ë

54

кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито

201

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

õ л кислоты, во второй 54 - x × x л кислоты, а всего

54

за два раза вылито 54 – 24 = 30 л кислоты. В ре-

зультате приходим к уравнению x + 54 - x × x = 30. 54

Решив его, найдем два корня: õ1 = 90 è õ2 = 18. Ясно, что значение õ = 90 не удовлетворяет условию задачи. Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты. n

155. Иррациональные уравнения. Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или является основанием степени с дробным показателем. Так, ир-

рациональными являются уравнения x - 2 = 2x - 1, x0,25 - 5 = 0 è ò. ä.

Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей

уравнения в одну и ту же степень; метод введения новой переменной.

П р и м е р 1. Решить уравнение

õ1 - 1 + 2x + 6 = 6. q Преобразуем уравнение к виду

2x + 6 = 6 - x - 1

и возведем обе части его в квадрат. Получим

( 2x + 6)2 = (6 - x - 1)2;

2x + 6 = 36 - 12 x - 1 + x - 1; 12 x - 1 = 29 - x.

202

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат: 144(x - 1) = (29 - x)2, ò. å. x2 - 202x + 985 = 0,

откуда x1 = 5, x2 = 197.

Ï ð î â å ð ê à. 1) Ïðè õ = 5 имеем 5 - 1 +

+ 2 × 5 + 6 = 6, ò. å. õ = 5 является корнем уравнения.

2) 197 - 1 + 2 Ч 197 + 6 ¹ 6. Значит, õ = 197 — посторонний корень. n

П р и м е р 2. Решить уравнение

x2 + 3 - 2x2 - 3x + 2 = 1,5 (x + 4).

(1)

q Уединение радикала и возведение обеих частей полученного уравнения в квадрат привело бы к громоздким вычислениям. Однако можно заметить, что уравнение (1) легко сводится к квадратному. В самом деле, умножив обе его части на 2, получим

2x2 + 6 - 2 2x2 - 3x + 2 = 3x + 12,

ò. å.

2x2 - 3x + 2 - 2 2x2 - 3x + 2 - 8 = 0.

Пусть 2x2 - 3x + 2 = y; тогда y2 - 2y - 8 = 0, откуда y1 = 4, y2 = -2. Поэтому уравнение (1) равно-

сильно совокупности уравнений: 2x2 - 3x + 2 = 4,

2x2 - 3x + 2 = -2. Из первого уравнения нахо-

äèì x1 = 3,5, x2 = -2, а второе не имеет корней. Подстановка найденных значений в уравнение

203

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

2x2 - 3x + 2 = 4 показывает, что оба являются корнями указанного, а значит, и исходного уравнения.n

156. Показательные уравнения. Показательны-

ìè называются уравнения вида af(x) = ag(x), ãäå

a > 0, a ¹ 1, и уравнения, сводящиеся к указанным. Основой решения показательных уравнений служит следующее свойство: показательное уравнение

af(x) = ag(x) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, т. е. преобразование данного уравнения к виду

af(x) = ag(x), а затем к виду f(x) = g(x); метод вве-

дения новой переменной.

П р и м е р 1. Решить уравнение

0,2x-0,5 = 5 × 0,04x-1. 5

q Приведем все степени к одному основанию 0,2. Получим уравнение (0,2)x-0,5 × (0,2)0,5 = (0,2)-1 ´

´ ((0,2)2)x-1, которое преобразуем к виду (0,2)x =

= (0,2)2x-3. Последнее уравнение равносильно уравнению õ = 2õ – 3, откуда õ = 3. n

П р и м е р 2. Решить уравнение
4x + 2x+1 - 24 = 0.	(1)

q Применим метод введения новой переменной.

204

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

Òàê êàê 4x = (2x)2, 2x+1 = 2 × 2x, òî	уравнение (1)
можно переписать в виде
(2x )2 + 2 × 2x - 24 = 0.	(2)

Введем новую переменную, полагая 2õ = ó. Тогда уравнение (2) сведется к квадратному уравнению

y2 + 2y - 24 = 0, корнями которого являются y1 = 4, y2 = -6. Теперь задача сводится к решению совокуп-

ности уравнений: 2x = 4; 2x = -6.

Из первого уравнения находим õ = 2. Второе урав-

нение не имеет корней, так как 2x > 0 при любых значениях õ. Èòàê, õ = 2.n

157. Логарифмические уравнения. Логарифми- ческими называются уравнения вида loga f(x) = = loga g(x), ãäå a > 0 è a ¹ 1, и уравнения, сводящиеся к указанным.

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: метод уравнивания логарифмируемых выражений, т. е. преобразования уравнения к виду loga f(x) = loga g(x), а затем к виду f(x) = g(x); метод введения новой переменной.

П р и м е р 1. Решить уравнение

lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2x).

q Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 75), преобразуем уравнение:

lg ((x + 4) (2x + 3)) = lg (1 - 2x);

205

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

(x + 4) (2x + 3) = 1 - 2x;

2x2 + 13x + 11 = 0.

Из последнего уравнения находим x1 = -1, x2 = = -5,5. Остается сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств x + 4 > 0, 2x + 3 > 0, 1 - 2x > 0. Подставив поочередно значе- ния –1 и –5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что –1 удовлетворяет всем неравенствам, а –5,5 нет, — например, при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, –5,5 — посторонний корень. Итак, õ = –1. n

П р и м е р 2. Решить уравнение

log2 x + log					x + 1		=	7		.			(1)
			2
2								log2(0,5x)
q Òàê êàê log2(0,5x) = log2 x + log2 0,5 = log2 x - 1,
то уравнение (1) можно переписать в виде
log2 x + log		x		+ 1 =				7	.				(2)
	2
2						log2 x - 1
Введем новую переменную, полагая										log2 x = y.
Тогда уравнение (2) примет вид y2 + y + 1 =												7		è
											y	- 1
далее (y - 1) (y2 + y + 1) = 7,							y3 - 1 = 7, y3 = 8, y = 2.

Íî y = log2 x, поэтому из уравнения log2 x = 2 находим õ = 4. n

206

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

158. Показательно-логарифмические уравнения.

П р и м е р. Решить уравнение

x1-lg x = 0,01.

(1)

q Найдем область определения уравнения: x > 0. В этой области выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значе- ния; поэтому, прологарифмировав обе его части по основанию 10, приходим к уравнению

lg x1-lg x = lg 0,01,

равносильному (1). Далее имеем (1 - lg x) lg x = -2.

Полагая u = lgx, получим (1 - u) u = -2, откуда u1 = -1, u2 = 2. Остается решить совокупность уравнений: lg x = -1; lg x = 2. Из этой совокупности находим x1 = 0,1, x2 = 100 — корни уравнения (1). n

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) ê

уравнению loga f(x) = loga g(x).

159. Простейшие тригонометрические уравнения.

	Уравнение sin x = a, ãäå	a	£ 1,	имеет бесконечно
	много корней. Например, уравнению sin x =							1	óäîâ-
								2
	летворяют следующие значения:			x	=	p	, x		=	5p	,
				1		6		2	6

207

						АЛГЕБРА
						Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
x	= p	+ 2p, x	4	= p	- 2p	и. т. д. Общая формула, по
3	6			6

которой находятся все корни уравнения sin x = a, ãäå

a £ 1, такова:
x = (-1)n arcsina + pn, n Î Z.	(1)

Здесь n может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения.

			Аналогично, решение уравнения cos x = a,								ãäå
	a		£ 1, выражается формулой
						x = ± arccos a + 2pn, n Î Z,					(2)
решение уравнения tg x = a — формулой
						x = arctga + pn, n Î Z,					(3)
а решение уравнения ctg x = a — формулой
						x = arcctg a + pn, n Î Z.					(4)
			П р и м е р. Решить уравнение:
	à) sin x =			1		á) cos3x = -	2	æ	p ö	= -
					;		2	; â) tg çx -	÷		3.
				2
								è	6 ø

q а) По формуле (1) находим

x = (-1)n arcsin 1 + pn, n Î Z. 2

208

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

Òàê êàê arcsin 1 = p (см. п. 129), то окончательно

26

получаем x = (-1)n p + pn, n Î Z. 6

б) Используя формулу (2), имеем

æ

-

2

ö

+ 2pn, n Î Z.

3x = ± arccos ç

÷

ç

2

÷

è

ø

æ

ö

2 = p - p = 3p (ñì.

Íî arccos

ç

-

2 ÷

= p - arccos

ç

2 ÷

2

4

4

è

ø

п. 129), поэтому

3x = ±

3p

+ 2pn,

ò. å.

x = ±

p

+

4

4

+2pn , n Î Z.

3

в) Согласно формуле (3), имеем

x - p = arctg (-	3) + pn, n Î Z.
6
Учитывая, что arctg (-	3) = - arctg 3 = - p (ñì.
	3

п. 129), получим x -	p	= -	p	+ pn,	ò. å. x = -	p	+ pn,
6		3			6

n Î Z. n

Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами (во всех формулах

n Î Z ):

1) sin x = 0, x = pn; 2) sin x = 1, x = p + 2pn; 2

209

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

3) sin x = -1, x = - p + 2pn; 2

4) cos x = 0, x = p + pn; 2

5) cos x = 1, x = 2pn;

6)cos x = -1, x = p + 2pn;

7)tg x = 0, x = pn;

8)ctg x = 0, x = p + pn.

2

160. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители. Если триго-

нометрическое уравнение приведено к виду f(x) = 0, где его левая часть разлагается на множители, то следует приравнять нулю все эти множители. В результате получится совокупность уравнений, причем корни каждого из них окажутся корнями данного уравнения, если они входят в область определения каждого из множителей левой части уравнения

f(x) = 0.

П р и м е р 1. Решить уравнение

					cos x (tg x - 1) = 0.	(1)
	q Данное уравнение сводится к совокупности урав-
нений:			cos x = 0; tg x = 1, откуда находим			x =
=	p	+ pk,	x =	p	+ pn; k, n Î Z. Однако значения x =

24

=p + pk — посторонние корни для уравнения (1),

поскольку при этих значениях не определен tg x.

Итак, решение уравнения (1) имеет вид x = p + pn, 4

n Î Z. n

210