- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
УДК 517.1
Составители: О.Я. Шевалдина
Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов
Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.
Методические указания содержат кратко изложенный теоретический материал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с традиционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»
ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ» , 2008
Глава 3. Производная функции одной переменной
3.1. Производная функции в точке
Пусть функция определена на множестве и– предельная точка множества Х. Напомним: для любой точки приращениеопределяется формулой.Приращением функции в точкеназывается функция аргумента:
.
Определение. Если существует конечный предел
,
то значение этого предела называют производной функции в точке, обозначают или.
Используются и другие символические обозначения производной:
, ,.
Лагранж1Ньютон2Лейбниц3
Таким образом, по определению
, (3.1)
где .
Пример 3.1. Найдем производную функции в любой точкеобласти определения:
.
Следовательно, функция имеет в каждой точкепроизводную.
Экономисты используют для обозначения производной также символ (т. е.) и терминмаржинальное значение функции в точке .
X Физический смысл производной
Производная – скорость изменения функции в точке . В частности, если– время, – координата точки, движущейся по прямой в момент , то– мгновенная скорость точки в момент времени .
Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
Пусть график функции ;,– две точки графика функции (рис. 3.1).
Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим .
Г
Определение. Если существует , то прямаяс угловым коэффициентом, проходящая через точку, называетсякасательной к графику функции в точке.
Теорема 3.1. График функции имеет в точкекасательную тогда и только тогда, когда функцияимеет в точкепроизводную.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Так как функциянепрерывна, то. Но. Поэтому, то есть функцияимеет в точкеконечную производную.
Достаточность. Если существует , то есть, то. Так как функции,непрерывные, то, то есть существует касательная к графику функции в точке.
Замечание. Так как , то приполучаем.
Таким образом, – это тангенс угла наклона касательной к графику функциив точке.
Уравнения касательной и нормали
Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде . Так как, то, откуда. Поскольку угловой коэффициент касательной, то ее уравнение имеет вид
.
Определение. Нормальной прямой (или нормалью) к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной в этой точке.
Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной формулой
.
Уравнение нормали к графику функции в точке
.
Бесконечные производные
Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точкебесконечную производную (равную илисоответственно). В этом случаекасательная к графику функции в точке параллельна оси(), и так как она проходит через точку, то ее уравнение имеет вид:.
Пример 3.2. Рассмотрим функцию ,. Имеем
–вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.2).
Пример 3.3. Рассмотрим функцию ,. Имеем:. Следовательно, прямая – вертикальная касательная к графику функции (рис. 3.3).
Односторонние производные
Пусть определена на множествеи– предельная точка.
Если существует конечный предел , то его называютлевой производной функции в точке и обозначают.
Аналогично . Число(если оно существует), называетсяправой производной функции в точке.
Теорема 3.2. Пусть – предельная точка. Функцияимеет производную в точкетогда и только тогда, когда,, причем
.
Пример 3. 4. . .
Имеем: ,.
Так как , функцияне имеет производной в нуле.
Пример 3.5. Пусть . Выясним, существует ли производная этой функции в точке.
Имеем: .
Итак, функция в точкеимеет производную.
Пример 3.6.
, то есть непрерывна в точке. Однако
не существует. Действительно, если , а если. Следовательно, предел по Гейне не существует.