- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалы высших порядков (как и старшие производные) определяются индуктивно.
Пусть функция дифференцируема в каждой точке. Если в точкедифференциал
является дифференцируемой функцией, то существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называетсявторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции и обозначаетсяили. Пусть определен дифференциал порядка:. По определению полагают. Тогдамдифференциалом, если он существует, называют функцию :
.
Найдем формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим два случая.
1. Если − независимая переменная, то есть некоторое фиксированное приращение независимой переменной, т. е. является постоянной величиной и. Поэтому
.
Здесь . Аналогично
, (4.8)
здесь . Из (4.8) вытекает
,
т. е. производная го порядка, как и производная первого порядка, может быть представлена как обыкновенная дробь – отношение дифференциаловго порядка функцииий степени дифференциала аргумента.
2. Рассмотрим случай зависимой переменной. Пусть , где– дифференцируемая функция. В силу инвариантности формы первого дифференциала. Здесь дифференциалв общем случае не является постоянной величиной (). Поэтому
.
Сравнивая эту формулу с формулой , где − независимая переменная, делаем вывод, что уже второй дифференциал инвариантностью формы не обладает.
Упражнение. Пусть . Показать, что для случая линейной внутренней функции свойство инвариантности дифференциалов высших порядков сохраняется.
Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
Теорема 4.1. Если функции имеют в точкепроизводные порядка, то в этой точке существуют производные порядкасуммы и произведения этих функций и выполняются равенства:
, (4.9)
, (4.10)
где ,
.
Эти формулы нетрудно проверить методом математической индукции.
Равенство (4.10) называют формулой Лейбница для - й производной произведения двух функций.
Пример 4.4. Для функции в точкенайти производную 10-го порядка.
Решение. Заданная функция представляет собой произведение двух дифференцируемых функций. В этом случае для нахождения - й производной нужно применить формулу Лейбница (4.10).
Для заданной функции в случае формула Лейбница принимает видТак как, то все остальные слагаемые в сумме равны нулю. Находим производные:,
.
При соответственно получаем
.
Т. о., .
4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
Пусть функция определена на множестве и – предельная точка множества .
Определение. Функция называетсястрого возрастающей (строго убывающей) в точке (рис. 4.2), если существует такая окрестностьэтой точки, что,
.
Если в этих неравенствах знаки заменить соответственно на ,то говорят, что функция возрастает (не убывает) (убывает (не возрастает)) в точке .
Теорема 4.2 (о достаточных условиях возрастания (убывания) функции в точке)
Пусть функция . Пусть функция имеет в точкепроизводную. Тогда в точкефункциястрого возрастает, если, и строго убывает, если.
Доказательство. Пусть . Так как, то существуетсправедливо неравенство. Значит, если, то, т. е.. Если, то. Это и означает, чтострого возрастает в точке (рис. 4.2).
В случае аналогично доказывается, что функциястрого убывает в точке.
Определение. Точка называется
1) точкой локального максимума (локального минимума);
2) точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума), если существует такая окрестность этой точки, что, соответственно,
1) ;
2) .
Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 4.3 (теорема Ферма4о равенстве нулю производной (необходимое условие экстремума))
Пусть определена на множествеи– внутренняя точка множества Х. Если точка локального экстремума и существует , то .
Доказательство. Если , то функция строго возрастает в точке, а если, то функциястрого убывает в точке. Значит, локальный экстремум возможен только при условии.
Замечание. Условие , будучи необходимым для локального экстремума, не является достаточным. Действительно, функциястрого возрастает на всей числовой оси. Вместе с тем, ее производнаяобращается в ноль при значении.
С другой стороны, локальный экстремум может достигаться в точках, где функция недифференцируема или даже разрывна. На рисунке 4.3 – точки локальных экстремумов.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками первого рода этой функции. Ими являются корни уравнения (стационарные точки функции ) или точки, в которых производная функции не существует. Иногда критические точки называют точками, «подозрительными на экстремум».
Замечание. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет экстремум.
Так, для рассмотренной выше функции критической является точка , что следует из уравнения. Однако эта функция строго возрастает и экстремумов не имеет.