3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)

1. , где– постоянная величина.

2. , в частности,.

3. , в частности,.

4. , в частности,.

5. ,.

6. .

7. ,.

8. ,.

9. ,,,.

Докажем справедливость этих формул. Будем использовать определение производной, эквивалентные бесконечно малые и правила вычисления производных.

1. , где– постоянная величина.

• Производная .

2. .

• Производная

.

Для сложной степенной функции имеем формулу производной

или в краткой записи

.

3. .

• Пользуясь теоремой о производной обратной функции, находим: .

Для сложной показательной функции имеем или в краткой записи

.

4. .

• Приращение .

Производная

.

Для сложной логарифмической функции ,

или .

5. .

• Ранее было доказано, что .

Для сложной функции

.

Для функции аналогично.

Для сложной функции

.

6. .

• Производная

и для сложной функции

.

Производная функции находится аналогично.

7. .

• Пользуясь теоремой о производной обратной функции, находим:

.

Для нахождения производной функции воспользуемся известной тригонометрической формулой :

.

Для сложной функции .

8. .

• Производная .

Для нахождения производной функции можно воспользоваться известной тригонометрической формулой аналогично предыдущему случаю. Для сложной функции

.

9. Для нахождения производных этого пункта воспользуемся формулами:

, , ,

и правилами вычисления производных.

Рассмотрим еще один способ нахождения производных.

3.7. Логарифмическая производная

Определение. Логарифмической производной функции называется производная.

Так как , то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной

. (3.6)

Если производную рассматривать как скорость изменения функцииу, то величину естественно считатьотносительной скоростью изменения или темпом роста функции у.

С помощью логарифмической производной удобно вычислять производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Такое вычисление основано на формуле

, (3.7)

полученной из соотношения (3.6) умножением на у.

Используя формулу (3.7), найдем производную функции вида , где,– дифференцируемые функции:

.

Пример 3.7. Найти производную функции .

Найдем .

Дифференцируя левую и правую часть, получим: . Отсюда

Пример 3.8. Пусть – приближенная величина вклада в момент времени t. Можно ли определить (приближенно) ставку банковского процента по функции?

Решение. Пусть – номинальная ставка за год,– доля года, тогда проценты за период временисоставят. Так как приращение вклада и проценты по вкладу – одно и то же, то. Отсюда

. (3.8)

Предположим, что функция имеет производную. Тогда мы можем заменить в равенстве (3.8) приращениена дифференциал, в результате получим.

Вывод: ставка банковского процента совпадает с логарифмической производной от величины вклада.

Упражнение. Пусть , гдеt – число лет от открытия вклада, – величина вклада в начальный момент времениt = 0. Какой будет ставка банковского процента: а) через 2 года; б) через 5 лет? Какова при этом абсолютная скорость (производная ) роста вклада?

Пример 3.9. Пусть – стоимость некоторого активаА в момент времени t, – доходность от вложения денег в другие активы. Считаем для простоты, что не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив А?

Решение. Найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше . Так как мгновенная доходность совпадает с темпом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством

. (3.9)

Если неравенство (3.9) задает интервал , то актив следует купить в момент времении продать в момент. Если же множество (3.9) является объединением двух интервалов, то активА выгодно продать в момент и снова купить в момент.

Упражнение. Пусть =10% годовых, В какой момент времени выгоднее всего купить (продать) актив А?