- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
3.8. Производная функции, заданной параметрически
Пусть зависимость между аргументом и функциейзадана при помощи уравнений
, (3.10)
где – вспомогательная переменная, называемая параметром.
Пусть для функция существует обратная функция. Тогда равенства (3.10) определяют сложную функциюаргумента, заданную параметрически уравнениями (3.10). Найдем ее производную, используя теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций:
.
Здесь производная выражена через параметр . Чтобы установить ее связь с переменной, нужно использовать уравнение . Т. о., если функция задана параметрически, то и ее производная задана параметрически:
функция: ее производная:
Если при этом функции дважды дифференцируемы на , то существует производная второго порядка, выраженная через параметр. Но нет смысла запоминать последнюю формулу, так как указанный метод можно применять столько раз, сколько потребуется.
Пример 3.10. Найти для функции, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Первая производная . Вторая производная.
3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
Пусть функция задана в неявном виде, т. е. уравнением, не разрешенным относительно,
.
Если функция дифференцируема на, то можно вычислить производную, не зная в явном виде формулы, задающей. Для этого тождествонужно продифференцировать по переменной, считая при этомфункцией от. Получим равенство, которое вместе с соотношениемнеявно определяет производную.
Пример 3.11. Найти производную функции , заданной уравнением. Вычислить значение.
Решение. Дифференцируем уравнение по переменной , считая при этомфункцией от:
.
Пользуемся правилами дифференцирования сложной функции и произведения функций: ,. Тогда уравнение принимает вид: . Отсюда. Нозависит не только от, но и от . Чтобы найти , сначала нужно найти. Подставимв исходное уравнение:. Так как в левой части уравнения возрастающая функция, а в правой убывающая, тоявляется единственным корнем этого уравнения. Итак,.
Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
4.1. Дифференциал функции одной переменной
Пусть функция определена на множестве идифференцируема в точке предельной для множества.
Определение. Дифференциалом или функции в точкеназывается линейная функция приращения:
. (4.1)
Формулу (4.1) приращения дифференцируемой функции можно записать в виде:
.
Заметим, что из последней формулы вытекает, что
,
т. е. разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с. Поэтому говорят, что дифференциал естьглавная часть приращения функции в точке.
Если , то, очевидно,и, то есть.
Поэтому
или
,
то есть отношение дифференциалов иравно. По этой причине, следуя Лейбницу, производную частообозначают символом наряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом.
Геометрический смысл дифференциала
Посмотрим на дифференциал с геометрической точки зрения (рис. 4.1). На рисунке к графику функции проведена касательная в точке А с абсциссой . Согласно (4.1)–приращение ординаты касательной к графику функции в точке . При этом разность
–бесконечно малая более высокого порядка, чем .