- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
Теорема о нахождении предела отношения функций через предел отношения производных
Пусть функции и :
1) определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки ;
2) ив этой окрестности;
3) существует (конечный или бесконечный);
4) или.
Тогда существует, причем
.
Замечание. Правило Лопиталя можно рассматривать и в случае . В этом случае достаточно сделать заменуи воспользоваться результатом теоремы.
Доказательство. Рассмотрим случай . Доопределим функции и в точке : и. Так как теперь, то функцииибудут непрерывны в точке. Поэтому на отрезке, где– любая точка окрестности точки, функцииинепрерывны, дифференцируемы и .Поэтому применима теорема Коши: .
Если , тои поэтому.
Случай оставляем без доказательства.
Замечания.
1. При применении правила Лопиталя дифференцируется числитель и знаменатель дроби отдельно.
2. Правило Лопиталя применяется только к дробям.
Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей вида ,,,и т. д., нужно предварительно исследуемое выражение преобразовать к дроби. Рассмотрим примеры раскрытия некоторых неопределенностей.
Неопределенность : .
Неопределенность :
Неопределенности ,, :
.
Пример 4.5. Вычислить предел .
Решение. .
Пример 4.6. Вычислить предел .
Решение.
.
Пример 4.7. Вычислить предел .
Решение. .
Пример 4.8. Вычислить предел .
.
Пример 4.9. Вычислить предел ..
3. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз, если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы должны оставаться справедливыми.
Пример 4.10. Вычислить .
Решение. Значение предела
позволяет сравнить бесконечно большие при функции: показательная функция– бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией– бесконечно большой при.
4. Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .
Пример 4.11. Значение предела получить по правилу Лопиталянельзя, поскольку – не существует (не существует, см. решение примера 3.6). Однако исходный пределсуществует, его легко можно вычислить другим способом, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на ограниченную, в нашем случае,при,имеет место неравенство.
4.6. Формула Тейлора для многочленов
В 1715 году Брук Тейлор9опубликовал формулу для разложения функции в степенной ряд, которая явилась мощным инструментом для исследования функций и приближенных вычислений.
Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть функция имеет в окрестности точки производные до - го порядка включительно. Требуется найти многочлен
степени не выше такой, что для всехвыполняются равенства
. (4.15)
Будем искать в виде многочлена по степеням разности:
, (4.16)
где коэффициенты нужно определить.
Найдем производные многочлена порядка:
,(4.17)
,
и далее,
.
Из (4.16) и (4.17) при получаем
Отсюда
.
Значит, с учетом (4.15), должны выполняться равенства
.
Таким образом, поставленную задачу решает многочлен
. (4.18)
Многочлен , заданный формулой (4.18), называютмногочленом Тейлора порядка функции в точке. Он единственен.