3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке

Функция , определенная на множестве, называетсядифференцируемой в точке , предельной для множества, если существует такаялинейная относительно приращения функция( – некоторое число), что приращение функциипредставимо в виде

(3.2)

где . Так как, то (3.2) можно записать в виде

.

Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке,необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда ее приращение можно представить в виде (3.2). Имеем

.

Следовательно, производная существует и.

Достаточность. Пусть существует конечная производная . Тогда по определению производной. Положим

(3.3)

Функция является бесконечно малой при _{и непрерывной при} . Действительно, . Кроме того, из (3.3) вытекает. Тем самым доказано, что функциядифференцируема в точке.

Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из (3.2) вытекает равенство , то есть функциянепрерывна в точке.

Обратное утверждение неверно. Непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке, но не является достаточным.

В самом деле, пусть . Функцияне имеет производной в нуле (пример 3.4), хотя она и непрерывна в любой точке.

Связь понятий: непрерывность функции, дифференцируемость функции, существование производной можно представить следующей схемой:

3.3. Правила вычисления производных

Теорема 3.5. Пусть функции и имеют в точке, предельной для, конечные производныеи. Тогда в этой точке существуют производные, если, и выполняются равенства:

1. .

₂. .

3..

Доказательство.

1. Имеем

. Так как существуют производные и, то переходя к пределу при, получим

.

2. Имеем

.

Так как существует, то функция непрерывна в точке . Поэтому . Значит,

.

Следствие.

,

если – постоянная величина.

3. Сначала рассмотрим случай, когда , т. е. получим формулу для производной дроби. Имеем

. (3.4)

Так как функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность, что для любого функция сохраняет знак, т. е. . Выражение в правой части(3.4) имеет предел при , поэтому существует, т. е.

.

Теперь с помощью формулы для производной произведения получим

, т. е.

.

3.4. Дифференцирование сложной функции

Теорема 3.6 (о дифференцировании сложной функции)

Если функция дифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, то функциядифференцируема в точкеи имеет место равенство

. (3.5)

Доказательство. Дадим приращение переменной и обозначим соответствующее приращение функции через . Тогда . Заметим также, что из дифференцируемостив точкеследует ее непрерывность в этой точке:

. Учитывая эти замечания, находим производную:

.

Итак, мы получили формулу

.

Замечание. Так как производная , то для производной сложной функции верна формула.

3.5 Дифференцирование обратной функции

Теорема 3.7 (о производной обратной функции)

Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Если существует, то обратная функциясуществует в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, и справедливо равенство

,

т. е.

.

Доказательство.

В силу непрерывности функции в точке изследует. Так как обратная функцияв силу монотонности функциисуществует и непрерывна в точке , то из того, что, вытекает . Таким образом, в нашем случае, условияиравносильны.

Так как функция строго монотонна, то из неравенстваследует неравенство. Поэтому. Если , то, пользуясь равносильностью условий и, находим. Таким образом,.