4.4. Формулы конечных приращений, их приложения

Пусть функция определена на множестве и – предельная точка .

Теорема Ролля5о среднем

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на(т.е. во всех внутренних точках). Если, то существует такая точка, что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, по второй теореме Вейерштрасса, в некоторых точках отрезка она достигает своих максимальногои минимальногозначений на этом отрезке. Если, тои.

Пусть . Так как, то, по крайней мере, одно из значений ( или ) достигается во внутренней точке отрезка. Тогда по теореме Ферма в этой точке производная равна нулю. Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля показывает, что в некоторых точках интервала (на рис. 4.4 точки ) касательная к графику функции параллельна оси.

Следствие. Если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, то найдется хотя бы одна точка, в которой. Иначе, между двумя нулями функции найдется хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа о среднем

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех точках интервала.Тогда существует точка такая, что или

. (4.11)

Формулу (4.11) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Доказательство. Сведем задачу к теореме Ролля. Выберем число так, чтобы для функции выполнялось равенство . Имеем. Из уравнениявытекает, что. Таким образом,, причем. Функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема в интервале. По теореме Ролля существует точкатакая, что. Это означает, что

, т. е. .

Теорема доказана.

Следствие о постоянстве функции, имеющей равную нулю производную. Пусть функция непрерывна на отрезке и. Тогда.

Рис.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим две произвольные точкии пусть, например,. Тогда. По теореме Лагранжа, где – некоторая точка из интервала . Так как, то. Поэтому.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 4.5)

–есть тангенс угла наклона касательной к графику функции

в точке , отношение– тангенс угла наклона прямой, соединяющей точкииграфика функции. Таким образом, теорема утверждает, что на кривойсуществует точкатакая, что через эту точку можно провести касательную параллельно хорде.

Теорема Коши⁶о среднем

Пусть функции инепрерывны на отрезкеи дифференцируемы в интервалеи пусть производная. Тогда найдется точка такая, что

. (4.12)

Доказательство. Сведем задачу к теореме Ролля. Введем функцию и подберем число так, чтобы выполнялось равенство. Имеем. Из уравнениянаходим

. (4.13)

Заметим, что , так как в противном случае, что противоречит условию . Функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема, причем. По теореме Ролля существует точкатакая, что. Находим

. (4.14)

Из (4.14) в силу того, что, находим . С учетом (4.13), получим (4.12). Теорема доказана.

Замечание. Теорема Лагранжа – частный случай теоремы Коши при , а теорема Ролля – частный случай теоремы Лагранжа. Во всех этих теоремах речь идет о существовании некоторого числа, точное значение которого остается неизвестным. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши обычно называюттеоремами о среднем значении.

Сформулированные и доказанные теоремы легли в основу доказательства мощного метода раскрытия неопределенностей, который нашел швейцарский математик Иоганн Бернулли⁷, но опубликовал французский математик Гийом Лопиталь⁸.