- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда
(4.2)
Рассмотрим два случая:
если – независимая переменная, то, поэтому
;
если дифференцируема в точке, то сложная функциядифференцируема в точкеи
. (4.3)
Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной.
Свойство первого дифференциала иметь одинаковые выражения через дифференциалы независимой переменной (в случае 1)) и зависимой переменной (в случае 2)) называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Замечание. В (4.2) , здесь– независимая переменная. В (4.3)
, здесь – зависимая переменная,.
Так, ,
.
Дифференциал и приближенные вычисления
Если , то, то есть
, . (4.4)
Этим равенством часто пользуются для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции из некоторой - окрестности точки при достаточно малом. Формулу (4.4) записывают в виде
, . (4.5)
Так как , тои формула (4.5) принимает вид
,. (4.6)
Графиком функции правой части (4.6) является прямая , проходящая через точкуи имеющая угловой коэффициент. Эта прямая – касательная к графику функции в точке– доставляет линейное приближение функцииf в окрестности точки . Следовательно, геометрически (4.6) означает, что в окрестности точки график функциисливается с отрезком касательной, т. е. «спрямляется». Говорят, что соотношением (4.4) функциялинеаризована в окрестности точки .
Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью , то значение функции– с относительной погрешностью, определяется по формулеили
, (4.7)
где – эластичность функции в точке х (подробнее см. п. ).
Пример 4.1. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 10 % годовых.
Найдем количество лет Т, в течение которых сумма вклада увеличится в 2 раза. За год вклад увеличивается в раз, поэтому заТ лет вклад увеличится в раз. Т. о., необходимо решить уравнение=2. Логарифмируя, получаем, откудаДля приближенного вычисленияиспользуем понятие дифференциала. Полагая, найдеми в соответствии с (4.5)В данном примере прих =1 и получимТак как, то время удвоения вклада(лет).
Пример 4.2. С какой относительной погрешностью надо измерить радиус шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до 1%?
Решение. . Значит,. Нужно, чтобы, значит,
. Ответ: с точностью 1/3%.
Пример 4.3. На сколько процентов увеличится , еслих увеличится на 2%.
Решение. Найдем эластичность функции и по формуле (4.7) относительная погрешность.
Упражнения. 1. Вычислить приближенно: а) ; б); в); г).
2. На сколько процентов увеличится площадь круга, если его радиус увеличится на 1%?
3. Известно, что и. С какой точностью выполняется приближенное равенство, есливыполняется с точностью 0,001.
4. На сколько процентов изменится величина степени при изменении основания степени на 3%?
4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
Пусть для функциимножествоне имеет изолированных точек и пусть для любогосуществует производная. Функцияназываетсяпервой производной функции и обозначается . Индукцией определим производную функции произвольного порядка. Если функциядифференцируема на множестве, то ее производная называется - й производной функции на множестве и обозначается через . Таким образом,
.
При этом функция называетсядифференцируемой (раз дифференцируемой) на .