- •Глава 3. Производная функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке
- •X Физический смысл производной
- •Геометрический смысл производной. Связь с существованием касательной
- •Уравнения касательной и нормали
- •Бесконечные производные
- •Односторонние производные
- •3.2. Дифференцируемость функции одной переменной Определение функции, дифференцируемой в точке
- •Теорема 3.3 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости)
- •Теорема 3.4 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке)
- •3.3. Правила вычисления производных
- •3.6. Производные некоторых элементарных функций (таблица производных)
- •3.7. Логарифмическая производная
- •3.8. Производная функции, заданной параметрически
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •Глава 4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.1. Дифференциал функции одной переменной
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Дифференциал и приближенные вычисления
- •4.2. Производные и дифференциалы высших порядков Понятие производной - го порядка
- •Дифференциалы высших порядков
- •Правила вычисления производной суммы - го порядка. Формула Лейбница для- й производной произведения двух функций
- •4.3. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях
- •4.4. Формулы конечных приращений, их приложения
- •Теорема Ролля5о среднем
- •4.5. Раскрытие неопределенностей (Правило Лопиталя)
- •4.6. Формула Тейлора для многочленов
- •4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
- •4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
- •Формула Маклорена11
- •4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
- •Глава 5. Исследование и построение графиков функции одной переменной
- •5.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2. Локальный экстремум Теорема 5.2 (первое достаточное условие локального экстремума дифференцируемой функции)
- •5.3. Абсолютный экстремум функции
- •5.4. Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •5.5. Асимптоты графика функции
- •5.6. Схема исследования функций и построения кривых
4.7. Задача наилучшего локального приближения. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано10
Покажем, что именно многочлен Тейлора функциизадаетнаилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т. е. оценим в некоторой окрестности точкифункцию. Разностьназываютостаточным членом формулы Тейлора.
Покажем, что
.
В самом деле, рассмотрим
(применим последовательно раз правило Лопиталя) =а это означает, что,
т. е.
. (4.19)
Полученная формула носит название формулы Тейлора порядка функции в точке с остаточным членом в форме Пеано. Ее называют асимптотическим разложением - го порядка функциив окрестности точки. Формула (4.19) является качественной характеристикой погрешности.
В курсе математического анализа доказывается, что можно найти и другие погрешности приближения .
4.8. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Пусть функция n раз непрерывно дифференцируема на (т. е.и эта функция непрерывна)и имеет в каждой точке этого интервала, за исключением, быть может, точки производную- го порядка. Тогда для любогомежду и х найдется такая точка , что справедлива формула Тейлора
..., (4.20)
где – остаточный член в форме Лагранжа. Так как точка , то, где.
Формула (4.20) является количественной характеристикой погрешности.
Формула Маклорена11
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при :
...
где
, .
Пример 4.12. Разложить функцию по степеням.
Решение. ,,,. Отсюда
.
Следовательно, по формуле Тейлора третьего порядка
.
Остаточный член . Таким образом,
.
Пример 4.13. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки.
Имеем ,
…,
где 2 < < x.
Поэтому
где ,.
4.9. Разложения основных элементарных функций (асимптотические формулы)
Запишем формулу Тейлора (4.19) при с остаточным членом в форме Пеано:
. (4.21)
Формулу (4.21) называют формулой Маклорена разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано.
1. Пусть . Вычислим производные функциив точке:.
Используя формулу (4.21), получим
.
В частности, при иимеем:
.
2. Пусть . Вычислим значения производных функциипри:
………………………………………………………………..
Используя формулу (4.21) при , находим:
.
В частности, при иимеем:
.
3. Разложение для получается аналогично:
.
В частности, при :
.
4. Пусть . Вычислим значения производных функциипри:
Тогда . Используя формулу (4.21), получим:
.
В частности, при
.
5. Аналогично получаем
.
Если , то
.
Заменив на, получим:
.
Пример 4.14. Разложить функцию в ряд Маклорена с точностью .
Решение. Воспользуемся разложением . Заменимна , получим.
На рисунке 4.6 изображена кривая , а также ее приближения, и .
Пример 4.15. Разложить функцию в окрестности точки, взяв.
Решение. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные,,, отсюда,,,. Получаем
.
Пример 4.16. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы: а) ; б).
Решение. а) Воспользуемся разложениями:
, . Тогда.
б) Если ограничиться разложением , то в пределе получаем выражение. Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно, какие бесконечно малые скрываются поди. Поэтому следует взять приближение
. Тогда .