Контрольная формула

= {ур7~ УВ) сЬ2 (ВР)+*в- (У1.13)

7. Формулы для вычисления координат пункта, определенного обратной засечкой (задача Потенота). Обратная засечка — определение положения пункта Р (рис. VI.5) по измеренным углам а и Р на определяемом пункте между тремя пунктами Л7 В, С, координаты которых известны. Для контроля обычно измеряется направление на четвертый пункт Б.

По координатам пунктов АБС, решая обратные задачи, вычисляем дирекционные углы и длины сторон АВ и ВС.

Найдем углы <р и яр, после чего из треугольников АВР и СВР определятся искомые кординаты пункта Р.

,	, У	ы п о ~ У А Г ^ В С ,	,	(VI.14)	Рис. У1.5. Обратная		геодези-
ф +	я|) =	о60 -—(а + р ) — Су + б)		]	ческая	задача
Из треугольников АВР			и СВР получаем
		Ч у (Ф-Ю = Ч у (Ф •+Ц)			(45° + 0 ,		(У1.15)
оде	— вспомогательный		угол,	определяемый из выражения			=
= °а ^	^ , и далее по (ф +		яр) и (ф — я))) вычисляем углы <р			и яр.

Далее по формулам прямой геодезической задачи вычисляем искомые координаты пункта Р.

§ 33. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ

Рассмотрим действие ошибок измерений на точность определения элементов геодезических сетей, построенных методом полигонометрии и триангуляции.

Это необходимо для решения двух тесно связанных задач.

1. Выполнены некоторые геодезические работы и по результатам измерений получены искомые величины. С какой точностью, с какими -ошибками получены искомые результативные данные?

2. Задана точность, с которой величины необходимо получить из геодезических измерений. С какой точностью должны быть произведены измерения, какой метод и порядок работы наивыгоднейшие?

В обеих задачах вопрос сводится к нахождению зависимостей между ошибками непосредственно измеренных величин и ошибками их функций, т. е. определяемых величин.

Точное решение вопроса применительно к различным способам развития геодезических сетей требует знания способа наименьших квадратов. Мы ограничимся рассмотрением вопроса о действии ошибок измерений в сетях простейшего вида — вытянутом полигонометрическом ходе я в цепи треугольников.

Точность плановой геодезической сети характеризуется средними: квадратическими ошибками определения дирекционных углов и длин, сторон хода (ряда) и координат пунктов. Обычно вместо ошибок координат пунктов вычисляют продольную и поперечную ошибки хода (ряда), т. е. смещение пунктов хода относительно начального вдоль и поперек хода.

Для простоты допустим, что полигонометрический ход и триангуляционный ряд прямолинейны и состоят из сторон одинаковой длины, (см. рис. VI. 1 и 2).

	А. Полигонометрический			ход
Средняя квадратическая ошибка дирекцпонного угла последней сто-
роны	хода. Задача сводится к нахождению ошибки функции (VI.!), т. е._
	аЛ = а 0 ± 1 8 0 ° ( п - 1 ) - р 1 - р 2 - р 8 - . . — ря.
Искомая ошибка тосп		как функция	ошибок независимо измеренных:
углов Р и ошибки а 0 на		основании (У.26) выразится так:
		=		(У1.16).
Не принимая во внимание ошибки			исходного дирекционного угла
т ^	будем иметь
		=		(ПЛТУ

Если на обоих концах полигонометрического хода имеются исходные дирекционные углы, то обычно считается, что наибольшая ошибка дирекционного угла стороны будет в середине хода. Рассматривая приближенно окончательное значение дирекционного угла средней стороны хода как среднее арифметическое из его определений с обоих концов хода, на основании (У.25) и (У.31) получим

2

Следовательно, при наличии на обоих концах хода исходных дирекционных углов сс0 (принимаемых безошибочными) и уравнивания между ними измеренных углов Р ошибка дирекционного угла стороны в середине хода уменьшится вдвое.

Средняя квадратическая ошибка длины стороны полигонометрического хода. Стороны ходов полигонометрии измеряются непосредственно и независимо друг от друга. Средние квадратические ошибки их при равных условиях измерений приблизительно одинаковы" во всем ходе и вычисляются по результатам непосредственных измерений.

Продольная средняя квадратическая ошибка хода* Эту ошибку можно рассматривать как среднюю квадратическую ошибку длины хода. Введя обозначения: Ь — длина хода, й — длина стороны и к — число сторон в ходе, напишем

(ПЛ9)

Обозначая далее:		т ^ — средняя		квадратическая			ошибка длины
хода, та — средняя	квадратическая			ошибка	измерения		отдельной сто-
роны хода, на основании (У.25) подучим выражение для продольной сред-
ней квадратической	ошибки хода
		т ь = т а У к .					(VI.20)
Относительная продольная средняя квадратическая ошибка выразится
-так:
	т Ь	гпаУк	тдУк		т а	1	(У1.21)
				Ы	*	Укт

Рис. VI.6

Следовательно, средняя квадратическая продольная ошибка полиФонометрического хода возрастает пропорционально корню квадратному ив числа сторон, а относительная — уменьшается по тому же закону.

Продольная ошибка прямолинейного хода зависит от ошибок измерения сторон и практически не зависит от ошибок измерения углов.

Теперь допустим, что ход проложен между двумя исходными («твердыми») пунктами, взаимное положение которых безошибочно. В этом случае считается, что наибольшая продольная ошибка в ходе будет в его середине. Уравненное положение пункта в середине хода приближенно можно считать средним арифметическим значением из его определений с двух концов хода. Тогда продольная ошибка среднего пункта хода относительно конечных исходных пунктов на основании (V. 25) (У.31) определится так:

" 4 = ^ / 4	(VI.22)
2

Следовательно, если ход опирается на два исходных пункта, расположенных на концах хода, то максимальная продольная ошибка пунктов хода в его середине уменьшается в два раза.

Поперечная средняя квадратическая ошибка полнгонометрического хода. Поперечная ошибка полнгонометрического хода зависит от ошибок измерения углов; закон влияния этих ошибок на поперечный сдвиг хода несколько сложенее, чем в предыдущем случае.

Пусть прямолинейный ход, состоящий из к сторон, совпадает с линией АВ (рис. VI.6). Ошибка в угле Р на первом пункте А сместит положение последующего пункта из точки 1 в точку Г; эта же ошибка вызовет

изменение направления всего хода на угол		и конечная точка хода,
переместится из В в Вг. Смещение точки В		будет
ВВг-. Гто	кйт'о

Далее ошибка в угле р2 вызовет смещение точки 2 в некоторую точку 2У и точки Вх в точку В о на величину

гар (к —

ВгВ2:

Таким образом,

в в ^ - Ф к
В\В2 = д2 = ткй
т%<1	(VI.23)
ВгВг = Яз	2)

Так как т^ — случайные неизвестные ошибки, то для выражения поперечной ошибки всего хода отрезки дг, д2, . . ., дк следует суммировать по закону накопления случайных ошибок, т. е.

<1 = У<1\ + Я1 + - • - + Й -

Принимая во внимание (VI.23), получим

							(VI .24)
	После преобразований с незначительнымик + 1 5				упрощениями		(VI. 25)
или	с большим упрощением			1 т р
	Относительная	поперечная	ошибка выразится
		<?	1	т1Лгт			(У1.26)
Следовательно,		абсолютная	и	относительная		поперечная ошибки
хода	возрастают — первая пропорционально А8/2,					вторая — пропорцио-

яальио А1/2. Отсюда вытекает важный вывод: при проложении полнгонометрического хода заданной длины Ь чем меньше будет поворотных точек, тем точнее будет определено их положение; соответственно этому устанавливаются минимально допустимые длины сторон полигонометрических ходов.

Обычно исходные дирекционные углы (считаемые безошибочными) задаются на обоих концах полнгонометрического хода; измеренные углы (5 уравниваются (см. главу XI), в результате чего они получают более точные значения, а поперечная ошибка уменьшается. В этом случае последняя вычисляется по формуле

=

(VI.27)

Если ход проложен между двумя исходными пунктами, то, рассуждая аналогично предыдущему, придем к выводу, ^то наибольшая поперечная ошибка в середине хода длиной Ь будет в два раза менее, чем при одном исходном пункте

Для характеристики точности положения пунктов в целом обычно

вычисляется полная ошибка по формуле
М = ± УЦ+0*.	(VI.28)
Б• Триангуляционный	ряд

В треугольниках триангуляции измеряются все три угла; отклонение суммы измеренных углов в треугольнике от теоретической, называемое н е в я з к о й треугольника, позволяет контролировать измерения и оценивать достигнутую точность измерений. Обозначим: XV — невязка треугольника — истинная ошибка суммы углов в треугольнике; М — средняя квадратическая ошибка суммы углов треугольника; п — число треугольников. На основании (V.7) получим

(У1.29)

Обозначив через т среднюю квадратическую ошибку измерения одного угла треугольника для случая равноточных изхмереннй, напишем

м

Уъ

али

2	(У1.30)

Выражение (VI.30) носит название формулы Ферреро. Точность измерения углов в триангуляциях различных классов обычно характеризуется средней квадратической ошибкой, вычисленной по формуле (У1.30).

Дирекционные углы и длины сторон треугольников и координаты пунктов триангуляционного ряда получаются из вычислений как функции углов треугольников.

Перед вычислением указанных элементов ряда углы в каждом треугольнике уравниваются путем разверстания на каждый угол 1/3 невязки

треугольника с обратным		8наком.		Аур,
Вуру	Обозначив через Лизм,	#изм, Сизм	измеренные углы, через
	Сур — уравненные углы,через		невязку треугольников,	будем:
иметь

"= ИАж+Впи + ^нзм) ~ 180°]

Лу р ^ А ^ - ^ ю ^ А ^ ^ В ^ - ^ С ^ + ООГ. (У1.31)

Аналогично напишутся выражения для других углов треугольника. Средняя квадратическая ошибка дирекционного угла стороны последнего треугольника ряда. Допустим, что дирекционный угол вычисляется по ходовой линии, проходящей через вершину С (она показана на рис. VI. 1 пунктиром). Тогда функцию ошибку которой надлежит определить,

напишем так:

р = ап = а0 — Сур± 180° + СуР± 180° — Сур ± 180° . . . - С ? р .

Для применения формулы (У.24) необходимо углы Сур выразить через независимые измеренные углы ^4ИЗМ, ВИ37А, Сизм.

Согласно (VI.30) имеем

г1

— 2

г*

1

Я1

А1

«-'УР

"д" Ь'НЗМ

'

-Оизм

3 ^изм-

Теперь на основанпп

(У.29)

т

,

=

1

*

с р р

г

9

С нзм

9

-Визм

9 А 1 И З м

Обозначая

тл

=

т л

=

/п

/ = и

и

полагая г = 1, 2, 3,

. . м гс, для т1

получаем

окончательно

С Изм

-Аизм

# и з м

+

(VI. 32)

или, без учета

ошибки исходного дирекционного

угла,

та п = 1 х У ^ п .

(VI. 33)

Средняя квадратическая ошибка длины стороны последнего треугольника ряда. Функцию, ошибка которой определяется, напишем согласно (VI.3)

	ЗИЫУРВТЛУР		. . . 81П Л УР
	ап = Ъ 81П ВУР В1П ВУР		. . . 8Ш. В$Р '
Применяя прежний путь вывода и опуская математические преобра-
зования, получим в	окончательном	виде
тСп = •^	аЛ 2 )/ | (<^2	А +	А сц С + с1е* В)	(VI .34)

жги в	логарифмической форме
	"V п„ = ^ " / 4 2 (бл + М в + б|),	(VI.35)
	1
где б — изменение логарифма синуса соответствующего		угла при изме-
нении	угла на 1".

Формулы (VI.34) и (VI.35) даны без учета ошибки в длине исходной стороны, влияние которой в данном случае обычно мало.

Величина	б^ +	бАбв + б | = К выбирается из таблиц по аргумен-
там — углам	А я В.	Она характеризует геометрическое достоинство тре-

угольника. Чем острее углы А и 2?, тем больше будет В, а следовательно, и ошибка вычисленной стороны.

Продольный и поперечный сдвиги ряда. Не приводя вывода формул для рассматриваемых ошибок, напишем для цепи равносторонних треугольников формулы П. С. Закатова (для случая измерения и уравни-

вания углов)	для	продольного	и поперечного т ^	сдвигов
		т ^ т ^ ^ у Ш Ш Е Ш Г Ц		(VI.36)
и упрощенно	(для	п >10)

При наличии на обоих концах ряда твердых дирекционных углов, длин сторон и координат пунктов вычисление соответствующих ошибок можно производить так же, как и в полигонометрических ходах.

В. Ходы геометрического

нивелирования

Точность ходов геометрического нивелирования принято характеризовать средней квадратической случайной ошибкой т) и систематической от на 1 км хода. Средняя квадратическая ошибка тн в передаче высот по ходу геометрического нивелирования длиной Ь километров выразится формулой

т н =

(VI .38)

Влияние систематических ошибок (последний член в подкоренном выражении в (VI.38)) обычно учитывается в нивелировании I класса;

.в ходах средней и малой точности пользуются формулой

т п = Т]1/Г.

( Ч 1 Щ

Д. Ходы тригонометрического (геодезического) нивелирования

На основании (VI. 1) и (\т.ЗО) напишем

V	Р С 0 8 4 V