Изучение фигуры геоида и физической поверхности Земли производится путем определения отступлений этих форм от референц-эллипсоида, т. е. расстояний аа1, ЬЬ1ч ссг и ккг, ЬЬХ (см. рис. 11.1) в каждой точке* По этим отступлениям и параметрам эллипсоида принципиально просто строится модель фигуры геоида и реальной Земли.

Физическая поверхность Земли, на которой производят геодезические измерения, значительно и по-разному отступает от референц-эллип- соида.

Для возможности точной математической обработки н а	о д н о й
п о в е р х н о с т и результатов измерений, выполненных на	различных

участках Земли, измерения проектируют, «относят» на поверхность эллипсоида» Например, если измерено расстояние 5 на земной поверхности (см. рис. Пе1)? то путем введения поправки переходят к расстоянию на поверхности референц-эллипсоида, которое и используют при вычислениях*

Изложенные особенности строения фигуры Земли полностью учитываются при математической обработке геодезических измерений высокой точности и сетей, развиваемых на большой территории. В инженерно-геоде- зических работах можно поверхности земного эллипсоида и геоида считать совпадающими между собой. Во многих случаях практики оказывается возможным принимать поверхность Земли даже за плоскость, а при необходимости учета сферичности Земли считать ее шаром, равновеликим по объему земному эллипсоиду. Радиус В такого шара определяется из соотношения

о4 1

Для эллипсоида Красовского В = 6371,11 км*

§6с СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИИ

Вгеодезии применяются различные системы координат. Ниже будут рассмотрены системы геодезических, астрономических и прямоугольных (пространственных и плоских) координате

Г е о д е з и ч е с к а я с и с т е м а			к о о р д и н а т
В этой системе за основную координатную поверхность, на которой
определяется	п л а н о в о е	положение точек	Земли, принимается		по-
верхность референц-эллипсоида, а за основные			координатные линии —
геодезические меридианы и параллели.			называется сечение		эл-
Г е о д е з и ч е с к и м		м е р и д и а н о м
липсоида плоскостью, проходящей через данную точку и малую				(поляр-
ную) ось РРг	(см. рис. II.2); в этой плоскости лежат нормали к			эллип-
соиду в точках меридиана.		п а р а л л е л ь ю	называется сечение		эл-
Г е о д е з и ч е с к о й

липсоида плоскостью, проходящей через данную точку и перпендикулярной малой оси. Параллель, проходящая через центр эллипсоида, называется э к в а т о р о Мо Положение точки на эллипсоиде определяется пересечением меридиана и параллели, проходящих через данную точку.

Меридиан задается геодезической долготой точки, а параллель — геодезической широтой.

Г е о д е з и ч е с к о й ш и р о т о й В точки называется угол между нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора.

Г е о д е з и ч е с к о й д о л г о т о й Ь точки называется двухгранный угол между плоскостью геодезического меридиана данной точки и плоскостью начального (нулевого) меридиана, за который принят мери-

диан	Гринвича	(Англия).	долготы определяют положение	п р о е к -
Геодезические широты и
ц и й	точек на	поверхности	эллипсоида, но не определяют	положение

точек физической земной поверхности; для этого необходимо знать еще отстояние (высоту) данной точки поверхности Земли от эллипсоида»

За начальную (отсчетную) поверхность для определения высот в геодезии принимается основная уровенная поверхность — геоид, называемая также у р о в н е м м о р я . Относительно ее и определяют геодезическими измерениями (нивелированием) высоты точек поверхности Земли. Такие высоты называются а б с о л ю т н ы м и . В СССР за начало счета высот принята уровенная поверхность, проходящая через нуль кронштадтского футштока, почти совпадающий со средним уровнем моря *. Если за начало счета принять уровенную поверхность, проходящую через произвольную (но вполне определенную) точку, то высоты, отсчитываемые от этой поверхности, называются относительными,,

Условимся не	различать	поверхности	геоида и эллипсоида	тогда
положение точки	физической	поверхности	Земли определится	высотой

Н = Мт, т. е. отстоянием ее от эллипсоида по нормали к нему, и широтой В и долготой Ь проекции точки на эллипсоид (см» рис0 II.2). Таким образом, нормаль — третья координатная линия, по которой определяется высота точки физической поверхности Земли над отсчетной поверхностью.

Геодезические широты и долготы вычисляются по результатам геодезических измерений, спроектированных на поверхность эллипсоида; при выводе формул используются нормали к эллипсоиду, вследствие чего геодезические широты и долготы связаны с нормалями.

А с т р о н о м и ч е с к а я с и с т е м а к о о р д и н а т

В этой системе координаты определяют относительно направлений отвесных линий в точках земной поверхности.

Астрономической широтой ф называется угол между направлением о т в е с н о й л и н и и в данной точке и плоскостью экватора.

* Ф у т ш т о к и — рейки, прочно установленные на берегах океанов и морей, при помощи которых ведется наблюдение за уровнем моря. Подробнее о футштоках

исреднем уровне моря см. § 183.

**Так как в действительности эти поверхности не совпадают, то для получения расстояния от точки физической поверхности Земли до эллипсоида необходимо учесть

высоты геоида над эллипсоидом, называемые	а н о м а л и я м и в ы с о т ы . Это
учитывается в высшей геодезии при строгой	обработке геодезических измерений;

в инженерной геодезии это обстоятельство, как правило, значения не имеет, поэтому здесь и не рассматривается. Заметим еще, что аномалии высоты — высоты геоида над выбранным эллипсоидом, определяют фигуру геоида (квазигеоида).

А с т р о н о м и ч е с к а я д о л г о т а X — двухгранный угол между плоскостью астрономического меридиана, проходящего через данную

точку, и плоскостью начального меридиана.		— сечение эллипсоида
А с т р о н о м и ч е с к и й	м е р и д и а н
плоскостью, проходящей через	о т в е с н у ю	линию в данной точке

и параллельную оси вращения Земли.

Как следует из определения, астрономические и геодезические координаты различаются на величины, зависящие от несовпадения направлений нормалей к эллипсоиду и отвеса — у к л о н е н и й о т в е с н ы х л и н и й , природа которых была объяснена в § 6. Следовательно, различие между астрономическими и геодезическими координатами в среднем составляет 3—4", а в отдельных районах — до десятков секунд. Линейное расстояние между двумя точками, разность широт которых равна одной секунде, составляет около 31 ж; поэтому координаты данной точки в рассматриваемых двух системах могут различаться до 100 м, а в аномальных районах и значительно больше.

Более общее название	астрономической и геодезической систем —
г е о г р а ф и ч е с к а я	с и с т е м а к о о р д и н а т , которой мы

и будем пользоваться, предполагая определение координат геодезическим методом. Аналогичный смысл будем вкладывать и в понятие географиче-

ского

меридиана.

С и с т е м а

п р я м о у г о л ь н ы х

к о о р д и н а т

За

последнее время в

геодезии начинает

применяться

с и с т е м а

п р о с т р а н с т в е н н ы х

к о о р д и н а т

X, У, 2 с началом в цен-

тре О земного эллипсоида; ось 1 располагается по полярной

оси;

оси X

и У — в плоскости экватора — пер-

ш

I

вая в сечении начального меридиана,

вторая

— перпендикулярна

к

ней

(см.

рис. И.2).

Применения

в ин-

|1

женерно-геодезических работах эта

0

система пока не

имеет.

Она целесо-

•у

|

+У

образна

для определения

положе-

ния

внеземных

объектов — ракет,

искусственных

спутников

Земли и

ш

П

в некоторых других случаях.

ко-

Если

размеры участка,

на

тором

производятся

геодезические

работы, позволяют не

принимать во

внимание

сферичность

Земли,

то

Рис. П.З. Плоские прямоугольные ко-

пользуются системой плоских

декар-

ординаты

товых координат. Эту систему обра-

зуют две взаимно

перпендикулярные

прямые линии, лежащие в горизонтальной плоскости,

одну

из которых

обычно совмещают с меридианом, принимая

за

ось абсцисс х с положи-

тельным направлением

на север, а вторую — за ось ординат у с положи-

тельным направлением на восток

(рис. II. 3). Пересечение прямых О —

начало координат. Четверти нумеруются по ходу часовой стрелки; северо-восточная четверть считается первой.

Положение точки определяется координатами х и г/? которым в зависимости от четверти приписывается знак «+» или «—».

При произвольном выборе осей, подобная система координат называется ч а с т н о й ; она находит широкое применение в инженерногеодезических работах.

Для перехода от частной системы координат к географической (или системе координат Гаусса — Крюгера, см. § 7) необходимо знать координаты точки О и угол между положительным направлением оси х и северным направлением меридиана.

§ 7о УЧЕТ КРИВИЗНЫ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ РАССТОЯНИЙ И ВЫСОТ

При изучении земной поверхности все ее точки, как указывалось в § 5, предварительно проектируют на принятую единую поверхность линиями, перпендикулярными к этой поверхности. Такое проектирование называют о р т о г о н а л ь н ы м . Каждой точке или контуру на физической поверхности Земли соответствует точка или контур на поверхности проектирования. За таковую принимается основная уровенная поверхность геоида, которую мы условились не различать от поверхности эллипсоида.

Теперь найдем, какого размера участки земной поверхности практически можно при-

нимать за плоские, т. е. не считаться с			шаро-
образностью Земли. Примем Землю за шар
радиуса В. Задача сводится к сравнению длины
дуги ТВ = 8 с длиной	касательной ТВ' = I
(рис. II.4). Имеем I = В	а и 5 = В а. Обо-
значим разность I — 5 через		тогда
	А1 = В(1%а — а).
Так как величина I незначительна по сравнению с Ву а угол а мал,
то можно принять
тогда
			(Н.1)
Приняв приближенно	В	= 6000 км,	I = 10 км, получим
М		1	1
I		3 • 36 • 104	1000000

Эта точность является наивысшей при измерении расстояний на земной поверхности. Следовательно, участки земной поверхности размером 20x20 км во всех случаях можно считать плоскими.

Как видно из формулы (ИЛ), А1 возрастает пропорционально кубу длины, т. ес 1Ъ.

Определим величину отрезка АА' = ВВГ = Ак (см. рис. 11.4), который выражает влияние кривизны Земли на определение высот точек

земной	поверхности.			треугольника		О ТВ'	имеем
Из	прямоугольного
или			I* = (В + Д/г)2 —Я2			= 2В Ак + Д/г2
				д 7	№
					2Е + АН
или по малости			Дк по сравнению с радиусом Земли
				АН--	2Я				(П.2)
Придавая в формуле (П.2) различные значения I, получим следующие
значения АН (табл. 1).
									Таблица 1
Расстоя-		1	100	1000	2000		3000	5000	10 000
		м	^
	ния,
	АН, см		0,08	7,8		31	71	105	780

В инженерно-геодезических работах требуемая точность определения отметок нередко характеризуется ошибками 1—2 см и даже менее, поэтому влияние кривизны Земли на определение высот должно, как правило, учитываться*

§ 8. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА—КРЮГЕРА

Для изображения значительных частей земной поверхности на плоскости применяются специальные проекции, дающие возможность перенести точки поверхности Земли на плоскость по математическим законам; тогда положение точек становится возможным определять в наиболее простой системе плоских прямоугольных координат у. Такие проекции обычно называются картографическими проекциями. Общие формулы картографических проекций могут быть написаны в виде

	х = /г	(В, Ь)		(И.З)
	у - и	( д	ь)

В общем случае проекции, определяемые уравнениями (И.З), будут вызывать искажения углов и линий. В геодезических целях выгодно приме-

нять изображение	поверхности	эллипсоида	на плоскости, которое	н е
и с к а ж а л о бы	у г л о в ,	т. е. углы	фигур на эллипсоиде и	их

изображений на плоскости были бы равными. Такие проекции называются р а в н о у г о л ь н ы м и , или к о н ф о р м н ы м и . В этом случае

изображение весьма малых частей эллипсоида будет подобным, масштаб в их границах — практически постоянным, а искажения линий — не зависящими от их азимута. Выгода применения конформных проекций заключается в том, что при необходимости учета искажений следует вводить поправки только в длины линий и притом практически постоянные в пределах отдельных участков. Конформных проекций может быть множество. В СССР принята конформная проекция эллипсоида на плоскости и соответствующая ей система координат Гаусса — Крюгера (по имени

1.Земной эллипсоид меридианами разбивается на зоны (рис. II.5).

ВСССР приняты шести- и трехградусные зоны. Средний меридиан зоны называется о с е в ы м . Нумерация зон ведется от Гринвичского меридиана на восток (рис. 11.6).

2о Каждая зона в отдельности конформно проектируется на плоскость таким образом, чтобы осевой меридиан изображался прямой линией без искажений (т. е. с точным сохранением длин вдоль осевого мери-

диана). Этим определяется вид функций и /2	в формуле (II.3). Экватор
также изобразится прямой линией. За начало счета координат в каждой
зоне принимается пересечение изображений	осевого меридиана — оси

абсцисс х и экватора — оси ординат у. Показанные на рис. II.6 линии, параллельные изображению осевых меридианов и экватора, образуют прямоугольную координатную сетку.

3. Искажения длин линий в проекции Гаусса — Крюгера возрастают но мере удаления от осевого меридиана пропорционально квадрату ординаты. Эти искажения на краях шестиградусной зоны могут достигать