Введем общепринятое обозначение,	пусть
п	=	(У.6)

где х — среднее арифметическое или арифметическая средина.

На осповаппи формулы (У.4) можно утверждать, что среднее арифметическое из одинаково точных измерений является наиболее падежным результатом при любом числе измерений, если п > 1.

§ 22. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ОШИБКИ ОДНОГО ИЗМЕРЕНИЯ. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СРЕДИНЫ

Имея ряд измерений одной и той же величины, мы должны уметь оценивать точность как одного измерения, так и арифметической средины.

.Для оценки точности отдельного измерения в теории ошибок применяется введенная Гауссом средняя квадратическая ошибка

т	у Д2	+ Д|+ Д | + . . . + Д 2	да ^	( У 7 )

Казалось бы, что более естественно оценку точности выполнять по средней ошибке, вычисляемой как среднее арифметическое из абсолютных величин ошибок, т. е.

п

п

\ ' )

Однако оказывается, что средняя квадратическая ошибка пмеет ряд преимуществ по сравнению со средней ошибкой, а именно: 1) на величину средней квадратической ошибки сильнее влияют большие по абсолютной величине ошибки; 2) средняя квадратическая ошибка обладает доостаточной устойчивостью и поэтому при сравнительно небольшом числе измерений ее величина получается с большей достоверностью.

Например, имеем два ряда ошибок измерений I ряд 5, 6, 8, 9, 10, 12 и 13 II ряд 3, 4, 5, 8, 10, 15 и 18.

Средние ошибки этих рядов одинаковы

е х = е 2 = - | - = 9 .

Средние квадратические ошибки тех же рядов будут

9,4.

т г = ] / Г Ш = ± 10,4.

Как видно, т2 > т^ что.является следствием наличия во втором ряду больших ошибок, как, например, 15 и 18. Влияние этих ошибок на величину 62 не сказалось, тогда как на /тг2 это заметно сказалось. Таким образом, средняя квадратическая ошибка лучше регистрирует точность измерений.

Связь между б и т выражается формулой т = ±1,250. (У.9)

В качестве предельной ошибки Д для данной серии ошибок принимается утроенная средняя квадратическая ошибка, т. е.

А пред = Зт< (У.Ю)

На практике во многих работах для повышения требований к точности измерений за предельную ошибку принимают 2 т.

Практика геодезических измерений показывает, что из 100 ошибок измерений только 30—32 по абсолютной величине 5 ошибок ^ 2 т \ из 1000 ошибок только 3 ^ 3 т.

Обозначим среднюю квадратическую ошибку арифметической средины через М и, опуская подробности доказательства, приведем формулу для ее вычисления

(У.11)

где п — число измерений.

Из формулы (У.11) следует, что средняя квадратическая ошибка арифметической средины прямо пропорциональна т и обратно пропорциональна коршо квадратному из числа измерений»

§ 23. ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ ДЛЯ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ

Приведенная в предыдущем параграфе формула средней квадратической ошибки (У.7) применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи на практике редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. Но из измерений можно получить наиболее надежный результат — арифметическую средпну. Получим формулу для вычисления средней квадратической ошибки при помощи арифметической средины.

Пусть	по-прежнему X — истинная	величина;	/2,	. . 1п —
значения одинаково точных измерений этой величины; Дх, Д2, Д3, . .
Дл — истинные ошибки. Эти величины связаны уравнениями				(У.З)
	1г — Х = А1
		2
	1п~Х=	Д,
4 Заказ	495

Обозначим через	1^2» уз>	• • •» ^п разности между каждым		отдель-
ным измерением и средним арифметическим х, тогда
	/ 2 — # =		г>2	(У.12)
	^3—x=V		з
Вычтем почленно из (У.З) (У.12), получим
	а: — -X = Д2— гл,
	ж —Х = Д2		— г;о	(У-13)
	а; —	Дя — г;Л

Разность а; — X — некоторая малая величина; обозначим ее через е, тогда

Ах =01-г в

		А2	=	+	е		(У.14)
		Л з ^ з + Б
	Возведя обе части этих равенств				в	квадрат и складывая,	получим
		[Д2] =	[г;2] +пе2 + 2е [»].				(У.15)
	Сумма правых и левых частей (У.12) дает
	или	[ / ] — пх=				[V]
		х=ш__
						М	(У.16)
				п	п
	Но по (У.6) х =	следовательно, при любом числе измерений долж-
	но быть		[у] = 0.				(У.17)
	Поэтому
		[Д2] =		[г;г]+ие2			(У.18)
	или
		[ Д 2 ]	_	[»>]
					+	82-	(У.19)
	Из (У.14) путем сложения и возведения в квадрат получим
		[Ар		[Д«]	,	р. [А<А/]
	Ь	— П2		и2	'	»
				П*

Поэтому, учитывая (У.,2'), из (У.19) следует, что

	[ Д 2 ] ^	[Р»]	,	[ А 2 ] ^
	/г	/г	~	гс2
Заменяя	через ттг2 по формуле (У.7), получим
	™2		И]
		п—1

или

т

Формула (У.20) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Величины . . — уклонения отдельных измерений от арифметической средины — будут вероятнейшими •ошибками измерений.

§ 24. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИЙ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Выше рассмотрен вопрос о выводе средней квадратической ошибки непосредственно измеренных величин. Нередко определяемая величина является функцией других непосредственно измеряемых величин. Поэтому возникает вопрос о вычислении средней квадратической ошибки функции измеренных величин.

Рассмотрим ^простую линейную функцию вида

(У.21)

где х и у — независимые переменные аргументы.

Допустим, что каждый из этих аргументов измерялся п раз и каждое измерение сопровождалось случайными ошибками Ах1 и Ду1 (I = 1,2, 3, . . п); тогда

г% + Дг, = (х1 + Да:,) + (у1 + Дуй)9

или

Д2= Ах. + Ау..

(У.22)

Для перехода от (У.22) к средним квадратическим ошибкам возведем обе части равенства (У.22) в квадрат, просуммируем полученные выражения, придавая I значения от 1 до п; тогда

[Д22] = [Дя2] + [Ду2] + 2 [ Ах Ау]

или

[ А * ]	[ Д а * ]	. [ Д у 2 ]	'	2 [ А х А у ]
п	п	' п		п	9

где [АхАу] — сумма произведений случайных ошибок независимых переменных х и у. Поэтому на основании формулы (У.2')

[ А г 2 ] ^ [Ах*]

. [А1/2]

п п * п *

Переходя к средним квадратическим ошибкам,	получим
т \ ^ т 1 + т \ .	(У.23)
Формула (У.23) справедлива и для случая

г^х — у.

Обобщая предыдущий результат, можно записать, что при

г = х	±1 ± и±: . . . ±	V,
будет	. .*	(У-24)
=

т. е. квадрат средней квадратической ошпбки алгебраической суммы или разности аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошпбок слагаемых.

Если тх	= ти = т* = ти = . . . = т1} = га, то	формула (У-24)
примет вид
	т2т=т\/~п,	(У.25)
т. е. средняя	квадратическая ошибка алгебраической	суммы (разности)

п измеренных велпчин с равными квадратическими ошибками в ]/7Граз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.

Пусть дана функцпя

* =	(У.26)
где к — постоянная величина.
Если аргумент х был измерен п раз, то, очевидно,
=	(5 = 1, 2, . . ., п)
илп
[А*2] __	ГД*2] ^
п	П *

Переходя к средним квадратическим ошибкам, по формуле (У.7) получим

		т\ = к2тх	или	тг = ктх.		(У.27)
Обобщая формулу		(У.27) для случая многих аргументов
получим	2 =	кгх ± к2у ±	± . . .		±кпр,	(У.28)
	т ! = к*т1 + к1т1 + к$щ+			. . . +/с*т?г*.		(У.29)
Допустим,	что кг	== к2 = к3 =	. . . =		кп = к; тх =	пгу = /т^ =
= . . . = т у =	/?г,
тогда
		т2 = Ата ]/7г.				(У.29')
Рассмотрим функцию многих переменных общего вида

^ = / (я,

г,

г>)«