kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

1.4. Систематическое решение линейных систем.				21
Решение. Расширенная матрица системы есть
A = 22	3	a	53
1	2	3	4
43	4	5	b5

	R3	! R3	3R1	20	1	a 6	3	3
	R2	R2	2R1	1	2	3	4
f		!		40	2	4 b 125
		R3	R3 R2	20	1	a 6		3 3	= B:
				1	2 3			4
			!	40	0	2a + 8 b 65

Случай 1. a 6= 4. Тогда 2a + 8 6= 0 и мы видим, что B может быть приведена к матрице вида

23

1	0	0		u
0	1	0		v	5
40	0	1	2a+8
				b 6

и мы имеем единственное решение x = u; y = v; z = (b 6)=( 2a+8).

Случай 2. a = 4 Тогда

23

	1	2	3	4
B =	0	1	2	3	:
	40	0	0	b 65

Если b 6= 6 мы не имеем решений, тогда как если b = 6, то

B =	20	1	2 33		R1		R1 + 2R2	20	1	2	33	:
	1	2 3		4				1	0	1	2
	40	0	0	0 5		!		40	0	0	0 5

Мы получаем полное решение x = 2 + z; y = 3 + 2z, с произвольной z.

22	Глава 1. Линейные уравнения

Пример 1.4.8 Найти привед¼нную ступенчатую форму над полем Z3 следующей матрицы

							2	1	2	1	:
							2	2	1 0
Другими словами, решить систему
							2x + y + 2z			=		1
							2x + 2y + z			=		0
íàä Z3.
				2	1	2	1		!	R2 R1				2	1	2	1
	Решение. 2				2	1	0	R2					0		1	1	1	=
2	1	2	1
0	1	2	2
R1 ! 2R1			1	2	1	2		! R1				1	0	0	1
			0 1 2 2				R1			+ R2		0 1 2 2 .

Последняя матрица имеет привед¼нную ступенчатую форму.

Теперь мы можем записать полное решение системы уравнений, у которой расширенная матрица есть данная матрица над по- ëåì Z3. Как видно из привед¼нной ступенчатой формы, мы имеем x = 1 и y = 2 2z = 2 + z; где z = 0; 1; 2. Следовательно, имеет-

ся три решения данной системы линейных уравнений: (x; y; z) = (1; 2; 0); (1; 0; 1) и (1; 1; 2).

1.5. Однородные системы

23

1.5Однородные системы

Система однородных линейных уравнений есть система вида

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + + a2nxn	= 0
am1x1 + am2x2 + + amnxn	.
	= 0:

Такая система всегда совместна, так как x1 = 0; ; xn = 0 есть решение системы. Это решение называется тривиальным решением. Любое другое решение называется нетривиальным решением.

Например, однородная система

x y = 0 x + y = 0

имеет только тривиальное решение, в то время как однородная система

x y + z	=	0
x + y + z	=	0

имеет полное решение x = z; y = 0; z произвольна. В частности, если z = 1, то мы получаем нетривиальное решение x = 1; y = 0; z = 1.

Есть простая, но фундаментальная теорема об однородных системах.

Теорема 1.5.1 Однородная система из m линейных уравнений с n неизвестными всегда имеет нетривиальное решение, если m < n.

Доказательство. Предположим, что m < n и что матрица коэффициентов системы строчно эквивалентна B, матрице имеющей привед¼нную ступенчатую форму. Пусть r есть число ненулевых строк в B. Тогда r m n и, следовательно, n r > 0 и, таким образом, число n r произвольных неизвестных фактически поло-

жительно. Если одной из этих неизвестных задать значение 1, то мы получим нетривиальное решение.

24 Глава 1. Линейные уравнения

Замечание 1.5.1 Пусть две системы однородных уравнений с n неизвестными имеют матрицы коэффициентов A и B, соответственно. Если каждая строка B есть линейная комбинация строк A(то есть сумма строк умноженных на скаляры) и каждая строка A есть линейная комбинация строк B, тогда нетрудно доказать, что две

системы имеют идентичные решения. Обратное утверждение тоже верно, но его доказательство не так просто как привед¼нное. Подобным образом, если A и B имеют одну и ту же привед¼нную

ступенчатую форму, не считая возможно нулевых строк, тогда две системы имеют идентичные решения и обратно.

Имеется подобная ситуация в случае двух систем линейных уравнений (не обязательно однородных), с что в обратном утверждении, дополнительное условие о том, что обе системы совместны, не является обязательным.

1.6. Задачи

25

1.6Задачи

1. Какие из следующих матриц имеют привед¼нную ступенча- тую форму?

(a)	20		0	1	0		4	3	(b)	20		0	1		0	43		(c) 20		0	1	0	3
	1 0 0 0						3			0 1 0				0		5	5		0 1 0			0	5
	4	0	1	0	0		2 5			4	1	2	0		0	0		04 0		0	0	2
	0 0 0 1					2				0 0 0					1 3			20	0 1 0
(d)	20		0	0	0		13		(e)	20		0	1		0	03	(f)		0	1	23
	60		0	0	0		0	7		60		0	0		0	07		60	0	0	07
	6	0	0	0	1		4	7		6	0	0	0		0	7		6	0	0	1	7
	4							5		4						5		4				5

23

		1	0	0	0	1	7
(g)		0	1	0	0	2		:
	60		0	0	0	0
	6	0	0	0	1	1	7
	4						5

2.Найти привед¼нные ступенчатые формы строчно эквивалентные следующим матрицам:

(a) 2	4	0	(b)	1	2	4	(c)	21	1	03	(d)	2	0		0	03	:
	0	0			1			1	1	1			2		0	0
								1	0	0				4	0	0
0				0		3		4		5		4				5

3.Решить следующие системы линейных уравнений с помощью приведения расширенной матрицы к привед¼нной ступенча-

той форме:

	x + y + z				=	2
(a)	2x + 3y z				=	8		(b)
	x y z				=	8
	x	y			z		0
	3		+	7		=	1
(c)	2x y +			4z		=	2	(d)
	x y + z					=	1
	6x 4y + 10z					=	3

x1 + x2 x3 + 2x4 = 10

3x1 x2 + 7x3 + 4x4	=	1
5x1 + 3x2 15x3 6x4	=	9

2x2 + 3x3 4x4	= 1
2x3 + 3x4	=	4
2x1 + 2x2 5x3 + 2x4	= 4
2x1 + 6x3 + 9x47 =		7

4.Показать, что следующая система совместна тогда и только тогда, когда c = 2a 3b и решить систему в этом случае.

26	Глава 1.		Линейные уравнения
	2x y + 3z	=	a
	3x + y 5z	=	b
	5x 5y + 21z = c:

5.Найти значение параметра t для которого следующая система совместна и решить е¼ для этого значения t.

x + y = 1 tx + y = t

(1 + t)x + 2y = 3:

6. Решить однородную систему уравнений

3x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 3x2 + x3 + x4	= 0
x1 + x2 3x3 + x4	=	0
x1 + x2 + x3 3x4	=	0:

7.	Для каких рациональных чисел однородная система
	x + ( 3)y	=	0
	( 3)x + y	=	0
	имеет нетривиальное решение?
8.	Решить однородную систему
	3x1 + x2 + x3 + x4		= 0
	5x1 x2 + x3 x4		= 0

9.Пусть A есть матрица коэффициентов следующей однородной системы n уравнений с n неизвестными

(1 n)x1 + x2 + : : : + xn = 0

x1 + (1 n)x2 + : : : + xn	= 0
: : : =		0
x1 + x2 + : : : + (1 n)xn	=	0:

Найти привед¼нную ступенчатую форму A и, следовательно,

или другим способом, доказать, что решение системы есть x1 = x2 = : : : = xn; ãäå xn произвольна.

1.6. Задачи

27

a b

10. Пусть A = c d есть матрица над полем F . Доказать, что

A строчно эквивалентна 10 01 , если ab cd 6= 0; и строчно эквивалентна матрице, у которой вторая строка нулевая, если ab cd = 0.

11.Для каких рациональных значений a следующая система (i)

не имееет решений, (ii) имеет единственное решение, (iii) имеет бесконечно много решений?

x + 2y 3z		=	4
3x 2	y + 5z	=	2
4x + y + (a	14)z	= a + 2:

12. Решить следующую систему однородных уравнений над Z2:

x1	+ x3	+ x5	=	0
x2	+ x4	+ x5	=	0
x1 + x2 + x3 + x4			= 0
	x3	+ x4	=	0:

13. Решить следующие системы линейных уравений над Z5:

2x + y + 3z = 4				2x + y + 3z = 4
(a) 4x + y + 4z	=	1	(b)	4x + y + 4z	=	1
3x + y + 2z	=	0		x + y	=	3:

14.Åñëè ( 1; 2; : : : ; n) è ( 1; 2; : : : ; n) есть решения системы линейных уравнений, доказать. что

((1 t) 1 + t 1; : : : ; (1 t) n + t n)

также есть решения.

15.Åñëè ( 1; 2; : : : ; n) есть решения системы линейных уравнений, то доказать, что полное решение можно записать как x1 = 1 + y1; : : : ; xn = n + yn; ãäå (y1; : : : ; yn) есть общее решение ассоциированной однородгой системы.

28	Глава 1. Линейные уравнения

16.Найти значения параметров a и b, для которых следующая система совместна. А также найти полное решение, когда a = b = 2.

x + y z + w	=	0
ax + y + z + w	= b
3x + 2y + aw =		1 + a:

17.Пусть F = f0; 1; a; bg есть поле, состоящее из 4 элементов.

(a)Определить таблицы сложения и умножения для F .

(b)Матрица A, элементы которой принадлежат F , определя-

åòñÿ òàê

23

1	a	b	a
a	b	b	1	;
A = 41	1	1	a5

доказать, что привед¼нная ступенчатая форма матрицы A есть

21	0	0	03
B = 40	1	0	b5:
0	0	1	1

Глава 2

Матрицы

2.1Арифметика матриц

Матрица над полем F это прямоугольная таблица элементов из F . Символ Mm n(F ) обозначает коллекцию всех m n матриц над F . Матрицы обычно обозначаются большими буквами и равенство A = [aij] означает, что элемент в i-ой строке и j-ом столбце матрицы A равными aij. Также иногда пишут aij = (A)ij. В настоящей главы, все матрицы будут иметь рациональные элементы, если не оговаривается другое.

Пример 2.1.1 Формула aij = 1=(i + j) äëÿ 1 i 3; 1 j

4 определяет 3 4 матрицу A = [aij]; а именно

	2	1	1	1	1	3
		1	1	1	1
	4	2	3	4	5	5
A =		1	1	1	1		:
		4	5	6	7
		3	4	5	6

Определение 2.1.1 ( Равенство матриц) Говорят, что матрицы A и B равны, если A и B имеют один размер соответствую-

щие элементы равны; то есть, A и B 2 Mm n(F ) è A = [aij]; B = [bij]; è aij = bij äëÿ 1 i m; 1 j n:

29

30	Глава 2. Матрицы

Определение 2.1.2 (Сумма матриц) Пусть A = [aij] è B = [bij]

есть матрицы одного размера. Тогда A + B это матрица, которая получается сложением соответствующих элементов A и B; то есть

A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]:

Определение 2.1.3 (Скалярный множитель матрицы) Пусть

A = [aij] è t 2 F (òî åñòü t åñòü скаляр). Тогда tA есть матрица, которая получается умножением всех элементов A на t; то есть

tA = t[aij] = [taij]:

Определение 2.1.4 (Противоположная матрица) Пусть A = [aij]. Тогда A есть матрица, полученная зменой элементов матрицы A на им противоположные; то есть

A = [aij] = [ aij]:

Определение 2.1.5 ( Вычитание матриц) Вычитание матриц определяется для двух матриц A = [aij] è B = [bij] одного размера, обычным образом; а именно

A B = [aij] [bij] = [aij bij]:

Определение 2.1.6 (Нулевая матрица) Для каждого значения m; n матрица из Mm n(F ), все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей (размера m n) и обозначается символом

0.

Матричные операции сложения, умножения на скаляр, взятия противоположной матрицы и вычитания удовлетворяют обычным законам арифметики. (В нижепривед¼нных формулах s и t есть

произвольные скаляры и A; B; C это матрицы одного размера.

1.(A + B) + C = A + (B + C);

2.A + B = B + A;