kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

2.7. Задачи

61

2.7Задачи

1. Пусть A =	3	1 . Доказать, что A есть обратимая матри-
	1	4

ца, найти A 1 и выразить A как произведение элементарных матриц.

2.Квадратная матрица D = [dij] называется диагональной åñëè dij = 0 для i 6= j. (То есть, все недиагональные элементы равны нулю.) Доказать, что DA есть матрица, все строки которой есть строки матрицы A, умноженные на соответствующие диагональные элементы D. Сформулировать и доказать подобное утверждение для матрицы AD.

Пусть diag(a1; : : : ; an) обозначает диагональную матрицу, диагональные элементы которой dii åñòü a1; : : : ; an, соответствен- но. Показать, что

diag(a1; : : : ; an)diag(b1; : : : ; bn) = diag(a1b1; : : : ; anbn)

и вывести утверждение: если a1 : : : an 6= 0; тогда diag(a1; : : : ; an) обратима и

(diag(a1; : : : ; an)) 1 = diag(a1 1; : : : ; an 1)
. А также доказать, что diag(a1; : : : ; an) необратима, если ai =
0 для некоторого i.
3. Пусть A = 21	2	63. Доказать, что A необратима, найти A 1
0	0	2
и выразить4A êàê		5
3	7	9
		произведение элементарных матриц.

4. Найти рациональное число k для которого матрица A =	23	1	1	3
	1	2	k
необратима.	45	3	55

1 4

5.Доказать, что A = 3 1 необратима и найти обратимую матрицу P такую, что матрица P A имеет нулевую последнюю строку.

62	Глава 2. Матрицы

6.	Åñëè A =	1		4	, проверить что A2 2A+13I2 = 0 и вывести
			3	1
						1
	равенство A 1			=			(A 2I2).
						13
7.	Пусть A =	20		0		1	3.
		1		1	1
		42		1		2	5

(i)Проверить, что A3 = 3A2 3A + I3.

(ii)Выразить A4 через A2; A è I3 и, следовательно, вычислить

A4.

(iii)С помощью (i) доказать, что A обратима и вычислить

A 1.

8.(i) Пусть B есть n n матрица такая, что B3 = 0. Åñëè A =

In B, доказать, что A обратима и A 1 = In + B + B2.

(ii) Åñëè B =	20	0	t	3, проверить, что B3	= 0 и с помощью
	0	r	s	5
	4

0 0 0

(i)найти (I3 B) 1.

9.Пусть A есть n n матрица.

(i)Åñëè A2 = 0, то доказать, что A необратима.

(ii)Åñëè A2 = A è A 6= In, то доказать, что A необратима.

10.С помощью задачи 7 решить систему уравнений

x + y z = a z = b

2x + y + 2z = 0

где a; b; c данные рациональные числа. Проверить решение по алгоритму Гаусса-Жордана.

11.Определить в явном виде следующие произведения 3 3 элементарных матриц

(i) E12E23 (ii) E1(5)E12 (iii) E12(3)E21( 3) (iv) (E1(100)) 1

(v) E121 (vi) (E12(7)) 1 (vii)(E12(7)E31(1)) 1:

2.7. Задачи

63

12. Пусть A есть произведение 4 4 элементарных матриц:

A = E3(2)E14E42(3):

Найти A и A 1 в явном виде.

13. Определить какие из следующих матриц над Z2 обратимы и найти обратные матрицы, где это возможно.

(a)	20 0 1				13	(b)	20 1 1				13	:
		1	1	0	1			1	1	0	1
	61		0	0	17		61		1	0	17
	6	1	1	1	7		6	1	0	1	7
	4				5		4				5

14. Определить какие из следующих матриц обратимы и найти обратные матрицы,где это возможно.

(a)	2 1	1	03	(b)	21	0	13	(c)	20	0	7 3	(d)	20	5	03
	1	1	1		2	2	4		4	6	3		2	0	0
	4 2	0	05		40	1	05		40	0	5 5		40	0	75

23

	1	2	4	6	(f)	24	5	63	:
(e) 0 0 1				2
	0	1	2	0		1	2	3
60		0	0	27		5	7	9
6				7		4		5
4				5

15.Пусть A есть обратимая n n матрица. Доказать, что At îá- ратима и что (At) 1 = (A 1)t.

16.	Доказать, что A =	a	b	не имеет обратной матрицы, если
		c	d
	ad bc = 0.				2 a		c3
17.	Доказать, что матрица A =					1		над полем действи-
					1	a	b
					4 b	c	15

тельных чисел, не имеет обратной с помощью доказательства того, что A строчно эквивалентна I3.

18. Åñëè P 1AP = B, то доказать, что P 1AnP = Bn äëÿ n 1.

c 1

64	1=3	3=4		1	Глава 2. Матрицы
19. Åñëè A =			; P =		4 . Проверить, что P 1AP =
	2=3	1=4		1	3

5=12	0	и доказать, что
0	1
		An =	1	3	3	+	1			5		n	4 3	:
				4	4
			7				7			12
													4 3

20. Пусть A =	a	b	есть матрица Маркова; то есть это матрица,
	c	d

все элементы которой неотрицательные числа и a + c = 1 =

b + d. А также пусть P = b 1 : Доказать, если A 6= I2, òî

(i) P обратима P 1AP =				0	a + d 1 ;
		c		1	0	0
(ii) An ! b + c			c ïðè n ! 1; åñëè A 6= 1				:
	1	b	b		0	1
21	23		2 13
21. Åñëè X = 43	45 è Y = 4 3 5, найти XXt; XtX; Y Y t; Y tY:
5	6		4

22. Доказать, что система линейных уравнений

x + 2y = 4 x + y = 5 3x + 5y = 12

несовместна и найти наименьшее квадратичное решение системы.

23.Утверждается, что точки (0, 0), (1, 0), (2, -1), (3, 4), (4, 8) лежат на параболе y = a + bx + cx2. Найти наименьшее квадратич- ное решение для a; b; c. А также доказать, что не парабола проходит через эти точки.

2.7. Задачи

65

24.Если A есть симметричная n n матрица над полем действительных чисел и B есть n m матрица, доказать что BtAB есть симметричная m m матрица.

25.Если A есть m n и B n m матрицы, то доказать, что AB обратима если m > n.

26.Пусть A и B есть n n матрицы. Если A или B необратимы, то доказать что AB также необратима.

66	Глава 2. Матрицы

2.8Детерминанты

a11 a12

Определение 2.8.1 Если A = a21 a22 , мы определим детерминант матрицы A, (также обозначается через detA) как скаляр

detA = a11a22 a12a21:

a11 a12

Обозначение a21 a22 также используется для детерминанта A.

Если A есть действительная матрица, то существует геометриче- ская интерпретация detA. Если P = (x1; y1) è Q = (x2; y2) это точки на плоскости, составляющие треугольник с началом координат Q =

					1	x1	y1				x1 = r1 cos 1 è y1 = r1 cos 1,
Воспользуемся полярными координатами,
(0; 0), тогда не считая знака,					2					есть площадь треугольника OP Q.
						x2	y2
ãäå		è		есть угол между				лучом			OP и положительной x-
	r1 = OP		1								!

осью. Тогда треугольник OP Q имеет площадь 21 OP OQ sin , ãäå
= \P OQ. Если треугольник P OQ имеет ориентацию против часо-
вой стрелки, тогда луч !	2 =		1+
OQ составляет угол				с положитель-

ным направлением x-оси. (См. рис.

А также x2 = r2 cos 2 è y2 = r2 sin 2.Следовательно

Площадь OP Q	=
	=

=

=

= 12 (y2x1 x2y1)

=

12 OP OQ sin

12 OP OQ sin 2 1

12 OP OQ(sin 2 cos 1 cos 2 sin 1)

12 (OQ sin 2 OP cos 1 OQ cos 2 OP sin 1)

1	x1	y1		:
2	x2	y2

Подобным образом, если треугольник OP Q имеет ориентацию

по часовой стрелке, тогда его площадь равна 2	x2			y2	.
1		x1		y1
Для произвольного треугольника P1P2P3; åñëè			Pi = (xi; yi); i =

1; 2; 3; мы можем взять точку P1 вместо начала координат. Тогда привед¼нная выше формула приобретает вид

2.8. Детерминанты

y1

x3

x1

y1

67

2

x3

x1

y3

2

y3

;

1

x2

x1

y2

y1

èëè 1

x2

x1

y2

y1

в соответствии с тем как P1P2P3 ориентированы: против часовой стрелки или по часовой.

Теперь мы дадим рекурсивное определение детерминанта n n матрицы A = [aij]; n 3.

Определение 2.8.2 (Минор) Пусть Mij(A) (или просто Mij åñëè нет двусмысленности) обозначает детерминант n (n 1) подматрицы A

которая получается если удалить i-ую строку и j-ый столбец матрицы A: Mij(A) называется (i; j) минор A:

Предположим, что детерминант как функция определен для всех матриц размера (n 1) (n 1). Тогда detA определяется с

помощью так называемого разложения Лапласа по первой строке:

detA =	a11nM11(A) a12M12(A) + : : : + ( 1)1+nM1n(A)
=	Pj=1( 1)1+ja1jM1j(A):

Например, если A = [aij] есть 3 3 матрица, то по разложению Ла-

detA

= a11M11(A) a12M12(A) + a13M13(A)

пласа получаем

= a11

a22

a23

a12

a21

a23

+ a13

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

=a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31)

=a11a22a33 a11a23a32 a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31:

Рекурретное определение также верно для 2 2 детерминантов, если мы определим детерминант 1 1 матрицы [t] как скаляр t:

detA = a11M11(A) a12M12(A) = a11a22 a12a21:

Пример 2.8.1 Если P1P2P3 есть треугольник и Pi

= (xi; yi); i =

1; 2; 3;тогда площадь треугольника P1P2P3 определяется по фор-

ìóëå

x2

1

1

2

y2

èëè

frac12

x2

y2

;

1

x1

y1

1

x

1 y1

1

x

3

y

3

1

x

3

y

3

1

68	Глава 2. Матрицы

в соответствии с ориентацией треугольника: против часовой стрелки и по часовой стрелки.

Из определения 3 3 детерминантов, мы имеем

		x1	y1	1			2		1	y3		1				1	x3		1		x3		y3
2 x3 y3				1
1							1				y2	1						x2	1			x2	y2
		x2	y2	1		=		x							y					+

=	1	x2 x1	y2 y1		:
	2	x3 x1	y3 y1

Одно из свойств детерминантов, которое немедленно следует из определения, следующее

Теорема 2.8.1 Если матрица содержит нулевую строку, тогда е¼ детерминант равен нулю.

(Соответствующий результат для столбцов также имеет место, но данная теорема доказывается более просто, по индукции.)

Один из простейших для вычисления детерминантов есть детерминант нижнетреугольной матрицы.

Теорема 2.8.2 Пусть A = [aij]; ãäå aij = 0 если i < j. Тогда

detA = a11a22 : : : ann:

(2.2)

Важный специальный случай, когда A является диагональной матрицей.

Åñëè A = diag(a1; : : : ; an) тогда detA = a1 : : : an. В частности,для скалярной матрицы tIn; мы имеем det(tIn) = tn.

Доказательство. Мы воспользуемя индукцией по размеру n матрицы.

Теорема верна для n = 2. Пусть теперь n > 2 предположим, что теорема справедлива для матриц размера n 1. Если A есть n n матрица, то разложим detA по первой строке, тогда

2.8. Детерминанты

detA =

= a11(a22 : : : ann)

по предположению индукции.

69

	a22 0 : : :	0
a11	a.32 a33 : : :	0
	an1 an2 : : : amn

Если A треугольная матрица, то уравнение 2.2 остается верным и доказательствомы оставим для упражнения в индукции.

Замечание 2.8.1 Можно показать, что формула разложения детерминанта n n матрицы A состоит из n! произведений со знаком

a1i1 a2i2 : : : anin ; ãäå (i1; i2; : : : ; in) перестановка (1; 2; : : : ; n), знак есть 1 или -1, в соответствии с четностью или неч¼тностью числа инверсий i1; i2; : : : ; in). Инверсия появляется когда ir > is но r < s. (Доказательство этого факта непростое и поэтому мы его опустим.)

Определение детерминанта n n матрицы мы дали с помощью

разложения по первой строке. Следующая теорема говорит о том, что мы можем разложить детерминант по любой строке или столбцу. (Доказательство этого факта мы также не приводим.)

n

X

Теорема 2.8.3 detA = ( 1)i+jaijMij(a)

j=1

для i = 1; : : : ; n (так называемое разложение по i-строке.) и

n

X

detA = ( 1)i+jaijMij(A)

i=1

для j = 1; : : : ; n (так называемое разложение по j-му столбцу.)

Замечание 2.8.2 Распределение знаков ( 1)i+j подчиняется по- рядку шахматной доски

70	Глава 2. Матрицы

23

+		+	: : :
6	+		: : :7

67

6+ + : : :	7
4	5

.

Следующие теоремы могут быть доказаны строго индукцией по размеру матрицы

Теорема 2.8.4 Детерминанты матрицы и транспонированной матрицы равны; то есть

detAt = detA:

Теорема 2.8.5 Если две строки матрицы равны, то е¼ детерминант равен нулю. Аналогично для столбцов.

Теорема 2.8.6 Если две строки матрицы поменять местами, то е¼ детерминант изменит знак.

Пример 2.8.2 Если P1 = (x1; y1) è P2 = (x2; y2) различные точки, тогда прямая проходящая через P1 è P2 имеет уравнение:

x y 1

x1	y1	1	= 0:
x2	y2	1

Разложим детерминант по первой строке и получим уравнение

ax + by + c = 0;

ãäå

a =	y2		1	= y1 y2	b =	x2		1	= x2 x1:
		y1	1				x1	1