kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

2.5. Обратимые матрицы

51

Определение 2.5.2 (Элементарные матрицы) Каждому из тр¼х типов элементарных действий над строками соответствует элементарные матрицы, которые обозначаются через Eij; Ei(t); Eij(t):

1.Eij; (i 6= j) получается из единичной матрицы In взаимозаме- ной строк i и j:

2.Ei(t); (t 6= 0) получается с помощью умножения i-ой строки матрицы In íà t.

3.Eij(t); (i 6= j) получается из единичной матрицы In с помощью прибавления t раз j-ой строки In к i-ой строке.

Пример 2.5.6 (n =						3:)	20	1	03	E23( 1) =	20	1	13	:
E23	=	20	0	13	E2(	1) =
		1	0	0			1	0	0		1	0	0
		40	1	05			40	0	15		40	0	1 5

Элементарные матрицы имеют следующее отличительное свойство:

Теорема 2.5.7 Умножение слева матрицы A на элементарную мат-

рицу равносильно выполнению соответствующего элементарного преобразования матрицы A.

Пример 2.5.7 E23

2c

d3

=

20

0

132c

d3

=

2e

f

3

:

a b

1

0

0 a b

a b

4e

f5

40

1

054e

f5

4c

d5

Следствие 2.5.2 Элементарные матрицы обратимы. А именно

1.Eij1 = Eij;

2.E 1(t) = Ei(t 1);

3.(Eij(t)) 1 = Eij( t).

52	Глава 2. Матрицы

Доказательство. Если мы возьм¼м A = In в теореме 2.5.7, то получим следующие уравнения

EijEij		= In
E (t)E	(t 1)	=	I	n	= E	(t 1)E	(t);	åñëè t = 0
i i					i	i		6
Eij(t)Eij( t) =			In		= Eij( t)Eij(t):

Пример 2.5.8 Найти 3 3 матрицу A = E3(5)E23(2)E12 в явном виде. А также найти A 1.

Решение.

A = E3(5)E23(2)	21	0	03	= E3(5)	21	0	23	=	21	0	23	:
	0	1	0		0	1	0		0	1	0
	40	0	15		40	0	15		40	0	55

Теперь найд¼м A 1

A 1 = (E3(5)E23(2)E12) 1

=E121(E23(2)) 1(E3(5)) 1

=E12E23( 2)E3(5 1)

= E11E23( 2)			20 1			1 3
			4	1	0	0	5
	1	0				0
				0	0
= E12 20 1						5
				52 3	:
60			0	7
		0	1
6	1	0	5	7
4				5

Замечание 2.5.6 Напомним, что A и B строчно эквивалентны, если B получается из A c помощью последовательности элементар-

ных действий над строками. Если E1; : : : ; Er есть соответствующие элементарные матрицы, то

B = Er(: : : (E2(E1A)) : : :) = (Er : : : E1)A = P A,

2.5. Обратимые матрицы	53
ãäå P = Er : : : E1 есть обратимая матрица. Обратно, если	B =

P A; где P обратимая матрица, то A строчно эквивалентна B. Как мы можем сейчас увидеть, P есть фактически произведение элементарных матриц.

Теорема 2.5.8 Пусть A есть обратимая n n матрица. Тогда

(i)A строчно эквивалентна In,

(ii)A есть произведение элементарных матриц.

Доказательство. Предположим, что A обратимая матрица и пусть B есть привед¼нная ступенчатая форма матрицы A. Тогда B не имеет нулевых строк, в противном случае уравнение AX = 0 имеет нетривиальное решение. Следовательно, B = In.

Значит существуют элементарные матрицы E1; : : : ; Er такие, что Er(: : : (E1A) : : :) = B + In и, следовательно, A = E1 1 : : : Er 1, произ- ведение элементарных матриц.

Теорема 2.5.9 Пусть A есть n n матрица и предположим, что A строчно эквивалентна In. Тогда A обратима и A 1 может быть получена с помощью той же последовательности элементарных дей- ствий над строками матрицы In, которые использовались для обращения матрицы A к In.

Доказательство. Предположим, что Er : : : E1A = In. Другими

словами BA = In, ãäå B = Er : : : E1 есть обратимая матрица. Тогда B 1(BA) = B 1In и значит A = B 1, которая обратима.

Также A 1 = (B 1) 1 = B = Er((: : : (E1In)) : : :). Последнее равенство показывает, что A 1 получается из In спомощью осуществ-

ления той же последовательности элементарных действий над строками, которая была использована при обращении A к In.

Замечание 2.5.7 Как следует из теоремы 2.5.9, если A необратима, то A строчно эквивалентна матрице, у которой последняя строка нулевая.

54	1	1	Глава 2. Матрицы
Пример 2.5.9 Показать, что A =			обратима, найти A 1
	1	2		è

выразить A в виде произведения элементарных матриц.

Решение. Мы сформируем составную матрицу [AjI2], которая состоит из матрицы A и следующей за ней I2. Тогда любая по-

следовательность элементарных действий над строками, которая приводит A к I2 также привед¼т I2 ê A 1. Имеем

		[AjI2] = 1				1	0 1
					1	2	1	0
R2 ! R2 R1					0							1	0
							1
						1		2				0	0
R2 ! ( 1)R2					0		1				1
									1
						1	2		1				0
	!					0	1						1
									1
R1		R1		2R2		1	0		1 2					:

Следовательно, A строчно эквивалентна I2 и A обратимая матрица. А также

A 1 =	1	2	:
	1	1

Далее, справедливо равенство

E12( 2)E2( 1)E21( 1)A = I2:

Следовательно,

A 1 = E12( 2)E2( 1)E21( 1) :

A = E21(1)E2( 1)E12(2)

Следующий результат является обращением теоремы 2.5.6 и она удобна для доказательства обратимости нескольких типов матриц.

Теорема 2.5.10 Пусть A есть n n матрица со свойством, что однородная система AX = 0 имеет только тривиальное решение. Тогда A обратима. Эквивалентно, если A необратима, то однородная система AX = 0 имеет нетривиальное решение.

2.5. Обратимые матрицы

55

Доказательство. Если A есть n n матрица и однородная система AX = 0 имеет только тривиальное решение,тогда отсюда следует, что привед¼нная ступенчатая форма B матрицы A не может иметь нулевых строк и должна, следовательно, совпадать с In. Поэтому A обратима.

Следствие 2.5.3 Предположим, что A и B являются n n матрицами и AB = In: Тогда BA = In.

Доказательство. Пусть AB = In; где A и B есть n n матрицы. М сначала покажем, что B обратима. Предположим, что

BX = 0: Тогда A(BX) = A0 = 0; значит (AB)X = 0; InX = 0 и следовательно X = 0.

Тогда из AB = In, мы получаем (AB)B 1 = InB 1 и следовательно A = B 1. Из уравнения BB 1 = In вытекает BA = In.

Перед тем как мы привед¼м следующий пример применения привед¼нного выше критерия обратимости, мы введ¼м важную операцию над матрицами.

Определение 2.5.3 (Транспонирование матриц) Пусть A есть m n матрица. Тогда At, транспонированная матрица, это матрица, которая получается заменой строк столбцами матрицы A. Другими словами, если A = [aij]; тогда (At)ij = aij: Следовательно At есть n m матрица.

Операция транспонирования матриц имеет следующие свойства:

1.(At)t = A;

2.(A B)t = At Bt если A и B имеют размер m n;

3.(sA)t = sAt если s есть скаляр;

4.(AB)t = BtAt если A есть m n и B есть n p матрицы;

5.Если A обратима, тогда At также обратима и

56	Глава 2. Матрицы

(At) 1 = (A 1)t;

6. XtX = x21 +: : :+x2n åñëè X = [x1; : : : ; xn]t åñòü вектор-столбец.

Мы докажем только четв¼ртое свойство. Сначала проверим, что обе матрицы (AB)t è BtAt имеют один размер (p m). Кроме

того, соответствующие элементы обеих матриц равны. Если A = [aij] è B = [bjk] мы имеем

((AB)t)ki = (AB)ik

Pn

= j=1 aijbjk

= Pn (Bt)kj(At)ji j=1

= (BtAt)ki:

Определение 2.5.4 (Симметрическая матрица) Матрица A называется симметрической, åñëè At = A. Другими словами, A есть квадратная матрица (то есть размера n n) и aji = aij для всех 1 i n; 1 j n: Следовательно

A =

a b b c

есть симметрическая 2 2 матрица общего вида.

Определение 2.5.5 (Кососимметрическая матрица) Матрица A называется кососимметрической если At = A. Другими сло-

вами, A есть квадратная матрица (размера n n) и aji = aij äëÿ âñåõ 1 i n; 1 j n.

Замечание 2.5.8 В определении кососимметрической матрицы возьм¼м i = j, тогда aii = aii è aii = 0. Следовательно

A =	0	b
	b	0

это общий вид 2 2 кососимметричекой матрицы.

2.5. Обратимые матрицы

57

Теперь мы можем ещ¼ раз применить привед¼нный выше критерий обратимости.

Следствие 2.5.4 Пусть B есть n n кососимметрическая матрица. Тогда A = In B является обратимой матрицей.

Доказательство. Пусть A = In B; ãäå Bt = B. По теореме 2.5.10 достаточно доказать, что из AX = 0 следует X = 0.

Мы имеем (In B)X = 0; тогда X = BX: Следовательно XtX = XtBX. Транспонируем обе стороны равенства

(XtBX)t = (XtX)t

XtBt(Xt)t = Xt(Xt)t

Xt( B)X = XtXXtBX = XtX

XtBX = XtX = XtBX:

Следовательно XtX = XtX è XtX = 0: Íî åñëè X = [x1; : : : ; xn]t; тогда XtX = x21 + : : : + x2n = 0 и следовательно x1 = 0; : : : ; xn = 0.

58	Глава 2. Матрицы

2.6Наименьшее квадратичное решение уравнений

Предположим AX = B представляет систему линейных уравнений

с действительными коэффициентами, которая может быть несовместна, поскольку возможны экспериментальные ошибки в определении A или B. Например, система

x = 1 y = 2

x + y = 3:001

несовместна.

Можно доказать, что ассоциированная система AtAX = AtB

всегда совместна и что любое решение этой системы минимизирует сумму r12 + : : : + rm2 ; ãäå r1; : : : ; rm (остатки) определяются так

ri = ai1x1 + : : : + ainxn bi

для i = 1; : : : ; m. Уравнения представленные в равенстве AtAX = AtB называются нормальными уравнениями соответствующими системе AX = B и любое решение системы нормальных уравнений

называется наименьшим квадратичным решением первоначальной системы.

Пример 2.6.1 Найти наименьшее квадратичное решение привед¼нной выше несовместной системы.

Решение. Здесь A =							20	13			; X = y			B =	2	2	3.
							1	0								1
							1	1								3:001
							4			5			x		4		5
		0 1 1			2			3			1 2 .
	=					1	0		=
						1 1
Тогда AtA		1	0	1	4	0	1	5				2	1
							2			3
		=	0	1	1			1				=	5:001 .
							3:001
А также AtB			1	0	1		4	2		5			4:001

Таким образом, нормальные уравнения есть

2.6. Наименьшее квадратичное решение уравнений							59
2x + y			=	4:001
x + 2y			=	5:001
и они имеют единственное решение
x =	3:001	;	y =		6:001	:
3				3

Пример 2.6.2 Точки (x1; y1); : : : ; (xn; yn) экспериментально определены и должны лежать на прямой y = mx+c. Найти наименьшее квадратичное решение этой задачи.

Решение. Точки должны удовлетворять системе

mx1 + c = y1

.

mxn + c = yn

èëè AX = B, ãäå

A =	2x.1 1.	3	; X =	m		; B =	2y.13		:
	6xn 17			c			6yn7
	4	5					4	5

Нормальные уравнения даны в матричном равенстве (AtA)X = AtB. Здесь

	1			2			3		x1
AtA =		: : : 1			x1	1		=		+ : : : + xn	n
			.			.
	x1	: : : xn		6xn		17			x12	+ : : : + xn2	x1 + : : : + xn
				4			5

Также

AtB =	x1 : : :	xn	2y.13		=		x1y1 + : : : + xnyn	:
	1 : : :	1	6yn7				y1 + : : : + yn
			4	5

60	Глава 2. Матрицы
Не трудно доказать, что
1 X	(xi xj)2:
= det(AtA) =
i<j	n

Определитель положителен, кроме случая, когда x1 = : : : = xn. Следовательно, если не все из x1; : : : ; xn равны, то AtA обратима и нормальные уравнения имеют единственное решение. Это можно показать следующим образом

m =	1	X	(xi xj)(yi yj); c =	1	1 X	(xiyj xjyi)(xi xj):
	1 i<j n				i<j	n

Замечание 2.6.1 Матрица AtA симметрическая.