kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Лекции Кисляков

2.8. Детерминанты

71

Это уравнение определяет прямую, если коэффициенты a и b не

равны одновременно нулю. А также эта прямая проходит через точ- êè Pi; i = 1; 2. Åñëè x = xi è y = yi, то детерминант имеет равные первую и i-тую строки и, следовательно, равен нулю.

Существует и соответствующая формула и в геометрии трех из- мерений. Если P1; P2; P3 не коллинеарные точки в пространстве трех измерений и Pi = (xi; yi; zi); i = 1; 2; 3, тогда уравнение

x y z 1

	x1	y1	z1	1		= 0
x2		y2	z2	1
	3	3	3	1
	x	y	z

определяет плоскость, проходящую через точки P1; P2; P3. Åñëè разложить детерминант по первой строке, то уравнение примет вид ax + by + cz + d = 0, где

a =	y2			z2		1	; b =	x2			z2		1	; c =	x2			y2		1	:
		y1		z1		1			x1		z1		1			x1		y1		1
	y		3	z	1			x		3	z	1			x		3	y	1
					3							3							3

Как мы увидим в главе 6, это есть уравнение плоскости. если коэффициенты a; b; c не равны нулю одновременно. С другой стороны, не принимая во внимание знак и множитель 1

2 , выражение коэффициентов a; b; c через детерминанты определяет значение площади

проекций треугольника P1P2P3 на (x; y); (x; z) и (x; y) плоскости, соответственно. Геометрически ясно, что по меньшей мере один из a; b; c ненулевой. Так возможно доказать этот факт алгебраически.

Наконец, плоскость проходит через точки Pi; i = 1; 2; 3 òàê êàê åñëè x = xi; y = yi; z = zi, то детерминант имеет равные первую и i-тую строки и, следовательно, равен нулю. Наша цель теперь

доаказать, что матрица является обратимой, если е¼ детерминант не равен нулю.

Определение 2.8.3 Кофактор (i; j) кофактор A, который обо-

значается как Cij(A)(èëè Cij если нет путаницы) определяется по формуле

72	Глава 2. Матрицы

Cij(A) = ( 1)i+jMij(A):

Замечание 2.8.3 Важно заметить, что Cij(A) òàê æå êàê è Mij(A) не зависят от aij.

Для кофакторов теорема 2.8.3 принимает вид

n

X

Теорема 2.8.7 detA = aijCij(A)

j=1

äëÿ i = 1; : : : ; n è

n

X

detA = aijCij(A)

i=1

j = 1; : : : ; n:

Другой результат связанный с кофакторами:

Теорема 2.8.8 Пусть A это n n матрица. Тогда

n

X

(a) aijCkj(A) = 0 åñëè i 6= j:

j=1

А также

n

X

(b) aijCik(A) = 0 åñëè j 6= k:

i=1

Доказательство.

Если A есть n n и i 6= k; пусть B есть матрица, которая полу- чается из A заменой строки k строкой i. Тогда detB = 0 так как B имеет две равные строки.

Теперь разложим detB по строке k. Имеем

=	n
	Pj=1 aijCkj(A);
0 = detB =	j=1 bkjCkj(B)
	n
	P

2.8. Детерминанты

73

ввиду замечания 2.8.3.

Определение 2.8.4 (Присоедин¼нная матрица) Если A = [aij]

есть n n матрица, присоедин¼нной матрицей для A, которая обозначается как adjA, называется транспонированная матрица кофакторов. Следовательно,

	2C12	C22	: : : Cn23
	C11	C21	: : : Cn1	7.
adjA =	6 .	C2n	.
	6C1n		: : : Cnn7
	6			7
	4			5

Теоремы 2.8.7 и 2.8.8 могут быть объединены:

Теорема 2.8.9 Пусть A есть n n матрица. Тогда

A(adjA) = (detA)In = (adjA)A:

Доказательство.

=		n
	Pj=1 aijCkj(A)
(A adjA)ik =	P	j=1 aij(adjA)jk
		n
= ikdetA
=	((detA)In)ik:

Следовательно A(adjA) = (detA)In. Другое равенство доказывается аналогично.

Следствие 2.8.1 Формула для обратной матрицы. Если detA 6= 0; тогдаA обратима и

A 1 = detA1 adjA:

Пример 2.8.3 Матрица

74		Глава 2. Матрицы
21	2	33

A = 44 5 65 8 8 9

обратима, так как

detA =	8		9	2	8		9	+ 3	8		8
		5	6			4	6			4	5

=3 + 24 24

=3 6= 0:

А также

		2C11	C21	C31	3
A 1 =	1	4C12	C22	C325
	3
		C13	C23	C33

= 13

2	8		9			8 9					5		6 3
		5	6				2	3				2	3
		4 6				1		3				1 3
6
		8 9				8		9				4 6 7
6			5										2		7
6		4					1 2					1			7
6															7
6		8	8				8 8					4	5		7
6															7
4															5

= 13

23

3 6 3 412 15 6 5:

8 8 3

Следующая теорема полезна для упрощения и численного вычисления детерминантов. Доказтельство мы получим с помощью разложения по соответствующей строке или столбцу.

Теорема 2.8.10 Детерминант есть линейная функция каждой строки и каждого столбца. Например

(a)

a

11a21

110

a

12a22

120

a

13a23

130

=

+ a

+ a

+ a

a

a

a

a11

a12

a13

a110

a120

a130

31

32

33

a12

a21

a22

a23

+

a22

a23

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

2.8.

Детерминанты

=t a21

75

(b)

a21

a22

a23

a22

a23

.

ta11

ta12

ta13

a11

a12

a13

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

Следствие 2.8.2 Если строку умноженную на скаляр прибавить к другой строке, то значение детерминанта не изменится. Аналогично для столбцов.

Доказательство мы проиллюстрируем на 3 3 примере, но доказательство действительно весьма общее.

a21

a22

a23

=

a21

a22

a23

+ a21

a22

a23

a11 + ta21

a12 + ta22

a13 + ta23

a11

a12

a13

ta21

ta22

ta23

a

a

a

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

31

32

33

=

a21

a22

a23

+ t

a21

a22

a23

=

a21

a22

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11

a12

a

a

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

3

32

a11 a12 a13

=	a21	a22	a23		:
	a31	a32	a33

a13

a23 + t 0

a33

Чтобы вычислить детерминант целесообразно привести матрицу к ступенчатой форме, записывая каждое изменение знака в результате перемены строк местами, вместе с любыми множителями строки, как в следующем примере.

Пример 2.8.4 Вычислить детерминант

1 2 3

4 5 6 :

8 8	9

Решение. С помощью действий над строками R2 ! R2 aR1 è R3 ! R3 8R1 преобразеум детерминант и разложим его по первому столбцу:

76					0 3				6		= 8			Глава 2. Матрицы
4 5 6				=										15
1	2	3			1		2	3
8 8 9					0	8		15				3		6
				=		1		2				3		1 2
					3		8				=			0 1	= 3:
									15

Пример 2.8.5 Вычислить детерминант

1 1 2 1

	3	1	4	5	:
1		1	3	4
	7	6	1

Решение.

3 1 4 5				=	0		1			2 2
1	1	2	1		1		1			2		1
7 6 1 2					0		1		13				5
1 1 3 4					0 0					1		3
							1	1			2				1
				=		2	0	1			1				1
									1			13
							0							5
							0	0			1				3
							1	1			2				1
				=		2	0	1			1				1
									1			13
							0							5
							0	0			1				3
							1	1			2			1
				=		2	0	1			1			1
								0			1
							0							3
								0			12
							0							6
					1 1			2			1

= 2		0	1	1	1		= 60:
	0		0	0	30
		0	0	1	3

Пример 2.8.6 (Детерминант Вандермонда) Доказать что

2.8. Детерминанты
a	b
1	1
a2	b2

77

c = (b c)(c a)(c b):

c2

Решение. Вычтем столбец 1 из столбцов 2 и 3, затем разлагаем детерминант по первой строке

a	b
1	1
a2	b2

c		=	a	b a	c	a
1			1	0	c2	0
c2			a2	b2 a2		a2

=	b a	c a
	b2 a2	c2 a2
= (b a)(c a)				1	1	= (b a)(c a)(c b):
			b + a c + a

Замечание 2.8.4 Из теорем 2.8.6, 2.8.10 и следствия 2.8.2, вытекают следующие утверждения

(a)det(EijA) = detA,

(b)det(Ei(t)A) = tdetA; åñëè t 6= o,

(c)det(Eij(t)A) = detA.

Отсюда следует, что если A строчно эквивалентна B; то detB = c detA; где c 6= 0. Следовательно, detB 6= 0 , detA 6= 0 и detB = 0 , detA = 0. Значит из теоремы 2.5.8 и замечания ?? мы получаем следующий важный результат:

Теорема 2.8.11 Пусть A есть n n матрица. Тогда

(i)A обратима тогда и только тогда detA 6= 0;

(ii)A необратима тогда и только тогда, когда detA = 0;

(iii)однородная система AX = 0 имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда detA = 0.

78	Глава 2. Матрицы

Пример 2.8.7 Найти рациональные числа a для которых следу-

ющая однородная система имеет нетривиальное решение и решить систему для этих значений a:

x 2y + 3z	=	0
ax + 3y + 2z	=	0
6x + y + az	=	0:

Решение. Детерминант составленный из коэффициентов системы есть

=	a 3		2	=	0 3 + 2a 2			3	3a
	1	2	3		1	2	a
	6 1		a		0	13		18

3 + 2a 2 3a

13 a 18

=(3 + 2a)(a 18) 13(2 3a)

=2a2 + 6a 80 = 2(a + 8)(a 5):

Таким образом, = 0 , a = 8 или a = 5 и только для этих зна- чений a данная однородная система имеет нетривиальное решение.

Если a = 8, матрица коэффициентов имеет привед¼нную ступенчатую форму:

20	1	23
1	0	1	5
40	0	0

и, следовательно, полное решение системы есть x = z; y = 2z; где z произвольна. Если a = 5, матрица коэффициентов имеет привед¼нную ступенчатую форму:

20	1	13
1	0	1	5
40	0	0

и значит полное решение системы есть x = z; y = z, где z произвольна.

2.8. Детерминанты

79

Пример 2.8.8 Найти значения t для которых следующая система совместна и решить систему в каждом случае:

x + y = 1 tx + y = t

(1 + t)x + 2y = 3:

Решение. Предположим, что данная система имеет решение (x0; y0). Тогда следующая однородная система

x + y + z	=	0
tx + y + tz	=	0

(t + 1)x + 2y + 3z = 0

будет иметь нетривиальное решение

x = x0; y = y0; z = 1.

Следовательно, детерминант матрицы коэффициентов равен нулю. С другой стороны

=		t	1	t		=	t		1 t		0	=		1 t 2 t =
		1	1	1			1		0		0
	1 + t 2			3		1 + t 1 t 2 t								1	t	0
							(1
									t)(2 t):

Значит t = 1 или t = 2: Если t = 1, то данная система примет вид

x + y	=	1
x + y	=	1
2x + 2y	=	3

которая, очевидно, несовместна. Если t = 2, данная система имеет вид

x + y	=	1
2x + y	=	2
3x + 2y	=	3

80	Глава 2. Матрицы

которая имеет единственное решение x = 1; y = 0.

Чтобы закончить этот параграф, мы представим старый (1750) метод решения систем n уравнений с n неизвестными, который на-

зывается правилом Крамера. Этот метод не используется на практике. С дугой стороны, он имеет теоретическое применение, так как точно показывает как решение зависит от коэффициентов расширенной матрицы.

Теорема 2.8.12 (Правило Крамера) Система n линейных уравнений с n неизвестными x1; : : : ; xn

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + + a2nxn	= b2
.
an1x1 + an2x2 + + annxn	= bn

имеет единственное решение, если = det[aij] 6= 0, а именно

x1 = 1 ; x2 = 2 ; : : : ; xn = n ;

ãäå i есть детерминант матрицы, которая получается из матрицы коэффициентов A заменой i-того столбца на столбец составленный из b1; : : : ; bn.

Доказательство. Предположим, что детерминант матрицы коэффициентов не равен нулю. Тогда по следствию 2.8.1, A 1 ñóùå-

ствует имеет вид A 1 =								1	adjA и система имеет единственное реше-
íèå
				1 2b23							2C12			32b23
2x23										1		C22 : : : Cn2
	x1				b1						C11	C12	: : : C1n	b1
6	.	7	= A	6	.	7	=				6 .		.	76 .	7
												C2n
6xn7				6bn7							6Cn1		: : : Cnn76bn7
6		7		6		7					6			76	7
4		5		4		5					4b1C11 + b2C21 + : : : + bn5C4n1				5
										1	2b2C12 + b2C22 + : : : + bnCn2				3
							=				6		.		7:
											6bnC1n + b2C2n + : : : + bnCnn7
											6				7
											4				5